談高考中二項式定理的題型

北京師范大學大興附屬中學 董 麗

談高考中二項式定理的題型

北京師范大學大興附屬中學 董 麗

二項式定理是高考常考的題型之一,利用一些特殊的方法可以解決一些問題，本文列舉了幾種常用的方法.

二項式定理 通項 高中數學

二項式定理是高中數學中一個重要的知識點，涉及二項式定理應用的題型很多，解法靈活且比較難掌握.二項式定理既是排列組合的直接應用，又與概率理論中的三大概率分布之一的二項分布有著密切聯系.二項式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題、填空題，偶爾也會有大題出現.本文將給出二項式定理在高考中的六種常考題型.

類型一：求展開式中的常數項

A.80 B.-80 C.40 D.-40

【答案】C

A.-1320 B.1320

C．-220 D．220

【答案】C

評注：解決這類題目要抓住通項公式進行求解.

類型二：求展開式中某一指定項的系數

例3（2015高考福建，理11）（x+2）5的展開式中，x2的系數等于___.（用數字作答）

【答案】80

【解析】本題考查二項式定理的特定項問題，根據二項展開式的通項和所求項的聯系解題，（x+2）5的展開式中x2項為=80 x2，所以 x2的系數等于 80.

例4（2015高考北京，理9）在（2+x）5的展開式中，x3的系數為____.（用數字作答）

【答案】40

本題考查二項式定理，利用通項公式求出指定項的系數，本題屬于基礎題，要求正確使用通項公式準確計算指定項的系數.

類型三：求二項式中所含參數的值

例5（2015高考新課標2，理15）（a+ x）（1+x）4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32，則a=_________．

【答案】3

【解析】由已知得（1+x）4=1+4x+6x2+ 4x3+x4，故（a+x）（1+x）4的展開式中x的奇數次冪項分別為4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系數之和為 4a+4a+1+6+1=32，解得a=3．

【答案】D

本題主要考查了二項式定理的運用，屬于容易題，只要掌握（a+b）n的二項展開式的通項第r+1項為即可建立關于a的方程，從而求解.

評注：利用展開式的通項公式，根據題意建立方程或不等式，求出參數的值.

【答案】-2.

類型四：求二項式的冪指數

例8（2015高考陜西，理4）二項式（x+1）n（n∈N+）的展開式中x2的系數為15，則n=（ ）

A.7 B.6 C.5 D.4

【答案】B

【解析】二項式（x+1）n的展開式的通項是，令r=2得x2的系數是C2n，因為x2的系數為15，所以，即n2-n-30=0，解得：n=6或n=-5，因為n∈N+，所以n=6，故選B．

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】B

類型五：求展開式中某些項系數的和

例10（2007高考江西，文5）設（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，則a0+a1+a2+…+a11的值為（ ）A.-2 B.-1 C.1 D.2

【答案】A

A.2 B.0 C.-1 D.-2

【答案】C

評注：此類題用賦值法能較好地解答.

類型六：利用二項式定理解整除問題

A.x=4，n=3 B.x=4，n=4

C.x=5，n=4 D.x=6，n=5

【答案】C

以上介紹了近年來高考對二項式定理問題考查的六種類型，掌握好上述常規的二項式定理題目的解題方法，無疑對我們后續知識的學習，以及將來的高考吃了一顆制勝的定心丸.

[1]人教A版教材選修2-3

[2]歷年高考真題