一個條件等式派生出的若干不等式鏈*

●何 燈 李云杰

(福清第三中學 福建福清 350315)

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一個條件等式派生出的若干不等式鏈*

●何 燈 李云杰

(福清第三中學 福建福清 350315)

文章以一個條件等式為出發點，建立了2條不等式鏈，并由此派生出與一些經典不等式競賽試題相關的若干不等式鏈.

條件等式；不等式鏈；數學競賽

1 問題緣起

文獻[1]和文獻[2]中研究了以“p,q,r為正實數,且p2+q2+r2+2pqr=1”為條件的一類不等式的證明,得出了若干結論.特別地,文獻[2]中歸納了該條件下的5個性質,并應用這些結論證明有關條件不等式.

性質 設p,q,r為正實數,且p2+q2+r2+2pqr=1,則

(1)

(2)

3)p+q+r≥2(pq+qr+rp);

(3)

(4)

(5)

文獻[3]則給出了上述5個性質的統一的三角代換法證明.在拜讀3篇文章的同時,筆者萌生一個想法：能否將上述零散的5個不等式統一成一體,構成一條不等式鏈？經探究,得到了2條主要的不等式鏈,并由此派生出與一些經典不等式試題相關的若干不等式鏈.

2 2條基礎不等式鏈

結論1 設p,q,r為正實數,且p2+q2+r2+2pqr=1,則

結論2 設p,q,r為正實數,且pq+qr+rp+2pqr=1,則

由于上述2個結論可以相互轉化,限于篇幅,下面僅針對結論1給出其若干應用.

3 結論1的應用

(第48屆中國國家集訓隊試題)

分析 令u=4p2,v=4q2,w=4r2,則已知條件轉化為p2+q2+r2+2pqr=1,待證不等式等價于

例2 設正實數x,y,z滿足xy+yz+zx+xyz=4,求證：x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南數學奧林匹克競賽試題)

分析 令xy=4p2,yz=4q2,zx=4r2,則已知條件轉化為p2+q2+r2+2pqr=1,待證不等式等價于

例3 設非負實數x,y,z滿足x2+y2+z2+xyz=4,求證：xy+yz+zx-xyz≤2.

(第30屆美國數學奧林匹克競賽試題)

分析 令x=2p,y=2q,z=2r,則已知條件轉化為p2+q2+r2+2pqr=1,待證不等式等價于

(2005年伊朗數學奧林匹克競賽試題,2007年美國國家集訓隊試題)

(2011年中歐數學奧林匹克競賽試題)

由上觀之,通過對文首5個性質的串聯,本文所建立的2條基礎不等式鏈能夠對一類不等式賽題給出上界、下界或隔離,并由此發現一些相關的不等式.2個結論的更多應用,留給有興趣的讀者繼續探究.

[1] 陳建兵,鄒守文.一個條件等式派生的不等式在證明競賽不等式試題中的運用[J].中學數學研究,2011(5):46-49.

[2] 鄒守文.一類不等式奧林匹克競賽試題的共同背景[J].中學教研(數學),2012(9):43-46.

[3] 查正開.一類代數問題的三角解法[J].中學教研(數學),2015(4):15-19.

[4] 李建潮.一類三角形不等式的證法初探[J].河北理科教學研究,2014(4):41-43.

[5] 張俊.一個三角形恒等式繁衍出的代數不等式[J].數學通訊,2010(9):61-62.

?2015-09-08；

2015-12-19.

何 燈(1984-)，男，福建福州人，中學二級教師，研究方向：初等數學、不等式.

O122.3

A

1003-6407(2016)03-31-03