數學轉化知識探究

王禹童

(黑龍江省綏化市第一中學 黑龍江綏化 152061)

數學轉化知識探究

王禹童

(黑龍江省綏化市第一中學 黑龍江綏化 152061)

處理數學問題的實質是實現新新知識向已學知識的轉化﹑復雜問題向簡單問題的轉化，未知向已知的轉化，陌生的向熟悉的轉化。

這種解決問題的模式可圖示如下：

一、樹立用轉化解題的信心，提高轉化的自覺性

問題看起來不論多么復雜，一般都可通過轉化加以解決。而轉化往往是從已知條件或所求結論中開始，對不熟悉的條件或結論形式，通過化簡變形，轉化為熟悉和簡單的形式。樹立這樣的信念和自覺地在解題中不斷進行轉化是很重要的。

對一切│p│≤2，p∈R，不等式(log2x)2+plog2x+1＞2log2

x+p恒成立，求實數x的取值范圍。

這里由于題中p的取值范圍是確定的，因此以p作自變量給問題的解決帶來方便，如果把│p│≤2改為│p│＜2，則相應的有f(-2)≥0且f(2)≥0。

需要說明的是：對于一般函數g(x)在某區間[a,b]上恒大于零不一定等價于g(a)＞0且g(b)＞0，這一點在轉化時要注意，因為g(x)在[a,b]上不一定單調。

分析與解：設t=cosx+cosy，則

評注： 對所求證的結論運用所學的三角知識實現轉化直到與已知條吻合，最后又轉化為不等式問題，這樣就很快使問題得證。其間的轉化體現了數學的統一美﹑協調美。

二、注意轉化的合理性

一個問題，常常能同時轉化為多個不同的問題，究竟選擇哪一個作為方向，這是需要考慮的。有時會由于所作的轉化不當而使解答顯得繁瑣，進而影響解題的正確性與效率。

分析 ： 若條件等式的分母實數化，則運算十分復雜，仔細分析條件，不難發現其中規律。因為x2+2xy+y2+x2y＝(x+y)2-(xyi)＝(x+y+xyi) (x+y-xyi)

又27-8i=33+(3i)3=(3+2i)[32-3×2i+(2i)2]=(3+2i)(5-6i)于是條件轉化為x+y-xyi=5-6i。所以x+y=5，xy=6。解之得x=3,y=2或x=2,y=3。

分析 這是一個實際問題，需要轉化為數學問題來做

兩種轉化都可以得到結果，但轉化1比轉化2在運算上要簡單得多，一般來講，當一個問題有多種的可能轉化且所選取的某一種轉化不合適時，應該及時改變轉化的方向，以提高解題效率。

三、等價轉化與非等價轉化辨析

等價轉化原則是實施轉化策略過程中應遵循的最基本的原則，它是指在轉化前后的等效性。它要求我們在轉化的過程既要看問題的結構﹑形式，更要看問題的實質。假如解題中用的是一種非等效性轉化，則最終求得的結果可能與題意的要求不一致。

⑵變形為yx2-50x+y=0(※)，顯然y＞0，看成關于x的方程，則Δ≥0，得 y≤25，若據此得出ymax=25，則也是錯誤的，這是由于y=25時x=1并不適合x≥2，因此y的最大值不是25，這是因為求原函數的值域不能等價轉化為方程(※)有解，而應轉化為(※)有不小于2的根，當且僅當(※)的大根不小于2；或者可令f(x)=yx2-50x+y(y＞0)則又可轉化為二次函數問題來做，答案也是一樣。

轉化包括了許多的數學思想和方法。事實上，除了極簡單的數學問題外，幾乎所有的數學題都要經過一次或多次轉化才能解決，例如，反證法就是把原命題轉化為它的逆命題來進行處理，立體幾何問題常轉化為平面幾何問題，數形結合就是數與形的相互轉化等等。

由于每個人在知識與能力上的差異，對問題的理解與認識必然也會有差異，盡管差異有時導致差錯，但正如恩格斯所說的“由這種形式轉化為另一種形式，不是無聊的游戲，而是數學的杠桿。如果沒有它，就不能走很遠?！睘榱双@得問題的解決，也為了走得更遠，我們就得注重轉化，讓數學的靈魂光芒四射。

(指導教師：秦竹)