再探平面向量數(shù)量積的應用*

●寇恒清

(上海市黃浦區(qū)教育學院 上海 200023)

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再探平面向量數(shù)量積的應用*

●寇恒清

(上海市黃浦區(qū)教育學院 上海 200023)

筆者對平面向量數(shù)量積的一些應用進行了初步探討．主要涉及以下3個方面：在距離問題中的應用、在向量等式問題中的應用、在最值問題中的應用．文中通過若干典型例題的解析，來闡述這些應用的操作方式、具體特點與獨特優(yōu)勢.

平面向量；數(shù)量積；應用

關于平面向量數(shù)量積的應用，比較常見的是平面圖形中的夾角(含平行與垂直)問題，這方面的研究已比較多．而對于其他方面的一些應用，相關研究還比較少．下面就對這些應用進行初步探討，供同行們教學時參考．

1 在距離問題中的應用

在平面幾何與平面解析幾何中，有許多距離問題，可以用向量的數(shù)量積運算來解決．

其中i=1,2,3,4,5，可得

例2[1]證明：正多邊形內(nèi)任意一點到各邊所在直線距離之和為定值．

分析 正多邊形內(nèi)任意一點到各邊距離可轉化為數(shù)量積，然后證明這些數(shù)量積的和為定值．

圖1

證明 如圖1，設P為正n邊形A1A2…An所在平面內(nèi)的任一點，Ci(其中i=1,2,…,n)是邊AiAi+1(其中An+1=A1)的中點，點P到邊AiAi+1(其中An+1=A1)的距離為di，O是正n邊形的中心，r是其內(nèi)切圓的半徑，則

因此，正多邊形內(nèi)任意一點到各邊所在直線距離之和為定值．

說明 在空間幾何中，我們常用空間向量的數(shù)量積來計算距離，如點面距離、異面直線距離等．而在平面上，我們同樣可以用平面向量的數(shù)量積來計算點線距離．本題中的點線距離可以看成向量投影的絕對值，而一個向量在另一向量上的投影值就是一個向量與另一向量的單位向量的數(shù)量積．將點線距離轉化為數(shù)量積之后，就可以運用向量運算的有關法則來解決問題．

例3 如圖2，設AC是ABCD的較長的對角線，過點C作直線AB,AD的垂線，垂足分別為E,F，試求證：AB·AE+AD·AF=AC2．

圖2

解 由CE⊥AB可得

又四邊形ABCD是平行四邊形，從而

說明 本題也可以用平面幾何或解析幾何的方法進行證明，但明顯較上述向量法來得繁瑣，從中我們可以體會到向量法的優(yōu)越性．另外，向量法在解決平面幾何與解析幾何問題中，具有較為廣泛的應用，而不僅僅是夾角(含平行與垂直)類問題．

2 在向量等式問題中的應用

近年來的高考或競賽試題中，經(jīng)常出現(xiàn)一類向量等式問題．這類問題處理方法很多，但不同方法繁簡程度差異較大．下面我們嘗試利用向量的數(shù)量積來進行求解．

可得

說明 在本題中，當點C與點A或點B重合時，x+y取得最小值，且最小值為1．本題的處理方法很多，但有些方法解題過程較為繁瑣．上述解法不僅過程簡潔，而且自然流暢，很好地展現(xiàn)了問題的本質．

圖3 圖4

分析 △AOB與△AOC的面積比等于點B,C到直線AO的距離之比，而點線距離可以用向量數(shù)量積來加以討論．

說明 與例2一樣，本題也是將點線距離轉化為向量的數(shù)量積．這種處理方法非常簡便，并且利用這種方法可以很容易地將上述結論加以推廣．

3 在最值問題中的應用

利用向量工具也可以解決一些代數(shù)中的最值問題、不等式問題、線性規(guī)劃問題．其求解的關鍵是將這些代數(shù)問題轉化為關于向量的數(shù)量積問題．

圖5

且m≥0,n≥0．如圖5，在坐標系mOn中，點(m,n)的軌跡是以原點為圓心、以3為半徑的圓在第一象限以及2個坐標軸正半軸上的部分.

說明 應用向量數(shù)量積有效地實現(xiàn)了數(shù)形結合，使解題過程與相應結論一目了然．

例7[2]設z=2x+y，變量x,y滿足條件

求z的最大值和最小值．

圖6

分析 因為z=2x+y=(2,1)·(x,y)，所以z可看成2個向量的數(shù)量積，可應用向量數(shù)量積的幾何意義來解決．

解 作出可行域如圖6．設N為可行域內(nèi)的任意一點，M(2,1)，則

說明 利用向量的數(shù)量積來解決線性規(guī)劃問題，解題思路也較為清晰和直觀．

4 在三角問題中的應用

向量與三角有密切的關系，因此我們也可以利用向量的數(shù)量積來解決三角問題，并且同樣具有簡捷、明快等特點．

圖7

說明 本題若不利用向量的數(shù)量積，也可采用向量的其他知識來求解．例如可構造以坐標原點O為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正n邊形(其中一個頂點坐標為(cosθ,sinθ))，由其重心的橫坐標為0，也可得到相應結論．

總之，向量是數(shù)形結合的重要橋梁，是解決各種數(shù)學問題的有效工具．為此，在高中數(shù)學教學過程中，應高度重視向量及其數(shù)量積的教學，并逐步加強向量應用方面的教學，切實發(fā)揮好向量的橋梁與工具作用．

[1] 寇恒清．正多邊形的一個性質的簡證與再推廣[J]．數(shù)學通報，2014(11):58-59．

[2] 胡云浩．向量數(shù)量積的幾何意義應用例析[J]．中學數(shù)學雜志，2006(3):32-34．

?2015-10-13；

2015-11-09.

寇恒清(1966-)，男，江蘇贛榆人，中學高級教師，研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)03-21-03