勻速和變速運動時聲波多普勒效應公式的推導

李云梅 余太會 蔡武德

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

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勻速和變速運動時聲波多普勒效應公式的推導

李云梅 余太會 蔡武德

(云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

給出了波源和觀察者在勻速和變速運動情況下聲波多普勒效應公式的詳細推導過程.結果顯示，無論觀察者和波源做勻速運動，還是做變速運動，對應的多普勒效應公式都是相同的.

多普勒效應公式 聲波 勻速運動 變速運動

近年來對多普勒效應[1]的研究越來越多，有研究波源和觀察者都做勻速運動時多普勒效應的[2]，有研究通過檢測運動物體反射波的頻率變化來測量運動物體速度的[3]，有研究超聲波測速原理的[4]，也有研究非慣性運動下聲波多普勒效應的[5].

1 勻速運動條件下聲波多普勒效應的討論

假定聲源S,觀察者B的運動發生在兩者的連線上，兩者均做勻速運動，介質相對于地球是靜止的.設聲源相對于介質的運動速率為vS，觀察者相對于介質的運動速率為vB，以u表示聲波在介質中的傳播速率，以ν表示波源振動頻率，以T表示聲波在介質中的傳播周期，設ν′表示探測頻率.規定：聲源向著觀察者運動時，vS取正值；聲源背離觀察者運動時，vS取負值；觀察者向著聲源運動時, vB取正值；觀察者背離聲源運動時，vB取負值；聲速u總是取正值.下面分3種情況進行討論.

1.1 聲源不動觀察者相對于介質做勻速運動

當觀察者向著聲源以速率vB運動(以地面為參考系)時，vB為正值，因觀察者以不變的速率vB迎向聲源運動，相當于聲波以u+vB的速率通過觀察者.所以觀察者接收到的聲波頻率為(波長λ不變)

(1)

當觀察者背離聲源運動時，式(1)可適用， 只不過vB為負值，對應的頻率ν′<ν，即觀察者接收到的聲波頻率ν′小于聲源的振動頻率ν.特別是當時觀察者速率vB=-u，ν′=0，這相當于觀察者隨聲波的波陣面一起運動，也就接收不到聲波.

1.2 觀察者不動聲源相對于介質做勻速運動

聲源以速率vS向著觀察者做勻速運動(以地面為參考系)，如圖1所示，這時vS>0，假定vS

圖1 聲源相對觀察者勻速運動示意圖

由于聲源是做勻速運動，所以擠壓均勻，波形并無畸形，只是波長變短，其值為

λ′=λ-vST=uT-vST=

(2)

這時波相對于觀察者的速率仍是u，因此，觀察者在單位時間內接收到聲源的頻率由于波長的縮短而增大，接收到的頻率變為

(3)

如果聲源背離觀察者運動，則波長變長，頻率ν′減小，式(3)仍然適用，但vS為負值，這ν′<ν時，即觀察者接收到的頻率比聲源的頻率降低了.因此，火車離去時鳴笛音調會變低.

1.3 觀察者和聲源同時相對于介質做勻速運動

(4)

兩者相互離開時，式(4)仍然適用，只需對vS和vB按規定取負值即可，即

(5)

總結以上關于聲波多普勒效應的3種情況，可以得到觀察者和波源做勻速運動情況下的一個普遍公式

(6)

2 變速運動條件下聲波多普勒效應的討論

2.1 波源不動觀察者相對于介質做變速運動

觀察者不動時，波在dt時間內將傳播udt的距離，其中包含的波數設為dN1，這些波數將被觀察者所接收.波數與傳播距離之間有如下關系

(7)

其中λ為波在介質中的波長.當觀察者相對于介質向著波源運動時，設經過dt時間內運動的距離為ds，所包含的波數設為dN2，這些波數將被觀察者接收.它們之間有這樣的關系式成立

(8)

在dt時間內，觀察者接收到的波數設為dN，這里有

dN=dN1+dN2

(9)

根據式(7)和式(8)得到

(10)

而單位時間內觀察者接收到的波數即為觀測頻率，所以觀測到的頻率為

(11)

波源的波長λ，波速u，周期T，頻率ν之間滿足

所以，由式(10)和式(11)得

(12)

其中

為觀察者做變速運動的速率.

2.2 觀察者不動波源相對于介質做變速運動

設觀察者相對于介質靜止(以地面為參考系)，而波源沿波源與觀察者連線向著觀察者運動.在時間dt內，波傳播的距離為udt，波源運動的距離為ds，于是波被壓縮在距離為udt-ds之內，從而觀察者探測到的波長λ′將小于波源靜止時介質中的波長λ.而dt為無窮小量，可認為波的壓縮是均勻的.在距離udt-ds內分布的波數為

(13)

這些波數應等于dt時間內波源所發出的波數dN2，而

dN2=νdt

于是有

(14)

在此情形中，波相對于觀察者而言，傳播速度是不變的，因此

其中T′為觀察者接收到的周期，由式(14)可得

(15)

其中

是波源做變速運動的速率.

2.3 觀察者和波源同時相對于介質做變速運動

根據上面兩種情況的討論，在兩者相互趨近過程中，在dt時間內，設波源和觀察者相對于介質運動的距離分別為dx和dy.根據式(10)，dt時間內觀察者接收到的波數為

根據式(13)，dt時間內波源發出的波數為

而dt時間內觀察者接收到的波數等于相同dt時間內波源發出的波數，所以有

(16)

式(16)中

式(16)可變換為

(17)

式(17)中

和

分別為觀察者和波源相對于介質的速率.

兩者相互離開時，式(17)仍然適用，只需對vS和vB按規定取負值即可，即

(18)

式(17)就是觀察者和波源做變速運動情況下多普勒效應的普遍公式.

3 結束語

由式(6)、式(17)可知，無論觀察者和波源做勻速運動，還是做變速運動，對應的多普勒效應公式都是相同的.

1 劉戰存.多普勒和多普勒效應的起源.物理，2003，32(7)：488～4912 祁占林. 解析聲波的多普勒效應.青海師范大學民族師范學院學報,2008，19(2): 77～78

3 潘盛成，童培雄，趙在忠. 反射式聲波多普勒效應測速實驗.物理與工程，2010，20(4)：70～71

4 樓開顏. 基于相對運動的聲波多普勒效應公式.物理教師，2013， 34(10)：90～92 5 武璇，黃雙印，郭振平. 非慣性運動下聲波的多普勒效應. 延邊大學學報(自然科學版)，2015， 41(3)：215～218

Deriving the Formula of the Doppler Effect of Sound Wave in Uniform and Variable Speed Motion

Li Yunmei Yu Taihui Cai Wude

(Institute of Physics and Electronic Information,Yunnan Normal University, Kunming, Yunnan 650500)

A detail derivation of the Doppler effect of acoustic wave is given considering wave source and observer moving at uniform and variable speed. As a result, the corresponding formulas of the Doppler effect are the same no matter the observers and the source moves uniformily or not.

formula of the Doppler effect; sound wave; uniform speed motion; variable speed motion

李云梅(1985- ),女，在讀碩士研究生，研究方向學科教學(物理).

指導教師：蔡武德(1966- )，男，教授，研究方向為課程與教學論.

2016-05-20)