雙邊肋橋梁斷面軟顫振非線性自激力模型

朱樂東， 高廣中

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092； 2.同濟大學 土木工程學院橋梁工程系， 上海 200092；3.同濟大學 橋梁結構抗風技術交通行業重點實驗室，上海 200092)

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雙邊肋橋梁斷面軟顫振非線性自激力模型

朱樂東1,2,3， 高廣中1,2

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092； 2.同濟大學 土木工程學院橋梁工程系， 上海 200092；3.同濟大學 橋梁結構抗風技術交通行業重點實驗室，上海 200092)

采用彈簧懸掛節段模型測振的方法，研究了雙邊肋橋梁斷面的軟顫振響應。試驗中觀察到明顯的軟顫振現象，軟顫振發生在扭轉模態內，以單自由度的扭轉振動為主，彎扭耦合效應比較微弱。將顫振導數拓展為瞬時扭轉振幅的函數，以計入自激力的非線性效應。參數識別結果表明，自激力的非線性主要體現為氣動阻尼的非線性效應，氣動剛度的非線性較弱。通過對比軟顫振響應的計算值和試驗值，初步驗證了該自激力模型和參數識別結果的可靠性。根據氣動阻尼和結構阻尼隨瞬時振幅的變化關系，對軟顫振的機理進行了探討。

雙邊肋斷面；軟顫振；非線性自激力模型；非線性氣動阻尼；軟顫振機理

對于現代化大跨度橋梁，顫振是最危險的一類風致振動現象，1940年美國舊Tacoma懸索橋的風毀事故就是顫振引起的。實際橋梁必須在設計階段通過風洞試驗嚴格檢驗，并采取氣動措施以消除顫振發生的可能性[1-2]。目前，橋梁顫振理論是以SCANLAN[3]在20世紀70年代建立的線性自激力模型為基礎的，該理論只考慮顫振自激力的線性項，當風速超過一個臨界點，即顫振臨界風速時，線性氣動負阻尼大于結構阻尼，橋梁斷面的振幅隨風速呈指數增加而出現顫振發散，因此，經典的線性理論將橋梁顫振視為線性氣動失穩現象，在數學上簡化為復特征值問題[2]。然而，SCANLAN的線性自激力模型只有在微幅振動條件下才是適用的，由于橋梁斷面的非流線型氣動外形，任何有限振幅的振動使得氣動外形伴隨著攻角的變化而改變，在此過程中自激力不可避免地表現出非線性特性。

近年來，橋梁斷面在大振幅狀態下的自激力非線性效應是風工程領域研究的一個熱點。一些學者嘗試建立了能夠考慮自激力非線性效應的數學模型，例如徐旭等[4-5]提出的考慮主梁斷面三個運動完全耦合的非線性準定常模型，其模型的線性部分與SCANLAN的線性模型一致，而非線性部分比較復雜，需要根據具體情況進行推導；張朝貴等[6]采用范德波爾自激振蕩方程來模擬軟顫振現象，用范德波爾非線性阻尼模型來模擬氣動阻尼力的非線性效應；劉十一等[7-8]通過引入若干與流場特性有關的狀態變量，建立了考慮自激力非線性效應的狀態空間模型；WU等[9]提出了非線性自激力的Volteria卷積模型；NPRSTEK等[10-12]則提出了范德波爾-達芬類型的兩自由度耦合的非線性自激力模型；DIANA等[13-14]提出非線性準定常自激力模型，并引入流變單元(rheologic element)來計入非定常效應；王騎等[15]建立了基于泰勒級數展開的非線性自激力模型。上述的非線性自激力模型雖然都具有一定的合理性，但并沒有經過風洞試驗充分驗證，而且有些模型的數學形式過于復雜，因而，目前仍沒有一個被普遍接受的非線性自激力模型。

國內外研究者在風洞試驗中發現[6,16-19]，一些鈍體橋梁斷面或者流線型斷面在大攻角姿態下，當線性氣動負阻尼大于結構阻尼時，并不會出現線性理論所預測的發散性顫振即“硬顫振”，而是由于自激力的非線性效應穩定到一個有限振幅，即出現非線性的“軟顫振”現象，經典的線性顫振理論對軟顫振是不適用的。事實上，舊Tacoma橋的破壞過程也不是經典線性顫振理論所預測的振幅呈指數增加而瞬間破壞，而是經歷了近70 min的大振幅反對稱扭轉振動，直至1/4 跨處扭轉振幅達到約35°后，因吊索被逐根拉斷而坍塌的[2]，在整個過程中表現出了非線性軟顫振的特征。

由于具有顯著鈍體氣動外形，扁平雙邊肋斷面是橋梁工程中容易發生軟顫振的典型斷面型式，本文以該類斷面的軟顫振風洞試驗現象為切入點，研究自激力在大振幅狀態下的非線性特性，嘗試提出非線性自激力模型，并初步探討軟顫振的發生機理。

1 軟顫振風洞試驗

雙邊肋斷面的軟顫振試驗在同濟大學TJ-2邊界層風洞中進行，采用彈簧懸掛節段模型測振的試驗方法，如圖1所示，節段模型被放置在專門設計的內支架隔離墻中間，彈簧、吊臂、阻尼器和激光位移傳感器等附屬構件則位于隔離墻內部，以盡量保證二維流場并減少流動干擾。節段模型長約1.678 m，斷面尺寸如圖2所示。總質量約為19.198 kg，零風速時豎彎振動頻率為1.520 Hz，扭轉振動頻率為2.661 Hz。所有試驗均在均勻流場中進行。

圖1 雙邊肋斷面的彈簧懸掛節段模型Fig.1 Spring-suspended sectional model of a twin-side-girder section

圖2 雙邊肋斷面(mm)Fig.2 Twin-side-girder section (mm)

當模型采用施工狀態的裸斷面，即未附加欄桿、護欄或檢修軌道等附屬設施時，軟顫振振幅隨約化風速的變化關系見圖3，圖3中試驗均未附加阻尼器。從中可以發現：節段模型在3°和0°風攻角姿態下均出現了明顯的軟顫振，即當風速超過軟顫振起振風速時，由于顫振自激力的非線性效應，模型并不會出現Scanlan線性模型所預測的振幅呈指數無限增大，而是穩定到一個有限振幅，該自限幅現象進一步顯示在圖4中，可以發現不論是從靜止狀態還是從大振幅激勵狀態開始，模型總能發展為一個穩定振幅(grow to stable amplitude, GTS; decrease to stable amplitude, DTS)，軟顫振的穩定振幅隨著約化風速的增加而近似線性地增加，當軟顫振振幅增大到超過彈簧線性范圍或激光位移傳感器線性測試區間時，仍然未觀察到發散性振動；對比3°和0°風攻角的振幅響應曲線可知，具有較鈍氣動外形的3°攻角姿態下的軟顫振振幅增加更加緩慢、風速區間也更寬，因而，氣動外形越鈍對應的軟顫振響應也就越顯著。當風攻角為-3°時，自激力的非線性效應比較弱，當約化風速U*=2.0～2.8時，出現了軟顫振現象，但當約化風速U*=2.8～3.91時，自激力的非線性不足以使顫振振幅穩定到一個固定振幅，而是出現了介于硬顫振和軟顫振之間的非線性振動現象，即某個特定約化風速下隨著激勵振幅大小的不同存在多個穩定振幅，圖3中標有向上箭頭的數據點表示穩定振幅還可能進一步增大，而標有向下箭頭的數據點則表示穩定振幅可能進一步減小，這種多個穩定狀態的現象如圖5所示，當約化風速U*>3.91時，出現了發散性振動，但由于自激力的非線性效應，振幅的增大過程要緩慢得多。

圖3 軟顫振振幅隨約化風速變化關系(ξs=0.075%～0.1%)Fig.3 Relation between stable amplitude of soft flutter and reduced wind speed (ξs=0.075%～0.1%)

圖4 軟顫振自限幅振動現象(0°攻角，U*=2.935)Fig.4 Typical phenomenon of limit cycle oscillation (LCO) of soft flutter (attack angle 0°, U*=2.935 )

圖5 穩定振幅依賴于激勵大小的現象(-3°攻角，U*=3.229)Fig.5 Existence of multiple stable amplitudes under differentamplitude of excitation (attack angle -3°, U*=3.229)

在顫振振動形態方面，軟顫振與經典的發散性硬顫振類似，軟顫振是發生在單一扭轉模態內的非線性振動，氣動剛度中心作用點向上游移動，使得顫振時的扭轉模態耦合了豎彎自由度，但彎扭耦合程度隨著斷面流線型程度的不同而差別很大，對于雙邊肋這類鈍體斷面，彎扭自由度耦合效應是極其微弱的，因而，該斷面的軟顫振可近似地視為單自由度扭轉軟顫振[16]。另外，施加欄桿、護欄或檢修軌道等附屬設施會進一步促進斷面周圍流場的分離，從而使成橋狀態的軟顫振響應更加顯著[16]。為了討論的方便，下文將討論的范圍限在施工狀態。

2 軟顫振非線性自激力模型及參數識別

2.1 非線性自激力模型

上節的風洞試驗結果表明，由于大振幅狀態下自激力的非線性效應，氣動阻尼比不僅跟橋梁斷面的氣動外形有關，而且隨著振幅的變化而改變，例如圖4和圖5中的系統阻尼依賴于激勵振幅的大小。因而，在非線性自激力建模時，需要考慮振幅對氣動參數的影響。另外，雙邊肋斷面發生軟顫振時，豎彎自由度的耦合效應比較微弱，其軟顫振控制方程可近似簡化為如下扭轉振動方程：

(1)

(2)

(3)

由式(2)可得到如式(4)所示的考慮了瞬時振幅ρ修正的非線性自激力模型。將該自激力模型表示成經典的形式：

(4)

2.2 非線性參數識別

圖6 非線性結構阻尼比ξs(ρ)(3°風攻角)Fig.6 Nonlinear structural damping ratio ξs(ρ) (attack angle 3°)

圖7 非線性氣動參數(ρ)(3°風攻角)Fig.7 Nonlinear aerodynamic damping parameter (ρ) (attack angle 3°)

圖8 非線性結構頻率fs(ρ)(3°攻角)Fig.8 Nonlinear structural frequency fs(ρ) (attack angle 3°)

圖9 非線性氣動剛度參數(ρ)(3°攻角)Fig.9 Nonlinear aerodynamic stiffness parameter (ρ) (attack angle 3°)

2.3 試驗驗證

圖10 軟顫振響應的反算值與試驗值對比(0°攻角, ξs=0.073%～1%, U*=2.94)Fig.10 Comparison of calculated soft flutter responses with test results (attack angle 0°, ξs=0.073%～0.1%, U*=2.94)

圖11 軟顫振響應反算值與試驗值對比(3°攻角, ξs=0.2%～0.4%, U*=4.46)Fig.11 Comparison of calculated soft flutter responses with test results (attack angle 0°, ξs=0.2%～0.4%, U*=4.46)

圖12 軟顫振扭轉穩定振幅的RMS值反算結果與試驗值對比(3°攻角, ξs=0.2%～0.4%)Fig.12 Comparison of calculated RMS of tosional amplitudes with experimental results (attack angle 3°, ξs=0.2%～0.4%)

3 軟顫振的機理探討

軟顫振機理的討論可以從結構阻尼比ξs(ρ)曲線和氣動阻尼比ξa(ρ)曲線的相互關系入手。在探討機理之前，需要首先得到ξs(ρ)和ξa(ρ)隨振幅ρ變化的總體趨勢。從圖6中ξs(ρ)的識別結果可知，節段模型未加阻尼器時ξs隨振幅ρ近似線性地緩慢增大，而附加了阻尼器之后，ξs(ρ)的曲線形狀比較復雜，與阻尼器的類型和阻尼器的非線性特性有關，附加了鋼絲圈阻尼器的ξs(ρ)在大振幅下近似線性地緩慢降低。為了研究非線性氣動阻尼比ξa(ρ)隨振幅和折算風速的變化趨勢，在圖13中給出了節段模型在3°攻角和4種約化風速U*的ξa(ρ)曲線，從中可以發現，ξa(ρ)曲線隨著U*的增加逐漸向上抬升，而斜率則不斷降低。

圖13 非線性氣動阻尼ξa(ρ)隨約化風速U*變化關系(3°攻角)Fig.13 Effect of reduced wind speed U* on nonlinear aerodynamic damping ratio ξa(ρ) (attack angle 3°)

在考慮了上述ξs(ρ)和ξa(ρ)曲線的變化趨勢之后，將兩者的總體趨勢繪于圖14中，軟顫振的機理可以作如圖14所示的解釋：當風速較低時，氣動阻尼曲線完全在結構阻尼曲線之下，系統的總阻尼為正，風場對振動系統的任何擾動都是衰減的，此時未發生軟顫振；隨著風速的增加，氣動阻尼曲線ξa(ρ)不斷向上抬升，開始與結構阻尼曲線ξs(ρ)相交，當振幅小于兩條曲線交點對應的振幅時，ξa(ρ)位于ξs(ρ)之上，系統總阻尼為負，模型振幅不斷增大，當振幅大于兩條曲線交點對應的振幅時，ξa(ρ)位于ξs(ρ)之下，系統總阻尼比為正，模型振幅則不斷衰減，可知兩條曲線交點對應的振幅即為軟顫振的穩定振幅；當風速繼續增大，氣動阻尼曲線ξa(ρ)繼續向上抬升，造成ξa(ρ)和ξs(ρ)的交點沿著振幅增大的方向移動，從而使得軟顫振穩定振幅進一步提高，由圖3所示的軟顫振振幅隨約化風速的近似直線關系，可知ξa(ρ)和ξs(ρ)的交點隨U*的變化率在振幅軸ρ上的投影應該是近似勻速的。對于氣動阻尼的非線性效應不太強的-3°攻角姿態，在較高的折算風速時，ξa(ρ)曲線隨振幅的降低效應并不太明顯，此時ξa(ρ)可能完全位于ξs(ρ)曲線的上方，兩者沒有交點，因而無法達到一個穩定的振幅，由此出現了發散性顫振，但由于非線性阻尼比ξa(ρ)的影響，振幅在發散過程中仍然不是以指數形式增加，而是要緩慢得多。

圖14 軟顫振的機理示意圖Fig.14 Schematic diagram of soft flutter mechanism

4 結 論

本文采用彈簧懸掛節段模型測振的方法，對雙邊肋斷面的軟顫振現象進行了研究。在經典線性自激力模型的顫振導數中計入瞬時扭轉振幅的影響，提出一個適用于大振幅振動的非線性自激力模型，并對軟顫振的機理進行了初步探討，主要結論如下：

(1) 由于自激力的非線性效應，雙邊肋斷面在3°和0°攻角時，均出現了明顯的軟顫振現象，在-3°攻角時出現了軟顫振、多個穩定振幅和緩慢發散性顫振等復雜的非線性振動現象。軟顫振發生在扭轉模態內，以單自由度的扭轉振動為主，彎扭耦合效應比較微弱。

(2) 將Scanlan線性自激力模型的顫振導數拓展為瞬時扭轉振幅的函數，從而可以計入振幅對氣動參數的影響。通過軟顫振響應的數值計算和試驗結果的對比，驗證了所提出的非線性自激力模型的可靠性。

(3) 軟顫振是由非線性自激力引起的，而自激力非線性效應主要體現為氣動阻尼的非線性，氣動剛度的非線性效應較弱。由氣動阻尼參數隨振幅的變化趨勢，可以對軟顫振的機理進行解釋。

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A nonlinear self-excited force model for soft flutter phenomenon of a twin-side-girder bridge section

ZHU Ledong1, 2, 3, GAO Guangzhong1, 2

(1.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering,Tongji University, Shanghai 200092, China;2.College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;3. Key Laboratory of Wind Resistance Technology of Bridges of Ministry of Transport,Tongji University, Shanghai 200092, China)

To investigate the soft flutter phenomenon, i.e., nonlinear post critical limit cycle oscil1ation (LCO) of a twin-side-girder section, a series of spring-suspended sectional model tests were conducted. Experimental results showed that the sectional model exhibits violent soft flutter phenomena in post flutter range; the observed soft flutter is a quasi-harmonic nonlinear torsional vibration with a slight bending-torsion coupling effect; the classical linear self-excited force model by Scanlan is not applicable to soft flutter. To model the aerodynamic nonlinearity during large-amplitude oscillation of soft flutter, a nonlinear self-excited force model was proposed by expressing flutter derivatives of the classical Scanlan’s linear model as functions of transient torsional vibration amplitude. The identified results of the amplitude-dependant flutter derivatives showed that the nonlinearity is strong for the aerodynamic damping and very weak for the aerodynamic stiffness. The feasibility of the proposed model and the reliability of the identified aerodynamic parameters were verified by comparing the computed vibration responses of soft flutter with the corresponding experimental data. The mechanism of soft flutter was then explored with the identified nonlinear relationships of aerodynamic damping and structural damping with respect to the transient torsional vibration amplitude.

twin-side-girder section; soft flutter; post-critical LCO; nonlinear self-excited force model; nonlinear aerodynamic damping; soft flutter mechanism

國家自然科學基金面上項目(51478360)；國家自然科學基金重大研究計劃集成項目(91215302)

2015-05-29 修改稿收到日期：2015-09-21

朱樂東 男，博士，研究員，博士生導師，1965年生

高廣中 男，博士生，1988年生

U441.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.005