不等式恒成立解題策略

福建省沙縣一中 黃仍洪

不等式恒成立解題策略

福建省沙縣一中 黃仍洪

不等式 函數 高考

不等式恒成立是一類常見且重要的問題，這類問題因為既含參數又含變量，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點，在解題時對問題要有充分的認識理解，否則若理解偏差，或對問題的認識有誤，都會導致解題錯誤，造成不必要的失分，本文結合教學實踐就不等式恒成立的幾類問題進行舉例剖析，重點是分析它們的解題策略和注意事項與大家分享.

問題一注意所研究不等式恒成立的類型

例1（1）已知關于x的不等式x2+ax+1〉0恒成立，求參數a的取值范圍.

（2）已知關于x的不等式ax2+ax+1〉0恒成立，求參數a的取值范圍.

分析：本例中的兩個小題都是一個關于x的不等式恒成立的問題，稍不注意都易把它們當成是關于x的一元二次不等式恒成立的問題，實際上問題（1）確實是一個關于x的一元二次不等式恒成立的問題，所以結合二次函數 f（x）=x2+ax+1的圖像，必須整個函數的圖像都在x軸的上方，從而只要Δ=a2-4〈0得到-2〈a〈2；

本例特別注意點是問題（2）的易忽略a=0.

問題二注意不等式恒成立轉化中符號的影響

例2（1）已知不等式x2+ax+1〉0對一切x∈（0，+∞）恒成立，求參數a的取值范圍.

（2）已知不等式x2+ax+1〉0對一切x∈（-2，2）恒成立，求參數a的取值范圍.

本例應注意點是（2）在分離過程中自變量的取值對不等號方向的影響，也就是分離參數不等式轉化過程中注意不等號的方向是否改變問題，若涉及符號變化，則應進行分類討論處理.

問題三注意問題轉化過程的含義和要求

例3（1）已知函數y=lg（2x2+mx+1)的定義域為R，求實數m的取值范圍.

(2)已知函數y=lg（2x2+mx+1)的值域為R，求實數m的取值范圍.

分析：本例中兩小題從題目表面來看區別不大，但實際上在轉化為恒等式的過程中還是存在很大的區別的.

問題（1）是函數的定義域為R，也就是不論x為何值，函數y=lg（2x2+mx+1)均有意義，所以不等式2x2+mx+1〉0恒成立，應滿足Δ=m2-8〈0，得；而問題（2）是值域為R，根據對數函數性質，這時必須保證2x2+mx+1能得到所有的正數，所以結合二次函數的圖像知，滿足的關系是2x2+mx+1的最小值不大于0，于是有Δ=m2-8≥0得到或

問題四注意全稱命題和特稱命題成立的區別

例4（1）命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，求出m的取值范圍；

（2） 命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，求出m的取值范圍；

分析：命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題即對一切[-2，3]上的實數x，不等式恒成立；形如“a≥f（x）”或“a≤f（x）”是不等式恒成立問題中最基本的類型，其實質是不等式恒成立中最常見的問題“a≥f(x)在x∈D上恒成立，則a≥f（x）max（x∈D），a≤f（x）x∈D上恒成立，則a≤f（x）min（x∈D）”；因為f(x)=x2+2x+2在[-2，3]的最小值為1，所以命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，則m的取值范圍是m〈1.

命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題即在[-2，3]上存在實數x，使不等式成立；這是不等式成立中的另一類常見問題，存在x∈D，a≥f(x)成立，則 a≥f（x）min（x∈D）；存在x∈D，a≤f（x）成立，則a≤f（x）max（x∈D）；f(x)=x2+2x+2在[-2，3]的最大值為17，所以命題“?x∈[-2，3]，m＜x2+2x+2”是真命題，m的取值范圍是m＜17即可.

問題五 注意f(x)〉g(x)恒成立與f(x1)〉g(x2)恒成立的區別

分析：f(x)≤g(x)恒成立問題轉化為[f(x)-g(x)]max≤0恒成立；而f(x1)〈g(x2)恒成立問題轉化為f(x)max〈g(x)min恒成立.

問題（1）解法：f(x)≤g(x)在x∈[0，1]恒成立在x∈[0，1]恒成立在x∈[0，1]上的最大值小于或等于零．

∵x∈[0，1]， ∴F'(x)〈0即F(x)在[0，1]上單調遞減，

∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1．

問題（2）解法：對任意x1，x2∈[-2，2]，都有f(x1)〈g(x2)成立，等價于x∈[-2，2]，

∵f'(x)=x2-2x-3，令f'(x)〉0得x〉3或x〈-1；得f'(x)〈0．

∴f(x)在[-2，-1]為增函數，在[-1，2]為減函數．

問題六注意正確選用和理解問題中的參數

例6對于滿足0≤p≤4的一切實數，不等式x2+px〉4x+p-3恒成立，試求 x的取值范圍．

分析：在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，然后利用相關函數的圖像和性質解決問題，但若是一個含多個變量的數學問題時，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，才會使問題更加清晰明了；人們都習慣把x當作自變量，即這時的函數為y=x2+（p-4）x+3-p，于是問題轉化為：當p∈[0，4]時，y〉0恒成立，求x的取值范圍.解決這個問題需要用到二次函數以及二次方程的區間根原理，是相當復雜的.這時如果能適時地把主元變量和參數變量進行“換位”，往往會使問題降次、簡化.一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數.

解：設函數f(p)=（x-1）p+（x2-4x+3），顯然x≠1，則f(p)是p的一次函數，要使f(p)〉0恒成立，當且僅當f(0)〉0且f(4)〉0時，解得x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

本例注意點是很容易把問題簡單地等價轉化為一個二次不等式問題，解題的關鍵是正確選用和理解問題中的參數.