充分挖掘高效利用
——高考數學復習課例題講解技巧分析

于倩倩

（福州市第十八中學，福建福州350000）

充分挖掘高效利用
——高考數學復習課例題講解技巧分析

于倩倩

（福州市第十八中學，福建福州350000）

結合在高考復習階段的數學教學案例，圍繞如何充分挖掘學生潛力、高效利用例題價值展開思考。教學實踐表明，教師可以通過合理的整合、編排、應用，將例題蘊含的思想方法，包含的計算技巧，強化的理論概念充分利用挖掘，鼓勵學生進行大膽思考推理，培養他們的數學能力和素養。

復習課；例題；改編；高考

數學是一門抽象科學，單純的理論過于生澀難懂，例題的講演，成了數學課的重頭戲。尤其是高考復習課的例題，能夠幫助同學回顧基礎知識，梳理分析思路，總結方式方法。本文結合筆者在高考復習階段的數學教學案例，闡述了四種不同的例題設置方法，圍繞如何充分挖掘學生潛力，高效利用例題價值展開思考與探索。

一、把握節奏，讓例題成為“配角”

例題的講解常用于幫助學生學習方式方法、拓展思路提升思維、鞏固和強化概念性質。在《二項式定理》的高考復習課上，筆者采用了2015年新課標I卷的一道選擇題作為課前熱身題：

例1.（x2+x+y）3的展開式中，x5y2的系數為（）。

A．10B．20C．30D．60

作為引入，旨在通過與高考相關的問題引起學生對于本節知識的重視，并引發學生的思考，喚起學生對于二項式定理的基本知識及使用方法的回憶。故開始教師并不急于讓學生立即解答，而是通過提問，讓學生回憶二項式定理的基本概念與推導過程。在給予學生充分的思考和整理時間后，教師根據學生的總結，將相關知識進行了梳理、歸納和板書，為本節復習課夯實原理基礎。而后，教師再帶領學生回歸本例，解決問題，而例題這位“配角”的價值也得到了豐富和升華。

通過思考與解決例題的過程，回顧相關的性質定理，掌握解題的思路與技巧，從而達到復習的目的。這樣的設置，讓學生主動去探索而不是被動接受，比起教師一開始就灌輸基本性質定理更加有效。

二、高效課堂，例題選擇很重要

無論是書本還是講義，例題總是層出不窮，變化多端，如果每一題都精講精練，不僅顯得沒有層次與重點，也會給師生帶來極大的負擔和壓力，故教師在選擇例題時，應精挑細選，尤其是學生進入高考復習階段，時間緊迫，而且學生知識的儲備已日漸豐滿，一題多解、綜合性強的題型是高效復習的好選擇。

相信許多教師在講評例題或者批改作業的時候，都會遇到以下類似的情形：

下例是一道湖南省高考模擬題：

例2.四邊形ABCD中，AB=7，AC=6，cos∠BAC= 11/14，CD=6sin∠DAC，則BD的最大值為。

在前一晚的作業中，教師布置了該題，可做出來的學生寥寥無幾，第二天課堂上，教師邀請了一位得到了正確解答的同學來闡述他的解題思路。他的解答是這樣的：

大膽假設、熟練轉化。該生精彩講演之后，另一名同學舉手，提出了更簡捷的思路：利用了數形結合的思想，∵∠ADC=90°，不妨作△ADC的外接圓，AC為直徑，AC中點為圓心，不難算出cos∠ABC>0，所以∠ABC是銳角，故B點在外接圓外部。∵△ABC可以確定唯一，所以點B是圓外一定點，那么問題就可以看成是圓外一定點B與圓上一動點D之間的距離問題，那么BDmax=d+r=8。

思維火花的碰撞，讓學生學習到了更多課本給不了的知識，教師演示、強調多次的數形結合思想，不如這兩位學生的靈活運用給其他同學帶來的直觀感受強烈。

即使在同一課堂下，各人的吸收與反饋不盡相同，對于知識點的理解和應用熟練程度也有所不同。一道題出現，每個人都會選擇自己熟悉的、簡便的方法去完成。教師應充分利用這一特點，將能進行一題多解的例題搬上講臺，讓學生在課堂討論、碰撞，發揮所長。這樣不僅能讓學生彼此補充、相互學習、拓展眼界，還能提高學生的自信，激發他們從更多角度去思考和發現問題，從而達到高效課堂的目的。

三、恰當改編，一題多變感悟深

有些題目雖然結構形態相似，解決的思維方式卻不盡相同。課堂的時間有限，考察的內容卻是多樣的，教師應當注重對教材或者其他材料的“二次開發”，可以通過適當的改編，讓一道題呈現不同的考點，讓學生集中解決一類多樣的問題，能夠更好地幫助他們強化審題和辨析能力［1］。

在微積分定理的復習課上，教師選用了一道書本改編題：例3：求x=y2與y=x-2所圍成的曲邊梯形面積。根據①作圖②找點③寫積分式④計算的基本步驟，學生根據以往知識可以較容易的得到的積分式，并根據牛頓-萊布尼茨公式進行計算。

在大部分學生完成之后，教師提出是否有其它方式解決該題，讓學生思考幾分鐘后，引導學生用y型積分式表示該曲邊梯形面積：，該方法顯然比x型更加簡便、易計算。為加深學生對積分的理解，教師提出了兩道變式：

變式1：求y=x-2與y=-1與y=2與y軸圍成的圖形，繞y軸旋轉一周，得到的圓臺體積。

從積分的定義入手，教師指導學生梳理積分相關知識并得出結論。

變式2：求y=x-2與x=y2圍成的曲邊梯形，繞y軸旋轉一周得到的幾何體體積。

本題是變式1的深化，可以讓學生在充分掌握變式1后進行獨立思考與演練，再由教師指導作答：

若課堂時間不允許，教師亦可將其作為課堂的“留白”，讓學生在課下就此類問題進行歸納、回味和升華。

一道例題，兩道變式，由淺入深、層層遞進，將微積分知識進行了較全面的涵蓋與深化。例題是幫助學生累積經驗的一種重要手段，相關題組的講解和訓練，能夠幫助學生提高轉化和化歸的能力，激發學生的認知興趣和解題能力。教師不應只局限于書本或者練習給的例題，生搬硬套［3］。挖掘和整合，適當的編排，能夠升華一道題的品質和功能。

四、巧設練習，“例”從生來

例題從何而來？書本？講義？還是網絡？

在與學生討論直線與圓相切的位置關系時，教師先是在課堂上給學生出了這樣一道練習，邀請了一位平時成績中上的同學上臺板演：

例4.圓的方程為x2+y2-2x-2y+1=0，過點P（2，4）作圓的切線，求切線方程。

這個同學經過一番思考后在黑板上寫下了如下過程：

設直線方程為y-4=k（x-2），

這位學生下臺后，教師首先肯定學生的板書與思路，利用直線與圓相切時圓心到直線距離等于半徑這一性質解決問題。但教師馬上又提出疑問：P點與圓的位置關系是怎樣的？

生：P點在圓外。

師：過圓外一點可以作幾條圓的切線呢？

生：兩條。

師：那么另外一條去哪了？我們漏了什么情況？

學生馬上反應過來，原來是把直線斜率不存在的情況漏了。

于是教師再次邀請了剛才的同學上來補充，他的補充如下：

若直線斜率不存在，則直線方程為x=2，圓心（1，1）到直線的距離為2-1=r

∴x=2與圓相切，

∴切線方程為x=2或3y-4x-4=0.

至此這道題才算完整解決。

教師馬上總結：過圓上一點有且僅有一條直線與圓相切，過圓外一點做圓切線有兩條，大家在做題時應牢記這個性質，充分考慮直線斜率的存在性討論。課堂的主角是學生，教師需要有熟練的基本功和豐富的經驗才能把控課堂，引導學生［3］。這樣的教學片斷其實并非偶然，而是教師根據平時積累的教學經驗，預設到學生的認知漏洞，而特別設計的，旨在讓學生自己犯錯，自己糾正，以錯為鑒，真正理解和掌握該方面的知識。

例題不一定要生硬地寫在教材或者講義上，它可以生動地出現在課堂的每一個環節，學生的習作，生活的常識都可以作為數學課上值得思考和學習的例題，這樣靈活的教學，能很好幫助學生加深印象，理解知識，掌握方法。

充分的例題講解是學生高效學習的前提，無論是課本還是講義的例題，教師都應認真對待，探析所要考察的目標和所想展示的思維過程。通過合理的整合、編排、應用，將例題蘊含的思想方法，包含的計算技巧，強化的理論概念都完整的挖掘與利用，鼓勵學生進行大膽的思考和推理，培養他們的數學能力和數學核心素養。

［1］梁棟，朱鴻玲.數學概念二次教學的實踐與思考——以一道例題的教學為例［J］.數學教育學報，2015（2）.

［2］蔣昊.少做“偵察兵”多做“參謀長”——課堂教學“留白”策略的思考及實踐［J］.福建中學數學，2011（10）.

［3］洪瑋.課標課程背景下數學課堂教學有效性的思考［J］.福建中學數學，2007（10）.

G632.4

A

1673-9884（2016）09-0120-03

2016-05-30

于倩倩（1987-），女，福建福州人，福州市第十八中學二級教師。