萬有引力與重力以及向心力的區別與聯系

楊學斌

【摘 要】筆者從自己的教學實踐出發，結合許多學生在學習萬有引力與重力以及向心力的關系時都遇到了一定困難的現狀，分析了學生學習這部分知識的困難原因，并結合自己的教學實際，提出了幾個方面的教學思考。為學習萬有引力與重力以及向心力的關系教學困難提供了比較好的解決方法。

【關鍵詞】萬有引力；重力；向心力；區別

從教18年以來，筆者在有關萬有引力與重力以及向心力的關系的教學問題中，總會遇到不少麻煩，特別是隨著高中教育的逐步普及，現在有更多學生反映萬有引力與重力以及向心力的關系的問題難懂。萬有引力與重力以及向心力的關系的問題究竟“難”在哪里？有什么好的方法能幫助學生突破這一知識的難關呢？筆者結合人教版高中物理必修2第六章的內容，進行一些探討：

一、明確地球對地面物體萬有引力、重力及提供的向心力不同之處

1.地球對地面物體的萬有引力

地面上的物體所受地球引力的大小均由萬有引力定律的公式決定，其方向總是指向地心。

2.地面物體所受的重力

處在地面上的物體所受的重力是因地球的吸引而產生的，其大小為mg，方向豎直向下（絕不可以說為“垂直向下”和“指向地心”）。地面上同一物體在地球上不同緯度處的重力是不同的。在地球的兩極上最大，在地球赤道上最小，隨著位置從赤道到兩極的移動而逐漸增大——這種現象不是‘超重，應該與‘超重現象嚴格區別開來。以地球赤道上的物體為例，質量為m的物體受到的引力為F=GMm/R2，因此物體與地球一起轉動，即以地心為圓心，以地球半徑為半徑做勻速圓周運動，角速度即與地球的自轉角速度相同，所需要的向心力為 F向=mωR2 =mR4π2/T2.因地球自轉周期較大，F向必然很小，通常可忽略，故物體在地球兩極M或N上時其重力等于受到的萬有引力。一般說來，同一物體的重力隨所在緯度的變化而發生的變化很小，有時可以近似認為重力等于萬有引力。

3.地面物體隨地球自轉所需的向心力

由于地球的自轉，處于地球上的物體均隨地球的自轉而繞地軸做勻速圓周運動，所需向心力由萬有引力提供，大小是F向=mω2r=mr4π2/T2（ω是地球自轉角速度，r是物體與地軸間的距離，T是地球的自轉周期），其方向是垂直并指向地軸。對于同一物體，這一向心力在赤道時最大，F大=mω2R（R是地球半徑）；在兩極時最小，F小=0。

因地球自轉，地球赤道上的物體也會隨著一起繞地軸做圓周運動，這時物體受地球對物體的萬有引力和地面的支持力作用，物體做圓周運動的向心力是由這兩個力的合力提供，受力分析如圖4-5所示.

實際上，物體受到的萬有引力產生了兩個效果，一個效果是維持物體做圓周運動，另一個效果是對地面產生了壓力的作用，所以可以將萬有引力分解為兩個分力：一個分力就是物體做圓周運動的向心力，另一個分力就是重力，如圖4-5所示。這個重力與地面對物體的支持力是一對平衡力。在赤道上時這些力在一條直線上。

二、明確地球對地面物體萬有引力、重力及提供的向心力三者間的關系

地面物體隨地球自轉所需向心力F向=mω2r=mr4π2/T由萬有引力F引=GMm/R2提供，F向是F引的一個分力，引力F引的另一個分力才是物體的重力mg，引力F引是向心力F向和重力mg的合力，三者符合力的平行四邊形定則，大小關系是F引≥mg>F向。

例1：已知地球半徑R=6.37×106m.地球質量M=5.98×1024Kg，萬有引力常量G=6.67×10-11Nm2/Kg2.試求掛在赤道附近處彈簧秤下的質量m=1Kg的物體對彈簧秤的拉力多大？

由計算可知，引力F=9.830N遠大于向心力F向=0.0337 N，而物體所受重力9.796N與物體所受的萬有引力F=9.830N相差很小，因而一般情況下可認為重力的大小等于萬有引力的大小。但應該切記兩點：①重力一般不等于萬有引力，僅在地球的兩極時才可有大小相等、方向相同，但重力與萬有引力仍是不同的兩個概念。②不能因為物體隨地球自轉所需要的向心力很小而混淆了萬有引力、重力、向心力的本質區別。

例2：地球赤道上的物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a，要使赤道上的物體“飄”起來，則地球轉動的角速度應為原來的（ ） 倍

A. B. C.

正確答案為選項A。當赤道上的物體“飄”起來時，是一種物體、地球之間接觸與脫離的臨界狀態，地球對物體的支持力為零，只有萬有引力完全提供向心力，只要正確運用牛頓第二定律和萬有引力定律列式求解即可。

例3：假設火星和地球都是球體，火星的質量M火和地球質量M地之比M火/M地=p，火星的半徑R火和地球半徑R地之比R火/R地=q，那么離火星表面R火高處的重力加速度和離地球表面R地高處的重力加速度之比等于多少？

由于引力定律公式中只有乘法與除法，故可以運用比例法進行求解。對星球表面上空某處的重力加速度公式，也可以這樣理解：g′和星球質量成正比和該處到球心距離的平方成反比。

三、明確地球對天體（行星，衛星）和人造地球衛星萬有引力、重力及提供的向心力關系

針對天體（行星，衛星）和人造地球衛星的運行問題（包括線速度、周期、高度 ），可以看作勻速圓周運動，從而運用萬有引力定律。這類“天上”的物體作勻速圓周運動的向心力僅由萬有引力提供。對于地面物體，其重力由萬有引力產生，若忽略隨地球自轉的影響，則其重力等于萬有引力。由于 “天上”的物體（如行星、衛星）與地面上的物體雖然遵守相同的牛頓力學定律，但也有本質的區別，通常在解決衛星問題時要特別注重以下三個等量關系：

若萬有引力提供向心力，則有GMm/r2 =ma向

若重力提供向心力，則有 mg= ma向

若萬有引力等于重力，則有GMm/r2 =mg

以上三式不僅表現形式有異，而且其物理意義更是各有不同，必須注意區別辨析。同時因向心加速度a向又具有多種不同的形式，如a向 =v2/r =ω2r= 4π2 r/T2 ……則可以得以下幾組公式：

（1）由 GMm/r2 =ma向 得

GMm/r2=ma向→a向=GM/r2→a向∝1/r2。

GMm/r2 =m v2/r→v =→v∝1/

GMm/r2 =mω2r→ω=→ω∝1/

GMm/r2=m4πT2r/T2→T=2π →T∝

對于以上各式，“中心天體”（如地球）一定，則其質量M是一定的。因此“環繞天體”（衛星）繞其做勻速圓周運動的向心加速度a向、運行速度v、運行角速度ω、運行周期T僅與距離r有關。即以上各量僅由距離r即可得出，故以上各式可稱之為 “決定式”。這組決定式適應于用 “G、M、r”表示待求物理量的題目。

（2）由 mg= ma向可得

mg= ma向→a向=g

mg= m v2/r→v=→v∝

mg= mω2r→ω=→ω∝1/

mg= m4π2 r/T2→ T=2π→T∝

以上各式之中，作勻速圓周運動的物體（如衛星）的運行速度v、角速度ω 、周期T由距離r和重力加速度g共同決定。其中的“g“也是一個隨距離r而變化的變量，而不能認為是一個恒量。這組公式是由GMm/r2 =mg的代換關系得到的，一般適應于已知“g、r”而不知“G、M”的題目。