一節培養創新能力的數學課*

●邱友會 李德安

(曲靖市第一中學 云南曲靖 655000)

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一節培養創新能力的數學課*

●邱友會 李德安

(曲靖市第一中學 云南曲靖 655000)

創新教育的理論及重要性無需質疑.數學課堂上，對學生創新能力的培養，在理論上已取得較大的進步，但在教學實踐中卻舉步為堅.筆者就高中數學的教學，從實踐中給出培養創新能力的一個實例，希望能對創新教育的實踐起到一個拋磚引玉的作用.

探究;推廣;創新

培養創新人才，形成創新型社會，要從學生抓起，從課堂開始.數學課在培養創新能力中，更多體現在知識概念的傳授中，體現在一題多解與多題一解的探究中.其實，數學課堂更應該關注知識內在的聯系，打開學生聯想的思維.當前，高中數學課堂中，對學生創新能力培養的理論雖取得了很大進步，但在現實中卻少有人實踐，大多情形仍在應試教育的“怪圈”中轉來轉去.同時，多數教師認為，在高中數學教學實踐中，要培養學生的創新能力是很難實現的.

事實上，執教者經過多年的教學實踐認為，高中數學教學培養學生的創新能力是有條件的，土壤是成熟的，它是可能的.關鍵是教師要有意識地去培養學生的創新意識、創新精神，進而培養學生的創新能力.執教者有幸在曲靖市第一中學上了這樣一節終生難忘的課，下面再現課堂實錄及評析，供同仁參考.

1 課本習題解法研究

圖1

問題 人教A版《數學(必修5)》習題3.4B組第2題：如圖1所示，樹頂A離水平視線a米，樹上另有一點B離水平視線b米，在點C處看此樹上的點A,B，離此樹多遠時視角最大？

師:哪位同學談談自己的解法(該問題課前已留作思考問題).

生1(舉手)：我想到2種解法.

師:好！請簡單地把解法展示給大家.

生1(通過投影儀)將2種解法展示如下：

解法1 (應用三角)設樹與水平視線相交于點O,則

∠OCB=α, ∠OCA=β,

∠ACB=θ=∠OCA-∠OCB=β-α.

設OC=x,則

于是

(1)

由已知a>b,x>0,故由式(1)知tanθ>0,θ為銳角，由基本不等式得

由三角函數知識得

故

解法2 (應用坐標)設樹與水平視線的交點為O，以樹所在的直線為y軸、OC所在直線為x軸建立直角坐標系，則由題意得A(0,a),B(0,b).不妨設C(x,0)(其中x>0)是x軸正向上的一點，則由線到線的角公式得

以下同解法1(略).

2 推廣研究

圖2

師:生1的解法非常好，既簡單又清楚.下面再給大家提供一種解法.

解法3 (應用平面幾何)如圖2，作過點A,B且與射線OC相切的圓Q，切點設為M，射線OC上除點M外，其余點均在⊙Q外，故∠ACB的最大值為∠AMB.作QP⊥AB于點P，則

在Rt△BPQ中，

即

師:除此之外還可以用向量或應用余弦定理等方法求解，課堂上對解題的方法暫時不作探究，請感興趣的同學課后繼續研究.我們知道數學的解題方法是無止境的，只要你感興趣，只要你肯研究，就一定還有方法.此問題能否推廣，即能否推廣為更具普遍性的結論.

評析 教師又給出了平面幾何中的靈活解法，可以看出教師解題功底的深厚.但在此處又不過多探究解題方法，而是將繼續探究放在課后，體現了課堂教學向課后的延續，也彰顯著教師對課堂的掌控能力.此處雖有“點”可挖，但本節課的重點不在此.為突出本節課的探究重點，故將該“點”延續到課后.

生2：可以推廣為地面上一點到墻上2個定點的最大視角.

生3：推廣為2條互相垂直直線上，其中一條有2個定點，另一條上動點看2個定點的最大視角問題.

評析 教師的提問，引發學生對問題本質的思考及精練的概括.學生的回答趨于對問題的理解及再認識.

師:非常好！能否由此得出一個定理？

學生沉默，一片茫然……

師:什么是定理？

生(部分)：經過證明是真命題的都是定理.

師:是的！我們不要把定理看作是神秘不可觸摸的東西，只要是經過證明的真命題都是定理，當你所得到的真命題有用時，它就是有價值的定理.本節課我們就來探究此習題得出的定理.

評析 教師的點撥，使嚴肅的定理變得生活化.很多時候，學生不敢探究，不敢得出新結論，就是出于內心的敬畏與恐懼，總是感覺定理很“神秘”.教師“蜻蜓點水式”的提問，使學生自然走上了探究之路.

圖3

定理1 設直線l1⊥l2，垂足為點O，A,B∈l1，C∈l2，∠ACB=θ，|OA|=m，|OB|=n，m>n，A,B在l2的同一側，則θ為銳角且

評析 教師規范語言，學生對問題的結論進行提煉，輕松得到定理1，此處的推廣是一次自然提煉.

3 引申研究得出新定理

師:同學們看看我們提煉出的定理1滿足的條件是什么？

生(齊聲)：定理1滿足的條件是有2條互相垂直的直線，其中一條直線在垂足的同一側有2個定點，另一條直線上的點到這2個定點視角最大值問題.

師(追問)：中學數學哪一部分知識具備這樣的條件呢？

生(齊聲)：圓錐曲線——橢圓、雙曲線(還有小部分聲音說拋物線).

圖4

師:我們先看看橢圓中有沒有互相垂直的2條直線，其中一條上有2個定點，在另一條上看這2個定點的最大視角會怎樣？

生4(舉手)：有呀！對稱軸上2個焦點、頂點等都滿足您所說的條件.

師:好的！不妨設橢圓準線和y軸相交于點M(如圖4)，A,B分別為橢圓的上、下頂點，P為準線上的點，則

將它們代入定理得

設∠APB=θ，則

sinθ≤e或θmax=arcsine，

如此美妙的結論，學生情緒紛紛高漲.

師(進一步啟發激勵)：同學們，圓錐曲線的一些特征線、特征點非常有利于作這樣的探究.請同學們試試看！

在此,執教者本想試一試，目的是培養學生的創新精神和創新意識，然而學生竟然探究發現新的定理，這充分體現出學生的創新能力是不可小覷的.

評析 教師循循善誘的引導，將學生的探究點放在了圓錐曲線上.在圓錐曲線中，滿足問題條件的載體較多，具備條件的特征點、特征線更多.教師從本人已掌握的結論，先得出橢圓中的一個優美結論，讓學生驚喜與振奮.帶著這份激動之情，教師還時間給學生，讓學生自己動手實踐，迎接挑戰，感受樂趣.

4 學生探究發現新定理

學生經過一段時間的探究思考，竟然有學生發現新定理.

生5到黑板上演示了其發現的新定理.

證明 如圖5,設θ=∠FQO，則

圖5 圖6

生6對定理3進一步抽象概括為一般性結論：2條互相垂直的直線，其中一條上的動點視另一直線上的定點與該點與垂足間的中點的視角為θ，則

……

評析 教師還時間給學生，學生還驚喜給教師.每位學生的視角不同、出發點不同，自然就有不同的發展探究之路.教學需要啟發，創新需要頓悟.時間很寶貴，時間的分配很重要.學生在創新時，一定要有屬于自己的探究之路.

5 課后評析

本節課執教者和學生都在創新的激情中分享新的東西，這使大家真正認識到：創新在中學數學中是現實的，中學生也具備創新能力.但在常規的課堂中，無論教師還是學生基本沒有創新的意識，也沒有創新的精神，更多的是忙于應試教育之中.這樣教師和學生都缺乏創新精神和創新意識，一定程度上可以說培養創新能力沒有良好的土壤，我們怎么能為社會培養符合時代需求的創新性人才呢？

1)本節課的問題是教材上的習題，從學生熟悉的問題出發，解決問題后，關鍵是結論的有效遷移，看到知識的內在聯系.中學數學每一部分內容，都有相關的題目與相關的結論，看似雜亂無章，卻聯系緊密.課堂不僅僅是傳授知識的場所，更是聯系知識的平臺.教師要經常給學生提供這樣的平臺.

2)一堂好課的標準是什么？標準很多，并不唯一，而且仁者見仁、智者見智.教育要促進學生的發展，一堂好課一定是適合學生發展的課.發展的核心在創新，創新就在身邊，從課堂開始，從教師的鉆研開始，從學生的實踐開始.

3)詞有詞根，題亦有題根.應試教育重視題根的應用，素質教育重視題根的聯系.為了在短時間內獲得高分，應用、實用很重要，從而做題的數量很關鍵；為了真正地培養創新能力，聯系、聯想很重要，從而做題的質量很關鍵.教師要在應試環境下，做好素質教育，除了要有執著的精神，更要有一顆平靜的心.在課堂教學中，教師不要急功近利，盯著提高學生分數不放，這樣只能使教師的目光越來越短淺，學生的心胸也越來越狹窄.教師要樹立如下正確的基本觀念：①潛能開發觀；②問題探究觀；③學生主體觀；④行為實踐觀；⑤個體差異觀；⑥師生合作規；⑦生命發展觀；⑧評價過程觀.有著正確的觀念，在遵循教育規律下，開展探究學習.那么，分數其實只是提升能力、拓展思維、培養創新的一個附屬品.

4)認知的理論有行為主義理論、格式塔理論、皮亞杰理論、社會建構主義理論、信息加工理論等等.課堂教學的認知結構應建立在怎樣的理論上？應該將知識的邏輯結構與學生心理認知發展的認知結構有機結合，而不局限在怎樣的認知理論;幫助學生形成知識塊，便于將知識存貯在記憶中，有效地加以利用，形成能力.正如美國教育心理學家布魯納所說：“獲得的知識如果沒有完美的結構把它聯在一起，那是一種多半會被遺忘的知識.一串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命.”

?2015-10-26；

2015-11-13.

云南省曲靖市教育局、曲靖師范學院教育科學規劃課題“高中數學課堂教學創新研究”(QJQSKT2015001).

邱友會(1967-)，男，云南馬龍人，中學高級教師，研究方向：數學教學及數學課堂中的創新實踐.

O124.1

A

1003-6407(2016)03-11-04