對初中數學問題解決教學中數學思想方法應用的研究

王友先

摘 要：初中數學教學中，教師要教會學生學習數學的方法而不是教會學生怎樣求解這道題，要“授之以漁”。但是大多數的初中數學教師都注重教授學生數學的定理、概念及公式，往往忽略了對學生進行數學解題思維的訓練。本文為數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用提供一些可供參考的內容。

關鍵詞：初中數學教學；數學思想方法；應用研究

在初中數學的教學中，主要有數形結合、方程與函數、分類討論、化歸與轉化這四種數學思想方法，教師應該結合具體的教學內容，以數學思想方法對學生教學。

一、數形結合思想

數學是一門研究空間形式和數量關系的學科。“數”與“形”是數學學科中的兩個最基本的概念，數量可以通過幾何圖形表現出來，幾何圖形中也蘊含著某種數量關系。在初中數學的教學中應該突出數形結合的思想，幫助學生培養這種數形結合的解題思維，有利于學生將復雜的題目簡單化、便于理解；有利于學生對相關數學知識的記憶；有利于學生對于相關問題進行思考及找到便捷的解決方法。

1.由“數”推“形”

在初中數學問題進行講解時，教師可以將復雜的代數問題用幾何圖形表示出來，從中找取相應的數量關系，進行解答。尤其是對于相反數、絕對值的概念、有理數的大小的比較、函數等知識的教學時，可以充分利用數形結合的思想，幫助學生理解相關的概念，優化解答的方法。

例1：△ABC的三條邊長分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，試判斷△ABC的形狀。

解：∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2ac+c2=0

（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0

∴（a-b）2=0，（a-c）2=0，（b-c）2=0

∴a-b=0，a-c=0，b-c=0

∴a=b=c

∴△ABC是等邊三角形。

2.以“形”表“數”

初中教師對于一些從題目看起來十分復雜的代數問題在進行講解時，可以利用已知的條件去構造相關的圖像，在根據圖形的特征去尋求答案。這種解題的思路有助于培養學生的畫圖能力，并考察學生對于幾何圖形的知識掌握情況。

二、方程與函數思想

方程與函數是初中數學教學的主要及重點內容，方程思想是把一系列數值通過找取關聯列成等式，從中求解的思想，而函數思想則是把數學問題中各數量間的聯系用函數表述出來的思想。在初中數學教學中，教師需要將函數與方程的思想緊密聯系，在兩者之間尋求聯系進行相互的轉化，從中求得解決問題的方法。

例2：已知：等腰直角三角形△ABC中，AB=BC=6，若點P為線段BC邊上的一個動點，PQ∥AB交AC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點C與線段MN不在線段PQ的同側，設正方形PQMN與△ABC的公共部分的面積為S，CP的長為x.

1.試寫出S與x之間的函數關系式；

2.當P點運動到何處時，S的值為8.

三、分類討論思想

分類討論的思想是我們日常的生活中經常用到的一種方法，也是解決數學問題最常見的方法之一。在初中數學教學中，需要將分類討論思想分為“分類”和“討論”這兩個層面來進行教學。讓學生先確定分類的對象以及如何分類，其次讓學生確定分類的標準，再讓學生掌握分類的方法，鍛煉學生進行科學分類，最后對分類的結果進行討論。在進行分類討論思想的教學時，需要教師堅持由淺及深、循序漸進的原則。在初中數學中分類討論的思想不僅使學生掌握相關的分類方法，而且對“分類”的認識與理解更加深刻。掌握分類討論思想方法，能夠幫助學生更加準確、全面的看待問題。

例3：直角三角形的任意兩條邊長分別為3和4，求這個三角形的外接圓半徑等于多少？解：注意題中給出的是任意兩條邊長，所以分兩種情況討論。

1.當3、4是直角三角形的兩條直角邊時，斜邊長為5，此時這個三角形的外接圓半徑等于12×5=2.5

2.當3是這個三角形的直角邊，4是斜邊時，此時這個三角形的外接圓半徑等于 12×4=2。

從以上示例中能夠看出合理地使用分類討論思想對于初中數學問題有效解決的重要性。在分類討論思想的指導下，學生可以將一些復雜的問題變得簡單化，在提高問題處理效率的同時，也會加深學生對部分數學知識點的理解，對于他們學習成績的提高及數學思維模式的轉變具有重要的保障作用。

四、化歸與轉化思想

“化歸”是轉化和歸結的意思，是將新的問題通過轉化，歸結到一類已經學過的類型中去解決的方法。化歸與轉化思想在初中數學教學解題中十分常見，是分析解決初中數學問題最有效的方法。利用化歸與轉化的思想進行初中數學的教學，可以化難為易，化繁為簡，運用所學知識來解決復雜的難題。教師通過在初中數學中講解化歸與轉化的思想，可以幫助學生加深對于相關知識的理解與記憶。

例4：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC，DB相交于O點，且AC⊥DB，AD=6，BC=10，求AC.

分析：1.根據梯形對角線互相垂直的特點通過平移對角線將等腰梯形轉化為直角三角形和平行四邊形，從而解決問題。

2.此題也可證△AOD和△BOC是等腰直角三角形，進而分別求出AO、OC的長，

則AC=OA+OC.

最終求得AC=8

通過對以上例子的有效分析，可知化歸與轉化的思想對于初中數學教學質量提高的重要性。對于一些復雜的、抽象的數學問題，老師應正確地引導學生加強對這種思想的理解，促使學生們在較短的時間內可以順利地解決問題，學會運用化歸與轉化的思想的同時及時地掌握這些問題中所包含的數學知識點。與此同時，化歸與轉化的思想在初中數學各種復雜問題解決過程中的有效使用，有利于推動初中數學教育體制的改革，提高課堂教學效率的同時能夠更好地轉變老師傳統的教學思路。

五、結語

本文主要就數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用，進行了相關的分析與探討。依次就數形結合、方程與函數、分類討論、化歸與轉化這四種數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用進行了相關的分析與研究。最終希望通過本文的分析研究，能夠給予的數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用，提供一些更具個性化的參考與建議。

參考文獻：

[1]錢珮玲.中學數學思想方法[M].北京師范大學出版社，2002.

[2]代欽，斯欽孟克.數學教學論[M].陜西師范大學出版社，2009.

[3]江興代.初中數學思想方法教學初探[J].中學數學教學，1994（5）.