巧用數(shù)學方法解決共點力的動態(tài)平衡問題

李潤

對于許多物理問題，單一用物理方法是無法求解的，然而用一定數(shù)學方法能簡單地求得結(jié)果。所謂運用數(shù)學方法，就是把客觀事物的狀態(tài)、關系和過程用數(shù)學語言表達出來，并進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預測。如運動學中的v-t和x-t圖像上就用到了數(shù)學的一次函數(shù)的斜率、截距、面積等知識。因此，選擇合適的數(shù)學方法是快速解答出物理問題的關鍵。物體在共點力作用下的動態(tài)平衡問題，既是高中物理的重點內(nèi)容，又是學生學習的難點。解答共點力的動態(tài)平衡問題時常用到數(shù)學中的“解析法”、“圖解法（矢量三角形法和相似三角形法）”，尤其“圖解法”不僅直觀、形象，而且學生易于接受、掌握和運用。具體典例列舉如下：

一、解析法

【原理】：根據(jù)受力分析作出力的圖示，利用數(shù)學中的三角函數(shù)關系解直角三角形，最終根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性解決問題，尋找出各力的變化情況。

【特點】：適用于三力或者多力作用下的動態(tài)平衡問題。

二、矢量三角形法

【原理】：力的矢量三角形定則是從平行四邊形定則中演繹出來的新的數(shù)學方法，解決共點力問題有很好的作用，特別是動態(tài)平衡問題、力的合成與分解中的多解分析，這樣的方法非常嚴密。

【特點】：適用于所受的三個力中，一個力大小、方向不變；一個力方向不變，大小不確定；另一個力的方向發(fā)生變化，大小不確定的情況。

【例2】.如圖2甲所示，在豎直平面內(nèi)的直角坐標系中，一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在外力F的作用下，從坐標原點O由靜止沿直線ON斜向下運動，直線ON與y軸負方向成θ角（θ<π/4）。則F大小至少為？搖？搖 ？搖？搖；若F=mgtanθ，則質(zhì)點機械能大小的變化情況是___________。

【解析】：如圖2乙所示，質(zhì)點受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿著ON方向，將重力、外力、合力歸結(jié)到一個三角形中，該質(zhì)點受到重力和外力F從靜止開始做直線運動，說明質(zhì)點做勻加速直線運動。如圖2乙中顯示當F力的方向為a方向（垂直于ON）時，F(xiàn)力最小為mgsinθ；若F=mgtanθ，即F力可能為b方向或c方向，故F力的方向可能與運動方向相同，也可能與運動方向相反，除重力外的F力對質(zhì)點做正功，也可能做負功，故質(zhì)點機械能增加、減少都有可能。兩空分別填：mgsinθ，增大、減小都有可能。

三、相似三角形法

【原理】：相似三角形法通常尋找的是一個力的矢量三角形與一個幾何三角形相似。利用相似三角形對應邊的比例關系求解力的大小。

【特點】：適用于物體所受的三個力中，一個力大小、方向不變，其他兩個力的方向均發(fā)生變化，且三個力中沒有兩力保持垂直關系，可以找到力構(gòu)成的矢量三角形與邊構(gòu)成的幾何三角形相似。（特別是當幾何三角形的邊長已知時）

以上列舉了幾個解決共點力動態(tài)平衡問題的典型例題，其中都用到了數(shù)學方法。數(shù)學作為工具學科，其思想、方法和知識始終滲透、貫穿于整個物理學習和研究過程中，為物理概念、定律的表述提供簡潔、精確的數(shù)學語言，在物理學習中用好數(shù)學方法為學生進行抽象思維和邏輯推理提供有效保障，為物理學中的數(shù)量分析和計算提供有力工具。高考物理試題的解答離不開數(shù)學知識和方法的應用，借助物理知識考查數(shù)學能力是高考命題的永恒主題。

參考文獻：

[1]人民教育出版社物理教材必修一.

[2]優(yōu)化設計、物理教參必修一.