Maxwell阻尼耗能結構非平穩地震響應解析分析

李創第， 李 暾， 尉宵騰， 葛新廣， 鄒萬杰

(1.廣西科技大學 土木建筑工程學院，廣西 柳州 545006； 2. 廣西大學 土木建筑工程學院，南寧 530004)

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Maxwell阻尼耗能結構非平穩地震響應解析分析

李創第1， 李 暾1， 尉宵騰2， 葛新廣1， 鄒萬杰1

(1.廣西科技大學 土木建筑工程學院，廣西 柳州 545006； 2. 廣西大學 土木建筑工程學院，南寧 530004)

對單自由度廣義Maxwell和多自由度Maxwell阻尼耗能結構非平穩隨機地震響應問題進行了系統研究。首先通過構建單自由度和多自由度耗能結構在原始空間和擴階空間上的特征值和特征向量的精確對應關系，將耗能結構位移、速度和阻尼器受力的時域響應計算公式用結構原始空間上的特征值和特征向量解析表出；然后針對7種經典均勻調制白噪聲地震激勵和2種經典均勻調制濾過白噪聲地震激勵，獲得了耗能結構位移、速度和阻尼器受力的非平穩均方響應的解析解，并使耗能結構非平穩響應的解析分析與計算，完全轉化為耗能結構在原始空間的特征值和特征向量的解析分析與計算，從而構建了基于耗能結構非擴階特征值和特征向量分析，獲得耗能結構非平穩地震響應解析解的一整套方法。

Maxwell阻尼器；耗能結構；阻尼器受力響應；非平穩隨機過程；解析解

黏滯和黏彈性阻尼器等被動控制技術已被廣泛應用[1-4]。由于實際地震動具有非平穩隨機特性，各種均勻調制白噪聲和濾過白噪聲非平穩地震動模型已用于結構分析[5-11]，故分析阻尼器耗能結構非平穩隨機地震響應特性具有理論和工程意義。Maxwell模型阻尼器本構方程簡單，易于擴階，模型計算參數便于從試驗數據擬合[12-13]，且一般流體阻尼器比較符合Maxwell模型，黏彈性阻尼器也可用Maxwell模型近似表示或用廣義Maxwell模型表示，故Maxwell模型阻尼器耗能結構動力響應特性分析受到日益重視[14-17]。文獻[14]用擴階復模態法分析了Maxwell阻尼器耗能結構位移響應特性；文獻[15-16]用擴階復模態法分析了Maxwell黏滯阻尼器耗能結構在Knain-Tajimi譜隨機地震作用下的位移平穩方差響應，由于尚未獲得平穩響應解析解，故研究側重于大量數值計算結構的歸納與總結；而且上述研究均尚未涉及對耗能結構安全有重大影響的阻尼器受力的響應分析；此外，采用常規擴階復模態法，導致耗能結構在原始空間和擴階空間的對應關系不明確，擴階變量多，計算效率低，工程人員較難理解。

本文通過構建耗能結構在原始空間和擴階空間上特征值和特征向量的精確對應關系，獲得耗能結構非平穩位移、速度、特別是阻尼器受力響應的解析解，建立耗能結構基于非擴階特征值和特征向量分析的非平穩地震響應解析解的一整套分析方法。

1 單自由度耗能結構響應解析式

1.1 結構運動方程

(1)

(2)

式中：阻尼器松弛參量μj=kj/cj，(j=1,2,…,n)。

圖1 單自由度耗能結構計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of the SDOFenergy dissipation structure

將式(2)代入式(1)，運動方程可簡化為：

(3)

式中:頻率、阻尼比和阻尼參量ω0、ξ0和βj分別為：

1.2 原始結構特征值和特征向量分析

在零初始條件下，對方程(3)取拉氏變換，得：

(5)

(6)

由文獻[18]，結構特征值sj及其對應的特征向量uj的方程為：

(7)

D(sj)uj=0

(8)

由上述兩式，可求得原始結構(n+2)個特征值sj及其對應的非零特征向量uj，(j=1～n+2)。

1.3 擴階結構特征值和特征向量分析

(1)擴階結構方程

令：

(9)

(10)

則原始結構方程(3)可擴階為：

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

由線性系統穩定性理論[19]，擴階方程組(11)的穩定條件是其所有特征值的實部均為負數，故引入擴階變量v(t)和yj(t) (j=1,2,…,n)后，原結構系統(3)的參數ω0、ξ0、μl、βl(l=1,2,…,n)的取值范圍是：使擴階方程組(11)的所有特征值的實部均為負數的一切值。至于具體分析，可按常用的Routh-Hurwitz判據分析即可[19]。

(2)擴階結構特征值分析

方程(11)的特征值方程為：

其中：I為 (n+2)階單位矩陣。當n=1時，將行列式按最后一列展開，得：

(16)

當n=2時，將行列式按最后一列展開，并利用式(16)，得：

(17)

以此類推，當n=n時，特征值方程(15)化為：

(18)

故原始結構和擴階結構的特征值方程(7)和(18)完全相同，所求的的特征值sj(j=1～n+2)也完全相同。

(3)擴階結構特征向量分析

方程(11)與特征值sj對應的右、左模態φj和ψj方程為：

[Isj+A]φj=0

(19)

[Isj+A]Tψj=0

(20)

其中：j=1～n+2。

令：

(21)

將式(21)代入式(19)，并經化簡，可得：

D(sj)φ1j=0

(22)

φ2j=sjφ1j

(23)

(24)

對比式(8)和(22)知，φ1j=uj；故右復模態φj為：

(25)

同理，由式(20)，可得：

ψj=

(26)

式(18)、(25)、(26)表明：擴階結構的特征值與原始結構的特征值完全相同，且擴階結構的特征向量可用原始結構的特征向量表出。

1.4 擴階結構響應的降階解析式

由復模態理論[20]，在零初始條件下，擴階方程(11)的解為：

(27)

(28)

式中：

(29)

(30)

γj=2sj+2ξ0ω0+

(31)

故結構位移響應為：

(32)

式中：

(33)

同理，結構速度和阻尼器受力響應分別為：

(34)

(35)

式中：

(36)

式(32)、(34)、(35)表明：結構的各種響應s(t)的計算歸結于原始結構的特征值sj的計算，s(t)有統一形式的表達式：

(37)

2 多自由度耗能結構響應解析式

2.1 結構運動方程

圖2 多自由度耗能結構計算簡圖Fig.2 Calculation diagram of the Multi-DOFenergy dissipation structure

(38)

(i=1,2,…,n)

(39)

式中:阻尼器松弛參量αi、阻尼器向量p、位置轉換向量J和矩陣Tp分別為：

αi=k0i/c0i，(i=1,2,…,n)

(40)

(41)

(42)

(43)

將式(39)代入式(38)，結構運動方程可化為：

式中，阻尼器系統的松弛矩陣h(t)為：

(46)

2.2 原始結構特征值和特征向量分析

在零初始條件下，對方程(45)取拉氏變換，得：

(47)

(48)

由文獻[18]，結構特征值sj及其對應的特征向量uj的方程為：

(49)

D(sj)uj=0

(50)

由上述兩式，可求得原始結構3n個特征值sj及其對應的非零特征向量uj，(j=1～3n)。

2.3 擴階結構特征值和特征向量分析

(1)擴階結構方程

令：

(51)

可將結構方程(38)、(39)擴階為：

(52)

式中：

(53)

(54)

(55)

顯然，引入擴階變量v(t)后，系統相關參數的取值范圍是使擴階方程組(52)的所有特征值的實部均為負數的一切值[19]，至于具體分析，可按常用的Routh-Hurwitz判據分析即可[19]。

(2)結構特征值和特征向量分析

擴階方程(52)的特征值λj對應的右、左特征向量Φj和Ψj方程分別為：

[Bλj+A)]Φj=0

(56)

[Bλj+A]TΨj=0

(57)

令：

(58)

將式(58)代入式(56)，并經化簡，可得：

D(λj)φ1j=0

(59)

φ2j=λjφ1j

(60)

(61)

對比式(50)和(59)知，擴階結構的3n個特征值λj=sj，右特征向量Φj的分量φ1j=uj，故擴階右特征向量Φj與原特征向量uj的對應關系為：

(62)

同理，由式(57)，可得Ψj與uj的對應關系為：

(63)

式(59)、(62)、(63)也表明：擴階結構的特征值與原結構的特征值完全相同，且擴階結構的特征向量可用原始結構的特征向量表出。

2.4 擴階結構響應的降階解析式

由復模態理論[20]，在零初始條件下，擴階方程(52)的解為：

(64)

(65)

(66)

(67)

故結構各種響應降階解析式為：

(68)

(69)

(70)

式(69)～(70)表明：結構的各種響應計算歸結于原結構特征值sj和特征向量uj的計算。

(71)

(72)

(73)

由式(68)～(70)，結構位移、速度、阻尼器等組合響應S(t)均可統一表示為：

(74)

3 耗能結構非平穩響應解析式

3.1 非平穩地震激勵模型

(75)

(76)

(77)

式中：E[·]表示取數學期望值；S0為地震譜強度；δ(·)為dirac函數。

由于函數δ(τ)的性質，取I(t)=2πA2(t)為調制強度函數，則式(77)可進一步表示為：

(78)

(79)

(80)

(81)

q=-α+jβ

(82)

(83)

(84)

相關參數S0、ωg、ξg的具體取值可參見文獻[5]。

3.2 結構非平穩響應表達式

由式(37)和(74)知，對應于單和多自由度Maxwell阻尼減震結構，它們的位移、速度、層間位移、層間速度、阻尼器受力等一般結構響應量S(t)均可統一表示為：

(85)

式中：N為減震結構特征值的總數；ρj為結構響應S(t)對應的已知組合系數；bj(t)為標準一階系統對地震激勵的響應，即：

(86)

(87)

由式(85)和(87)，結構一般響應S(t)的非平穩協方差函數的表達式為：

E[S(t)S(t+τ)]=

(88)

(89)

3.3 均勻調制白噪聲地震激勵下的響應特性

將式(78)代入式(89)，可得此種情況響應特性的表達式為：

(90)

下面給出幾種經典調制情況下上式的具體解析解。

3.3.1 階躍型調制強度函數

由于：

(91)

故式(90)化為：

(92)

3.3.2 余弦型調制強度函數[10]

由于：

I(t)=U(t)(c+dcosωt)

(93)

式中：c,d,ω為已知常數；c≥d。

故式(90)化為：

(94)

3.3.3 正弦型調制強度函數[10]

由于：

I(t)=U(t)(c+dsinωt)

(95)

式中：c,d,ω為已知常數；c≥d。

故式(90)化為：

(96)

3.3.4 分段連續型調制強度函數[6]

由于：

(97)

式中：I0,c,t1,t2均為常數。

故式(90)化為：

0≤t≤t1

(98)

t1≤t≤t2

(99)

t≥t2

(100)

3.3.5 Shinozuka-Sato型調幅函數[7]

由于：

A(t)=U(t)(e-a1t-e-a2t)

(101)

I(t)=2πU2(t)(e-a1t-e-a2t)2

(102)

式中：a1、a2為常數。

故式(90)化為：

(103)

3.3.6 Iyengar型調幅函數

由于：

A(t)=U(t)(b+ct)e-at

(104)

I(t)=2πU2(t)(b+ct)2e-2at

(105)

式中：a,b,c為常數。

故式(90)化為：

(106)

3.3.7 Goto-Toki型調幅函數[9]

由于：

(107)

(108)

式中：A0,tp為常數。

故式(90)化為：

(109)

3.4 均勻調制濾過白噪聲地震激勵下的響應特性

將式(79)代入式(89)，可得此種情況響應特性的表達式為：

(110)

下面給出2種經典調制情況下上式的具體解析解。

3.4.1 階躍型調制強度函數

由于：

A(t)=U(t)

(111)

故式(110)化為：

(112)

3.4.2 Shinozuka-Sato型調幅函數[7]

由式(101)，故式(110)化為：

(113)

4 算 例

圖3 單自由度耗能結構計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of the SDOF energy dissipation structure

計算結果為：結構位移非平穩響應方差如圖4～圖6所示；結構速度非平穩響應方差如圖7～圖9所示；阻尼器受力的非平穩響應方差如圖10和圖11所示。

從以上計算結果可以看出：

(1)系統在階躍型白噪聲(也即突加平穩白噪聲)激勵下，在瞬態過程消失后，系統的隨機均方響應趨于平穩值。

(2)系統在分段連續型白噪聲激勵下，系統的隨機均方響應隨強度調制函數而變化，均方響應曲線的平坦部分對應于系統在平穩白噪聲激勵下的穩態均方值。

(3)在Shinozuka-Sato型調幅濾過白噪聲激勵下，系統的隨機均方響應與調幅函數曲線相似，呈單峰形狀。

(4)在阻尼器兩分支Maxwell單元的松弛性能參數不變的情況下，同步增加兩分支Maxwell單元的剛度和阻尼系數，也即工況Ⅰ～工況Ⅳ，系統的位移和速度均方響應減少，而系統的阻尼器受力均方響應增大，說明增加同類型的阻尼器，可進一步減少結構響應。

圖4 階躍型白噪聲激勵下位移響應方差

Fig.4 Response variance of displacement under Step-white noise excitation

圖5 分段連續型白噪聲激勵下位移響應方差

Fig.5 Response variance of displacement under Piecewise continuous white noise excitation

圖6 Shinozuka-Sato型調幅濾過白噪聲激勵下位移響應方差

Fig.6 Response variance of displacement under amplitude modulation filtered white noise excitation with Shinozuka-Sato type

圖7 階躍型白噪聲激勵下速度響應方差

Fig.7 Response variance of velocity under Step-white noise excitation

圖8 分段連續型白噪聲激勵下速度響應方差

Fig.8 Response variance of velocity under Piecewise continuous white noise excitation

圖9 Shinozuka-Sato型調幅濾過白噪聲激勵下速度響應方差

Fig.9 Response variance of velocity under amplitude modulation filtered white noise excitation with Shinozuka-Sato type

圖10 階躍型白噪聲激勵下阻尼器響應方差Fig.10 Response variance of damper under Step-white noise excitation

圖11 分段連續型白噪聲激勵下阻尼器響應方差Fig.11 Response variance of damper under Piecewise continuous white noise excitation

5 結 論

對單自由度廣義Maxwell和多自由度Maxwell阻尼減震結構的非平穩隨機地震響應解析分析問題的系統研究，可得出如下結果：

(1)單自由度和多自由度Maxwell阻尼耗能結構在原始空間和擴階空間上的特征值完全相同，且擴階空間上的特征向量可用原始空間上的特征向量完全表出。

(2)耗能結構位移、速度和阻尼器受力的響應計算公式可通過原始空間上的特征值和特征向量解析表出。

(3)耗能結構在7中經典均勻調制白噪聲和2種經典均勻調制濾過白噪聲地震激勵下的位移、速度和阻尼器受力的均方響應解析解也可通過結構原始空間上的特征值和特征向量解析表示。

利用上述結果，可使Maxwell耗能結構的非平穩地震響應分析與計算轉化為耗能結構在原始空間的特征值與特征向量的分析與計算，從而使分析與計算得到簡化，結構振動特性，特別是阻尼器的受力特性得到更好地理解和把握。

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Response analysis of energy dissipation structures with Maxwell dampers under non-stationary seismic excitation

LI Chuangdi1, LI Tun1, WEI Xiaoteng2, GE Xinguang1, ZOU Wanjie1

(1. Department of Civil Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China；2. Department of Civil Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Non-stationary random seismic responses of a SDOF structure with generaliged Maxwell dampers and a MDOF structure with Maxwell dampers were studied systematically. The closed-form exact relationships among eigenvalues and eigenvectors of both systems in a structural extended state space and an original space were established, the exact solutions to displacement and velocity of energy dissipation structures and force of dampers were expressed using the system’s eigenvalues and eigenvectors in structural original space. Then, under seven kinds of classical amplitude uniformly modulated white noise seismic excitations and two kinds of classical amplitude uniformly modulated filtered white noise seismic excitations, the exact non-stationary mean-square response solutions to displacement and velocity and damper force of energy dissipation structures were obtained, respectively they were also expressed with eigenvalues and eigenvectors of the system in structural original space, so the analytical methods of exact non-stationary seismic response solutions for and samper force dissipation structures with Maxwell dampers based on analysis of eigenvalues and eigenvectors in their structural original space were established.

Maxwell dampers; energy dissipation structures; forced response of dampers; non-stationary random process; analytical solutions

國家自然科學基金項目(51468005;51368008)；廣西自然科學基金項目(2014GXNSFAA118315)；廣西科技大學創新團隊支持計劃

2015-03-19 修改稿收到日期：2015-09-23

李創第 男，博士，教授，1964年生

TU313.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.029