授之以魚，不如授之以漁

翁愛蘭

摘 要：“現代技術的使用將會深刻影響數學教學內容、方法和目標的改變”。隨著近幾年微課的發展，課堂早已不是“三尺講臺+一塊黑板+一支粉筆”，如今課堂有更豐富的內容、形式。幾何概型是高一學生學完概率的古典概型后的又一概率模型，是對古典概型內容的進一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，借助微課通過類比、啟發、猜想、探究得到幾何概型的定義、計算公式。作者借助最近研究的微課課題寫了教學隨筆。

關鍵詞： 幾何槪型 無限 等可能 事件

一、教學目標

二、教學分析

三、教學過程設計

（一）新課引入：觀看微課視頻。

1.學生觀看微課視頻3分鐘，主要內容：甲、乙兩人玩轉盤游戲。旋轉轉盤，當轉盤停止時，指針可以指向轉盤上的任意位置。規定當轉盤停止時指針指向B區域，乙勝；否則甲勝。求乙勝的概率。（轉盤被六等分）

同學A：0.5，因為總的基本事件有6個，每個基本事件發生的概率都是等可能的，又因為B區域有3個，當指針指向B時乙勝，這是古典概型，所以乙勝的概率為0.5。

同學B：不對，這題不是古典概型。我認為應該用圓弧比表示概率，答案是0.5。

同學B：我認為不是古典概型，但也不同意B的做法，我是用面積比表示所求概率，答案也是0.5。

老師：這個問題中的基本事件是什么？

學生：基本事件是轉盤停止時指針的位置。

老師：基本事件個數怎樣？

學生：它有無限個。

老師：基本事件等可能嗎？

學生：等可能。

老師：如何求解？

[設計意圖]通過觀看微課視頻，引起學生認知上的沖突，進而引出新的思考、新的問題。

2.學生觀看微課視頻2分鐘，主要內容：古典概型的定義、特點、公式。

老師：古典概型中，事件A的概率只要數清A所含的基本事件的個數與全部基本事件的個數，它們的比值就是這個事件的概率。上面的問題還能用個數比求事件的概率嗎？基本事件能數得出來嗎？

學生：不能。

老師：類比古典概型的特點及其概率公式，能否找到一個合適的方法研究上面的問題。

[設計意圖]通過觀看微課視頻，復習舊知，起到承上啟下的作用。

（二）類比啟發：數學的眼光觀察。

學生思考2分鐘，小組討論交流。

學生：全部基本事件構造成一個圓，把“乙勝”這個事件的基本事件構造成3個扇形，然后用它們的面積之比求概率，答案應該是0.5。

老師：很好，請坐。還是古典概型的思想，不同的是我們構造成了扇形與圓。利用它們的面積之比求概率。若把圓B區域移動，如右圖，乙勝的概率是多少？

學生：還是0.5。

老師：如果改為正方形呢？

學生：0.5。

老師：以上現象說明什么？有什么共同特點？

學生：“乙勝”的概率與B區域的位置無關；只與B區域的面積所占的比例有關。

老師：很好。我們的想法是：雖然基本事件的個數為無限個，無法一一數出來。但我們可以把事件A的基本事件和全部基本事件分別構造成兩個可以度量的幾何圖形。然后用它們的幾何度量之比求概率。

思考1：有一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么事件A：剪得的兩段的長度都不小于1m的概率是多少？你是怎樣計算的？（利用幻燈片展示）

老師：這個問題中的基本事件是什么？

學生：剪刀可以剪到的任意位置。

老師：個數怎樣？是不是等可能的？

學生：無限個，等可能。

老師：如何求解？

學生：我覺得可以把全部基本事件構造成長度為3m的繩子的這條線段，把事件A的基本事件構造成這條線段上從1m到2m之間的線段，那么事件A的概率就可以用這兩條線段的長度之比計算。結果應該是。

老師：很好。我們的想法是雖然基本事件的個數為無限個，無法一一數清。但我們可以把事件A的基本事件和全部基本事件分別構造成兩個可以度量的幾何圖形。然后用它們的幾何度量之比求概率。

[設計意圖]抽象出幾何概型的另一種幾何度量——長度。

思考2：一只海豚在一個長40m，寬30m，深20m的水池中自由游弋，求它距離池底與池壁均不小于5m的概率。（利用幻燈片展示）

老師：這個問題中的基本事件是什么？

學生：海豚在水池中的位置。

老師：個數怎樣？是不是等可能的？

學生：無限個，等可能。

老師：如何求解？

學生：把海豚任意位置抽象為一個點，這樣全部基本事件可構造成一個長為40m，寬為30m，高為20m的長方體。而把事件A的基本事件構造成一個長為30m，寬為20m，高為15m的長方體。用它們的體積之比求概率。

老師：思想一樣，這里構造成了立體圖形，用體積之比求概率。

[設計意圖]抽象出幾何概型的另一種幾何度量——體積。

通過以上三個例子的研究發現它們的共同點：

（1）基本事件的個數是無限的；（2）每個基本事件發生的可能性相等；（3）都可用幾何圖形的幾何測度求概率。

具有以上特點的概率模型就是我們今天要研究的主要內容。因為這種概率模型需要借助幾何圖形求解，所以我們稱之為“幾何概型”。

[設計意圖]從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造就了數學的難懂、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律，在可能情況下盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象。通過師生互動探究，使概念的生成自然，容易被接受。

（三）探究歸納：明確基本概念。

幾何概型的概念：

（1）無限性：基本事件的個數都是無限個；

（2）等可能：每個基本事件發生的可能性都相等；

（3）成比例：每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例。

古典概型和幾何概型之間有怎樣的區別與聯系呢？

學生：它們的共同之處在于：①等可能性；②公式都是比的形式。

它們的不同點在于：古典概型中基本事件的個數是有限個；而幾何概型中基本事件的個數是無限個。

老師：學習幾何概型之后，我們判斷以下概率問題屬于哪種概率模型？（利用幻燈片展示）

判斷下列概率問題的基本事件是什么，屬于哪種概率模型

1.拋擲兩顆骰子，求出現兩個“6點”的概率。

2.兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率。

老師：今后當我們遇到概率問題時，首先要像這樣判斷這屬于哪種概率模型，然后用相應概率公式求解。請看一道例題：（利用幻燈片展示）

（四）應用舉例：鞏固基本概念。

例1：某人午覺醒來，發現表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。

學生思考、討論，教師適當引導。

[設計意圖]心理學認為：概念一旦形成，就必須及時加以鞏固，通過例1加深學生對幾何概型理解及公式的應用。

（五）歸納總結：加深基本概念。

老師：通過本堂課學習你收獲了什么？

學生：1.幾何概型及特點，計算公式。2.研究概率時，先研究是古典概型還是幾何概型。接下來利用概率公式求解。

[設計意圖]知識性內容的總結，可以把課堂教學傳授的知識盡快轉化為學生的素質。

四、課后反思

（一）良好的開篇是成功的一半。

本課是一節概念課，如何循序漸進地引入新課，由易到難地提出問題，使概念生成水到渠成，剛開始借助的微課視頻主要目的是：引導學生來到教師預設的方向，使學生關注這個問題與古典概型的區別，進而引發認識上的沖突。由于本節引入精彩獨特，讓學生在感興趣的人物對話情境中進入本節學習，從而激發了學生的學習興趣。

（二）授之以魚，不如授之以漁。

筆者曾思考了多種方式教學，最終以“教是為了不教”，“授之以魚，不如授之以漁”為主導思想，課堂上以教師為主導，學生為主體，發揮學生主觀能動性，以多種相似問題情境研究相同問題，根據已有古典概型的知識類比、猜想、歸納總結、得到概念等教學過程。由于前面做了較多鋪墊，得到幾何概型概念后學生自然得到了幾何概型的計算公式，并進行了幾何概型與古典概型的區別聯系。學習知識的同時，又培養了主動學習能力，如何學，怎么學。我想通過本節學習學生一定會印象深刻。

參考文獻：

[1]耿熹.幾何概型“等可能性”的教學思考.福建省第三屆基礎教育優秀論文匯編.

[2]李青林，劉運新.注重概念形成過程，彰顯課堂靈魂魅力——微課“離散型隨機變量的均值與方差的定義”的教學隨筆[J].數學通訊（下半月），2016（1）：15-17.

本文系2014年度福州市教育信息技術研究立項課題“基于微課的高中數學教學研究”（編號：FZDJ2014B10）的階段研究成果。