電磁感應中輔助線的運用

徐大印

(煙臺大學光電學院物理系 山東 煙臺 264005)

?

電磁感應中輔助線的運用

徐大印

(煙臺大學光電學院物理系 山東 煙臺 264005)

以法拉第電磁感應現象中的一道習題為例，簡單地探討了利用輔助線處理電磁場問題時應該注意的一些事項.

電磁感應 輔助線

在大學普通物理的學習過程中，輔助線的運用十分重要，恰當地運用輔助線方法能夠有助于深入地理解物理問題中蘊含的物理規律，對處理有些問題能夠起到簡潔明快、事半功倍的作用.而不恰當地引入輔助線，往往容易引起學生的困惑，進而產生對物理規律的錯誤理解.這里我們以電磁場中法拉第電磁感應現象中的一道習題著手，簡單地討論在電磁場中運用輔助線的過程中應該注意的一些事項.

圖1 例題題圖

這道題一般有兩種解法.

解法1：對感應電場直接積分

根據法拉第電磁感應定律

(1)

在棒上面dl處的電場強度大小為

(2)

方向為與r垂直的方向.

由式(1)和(2)得到

(3)

其中θ是r與h的夾角.

根據三角形關系

代入式(3)可以得到感生電動勢大小

(4)

解法2：輔助線方法

從圓心O點向金屬導體棒兩端引入輔助線Oa和Ob,根據法拉第電磁感應定律式(1)，有

(5)

本題中由變化的磁場產生的電場是渦旋電場，電場線是從圓心向外的一系列同心圓，因此εOa=εbO=0,所以,金屬棒上產生的電動勢大小為

與解法1結果相同，而輔助線的方法簡潔明了.

由上面的例子可以進一步引申出圖2問題，題中其他條件與圖1中的一致，定性地比較一下金屬棒ab和金屬棒acb中感生電動勢的絕對值大小.

圖2 引申題題圖

這道題原則上可以通過上面的兩種方法求出來，但是利用第一種方法，由式(3)，由于rcos θ是一個變值，在沒有給出更具體條件時，針對金屬棒acb不能夠求出來，也不容易看出εab和εacb的大小關系.

利用輔助線法就很容易定性地比較出來，同樣從原點O向左右兩端引入輔助線Oa和Ob,由式(1)，對不規則圖形有

由上面我們知道εOa=εbO=0，所以有

又因不規則圖形SOacb>S△Oab,所以|εacb|>|εab|.可以看出利用輔助線的方法可以很直觀地得到答案.

但是學生在學習的過程中容易產生這樣的疑惑，比如說圖2中為什么不引入虛線Ha和Hb？這樣做輔助線，εHa和εbH是公共部分可以抵消掉，而S△Hab>SHacb，那么就會得到相反的結論|εacb|<|εab|.

這個問題初步看出來似乎有道理，但是仔細分析卻是錯誤的.原因是錯誤地理解了法拉第電磁感應定律，由式(1), 對三角形abH，有

對不規則圖形acbH，有

由S△aHb>SabcH，只能得出|εHa+εbH+εab|>|εHa+εbH+εacb|，上面的公式在電動勢有正有負時，而εHa+εbH≠0的情況下，不能夠得出|εab|>|εacb|這個結果，所以這種做輔助線的方法是一種不恰當的方法.有的學生之所以得到|εacb|<|εab|這種錯誤答案，原因是沒有注意到電動勢是標量，有正、負之分.而從圓心O點做輔助線能夠成立的原因在于|εOa+εbO+εacb|>|εOa+εbO+εab|中εOa+εbO=0，這樣才可以直接得到|εacb|>|εab|.之所以得到錯誤的結論，從根本上講是沒有仔細地分析物理過程，只是想當然，生搬硬套公式而已.對于這類問題希望能夠引起學生們的注意.

通過以上分析，對電磁場中做輔助線來處理物理問題時，要注意兩點，一是深入理解公式的物理含義和數學背景;二是做輔助線的時候要根據對稱性進行分析，輔助線并不是隨便選取的，運用輔助線要十分謹慎.

1 張三慧.大學基礎物理學(第2版).北京：清華大學出版社， 2012

2 費恩曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學講義(第2卷).李洪芳，王子輔，鐘萬蘅譯. 上海：上海科學技術出版社, 2009

Application on Auxiliary Line in Electromagnetic Induction

Xu Dayin

(School of Opt-electronic Information Science and Technology，Yantai University, Yantai, Shandong 264005)

We take an question in the Faraday electromagnetic induction phenomenon as an example,and briefly discuss some issues that should be paid attention to in the field of electromagnetic field with auxiliary line.

electromagnetic induction；auxiliary line

徐大印(1976- ),男，博士，講師,主要從事大學物理教學，及低維半導體材料的制備和光、電性質研究.

2016-05-26)