考慮溫度效應的圓形均布載荷下瀝青混凝土場坪的動力響應分析

張震東， 馬大為， 楊 云， 何 強

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094； 2.黃河科技學院 交通學院，鄭州 450000)

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考慮溫度效應的圓形均布載荷下瀝青混凝土場坪的動力響應分析

張震東1， 馬大為1， 楊 云2， 何 強1

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094； 2.黃河科技學院 交通學院，鄭州 450000)

對黏彈性材料的積分型本構關系進行Laplace積分變換，推導出采用廣義Maxwell模型描述的黏彈性算子，并引入“時溫等效”原理來反映溫度對瀝青混凝土力學性能的影響。將直角坐標系下黏彈性問題的動力平衡方程、幾何方程以及物理方程進行Laplace變換和二維Fourier變換，建立了多層黏彈性體系的傳遞關系。在此基礎上，根據已知邊界條件給出了場坪表面垂向位移的求解方法，并利用Matlab軟件編寫計算程序。以三層瀝青混凝土場坪為例，分析了考慮溫度效應的圓形均布動載荷下場坪的動力響應。結果表明，溫度越高，場坪下沉量越大，局部彎沉現象越明顯，殘余變形也愈大。

溫度效應；黏彈性；瀝青混凝土場坪；傳遞矩陣；動力響應

瀝青路面的一種重要軍事用途，就是作為導彈發射車輛的發射場坪，發射裝備主要通過圓形剛性支撐盤將載荷傳遞至發射場坪表面，表面的下沉又會影響發射裝備的動力響應，最終影響到導彈的出筒姿態，因此，研究瀝青場坪的動力響應具有重要的工程意義。

瀝青混凝土場坪的動力響應問題已經進行了較多研究，研究方法主要有彈性/黏彈性層狀理論，地基上的板梁理論以及有限元方法。由于彈性/黏彈性層狀理論是根據路面的實際結構建立起來的，而且一般情況下可得到理論解，因此在道路工程領域廣泛應用。傳遞矩陣法求解彈性/黏彈性層狀體系問題時，具有概念清晰、便于工程應用的特點，任瑞波等[1-2]利用傳遞矩陣方法，分析了多層黏彈性半空間體在動載荷作用下的動力響應；上述研究由于在柱坐標系下采用Hankel積分變換求解狀態方程，解決軸對稱問題時優勢明顯。為了使傳遞矩陣方法能夠得到更廣泛的應用，王有凱等[3-4]發展了直角坐標系下層狀彈性體系的傳遞矩陣技術，不足之處在于只解決了靜力學問題。湯連生[5]在彈性層狀體系理論基礎上，采用傳遞矩陣方法，結合黏彈性運動方程，推導了交通荷載下三維黏彈性層狀道路系統的動力響應解答，但沒有很好的描述瀝青混合料的黏彈特性。董忠紅等[6-7]將瀝青路面視為層狀體系結構，采用Burgers模型表征面層的黏彈性行為，建立了移動荷載下路面的動力響應模型。

眾所周知，溫度對黏彈性材料的力學性能有很大影響，而上述文獻均忽略了溫度效應，雖然艾智勇在文獻[8]中引入溫度場，得到了穩定溫度場下層狀路面體系平面問題的解析層元解，但仍然沒有考慮瀝青混合料的熱敏感性。

在地基上的板梁理論方面：劉小云等[9-10]將瀝青路面簡化為非線性黏彈性地基上的黏彈性無限長梁，分析了車輛荷載下路面的動力響應。盧正等[11-12]將路面視為黏彈性地基上多層Kirchhoff薄板，解決了考慮車-路耦合的路面動力學問題，然而無論是梁模型，還是板模型都存在一些假設，計算精度不高。相比之下有限元法比較精確，在道路工程中應用較多，趙延慶[13]建立了典型瀝青路面的三維動態有限元模型，闡述了溫度、阻尼等因素對路表彎沉的影響規律。張麗娟[14]同樣基于有限元方法，采用廣義Maxwell模型描述黏彈性材料的變形模式，計算蠕變應變和彈性應變，分析了瀝青混合料的彈性恢復能力。周曉和[15]采用有限元方法分析了某導彈無依托發射場坪的動力響應。文獻[13-15]主要利用ABAQUS、ANSYS等成熟的有限元軟件進行響應分析，雖然結果比較直觀，但偏重于利用有限元軟件自身的本構模型進行多工況計算，總結分析場坪動力響應規律，對機理研究相對較少。

針對現有研究存在的不足，本文采用廣義Maxwell黏彈性模型，結合“時溫等效”原理考慮了溫度對瀝青混合料力學性能的影響，采用傳遞矩陣方法求解直角坐標系下的多層黏彈性半空間問題，進一步完善了瀝青場坪動力響應的研究工作。

1 黏彈性模型

1.1 黏彈性算子

黏彈性材料的積分型本構方程為：

(1)

式中:σ(T,t)為應力；T為溫度；t為時間；K(T,t)為松弛模量；ε(T,t)為應變。

采用卷積形式表示，式(1)可寫成：

σ(T,t)=K(T,t)*dε(T,t)

(2)

式中:*為卷積運算符號。

定義如下形式的Laplace變換對：

(3)

式中:s為復變量。

對式(2)進行Laplace變換，并利用斯蒂爾吉斯卷積的性質，上式可表示為：

(4)

由式(4)可得Laplace變換后的黏彈性算子：

(5)

1.2 廣義Maxwell模型及“時溫”等效原理

由M個Maxwell體并聯組成的廣義模型，可以解釋復雜的應力松弛現象[14]，其松弛模量為：

(6)

Km(T)為第m個Maxwell單元的彈性模量，τm=ηm/Km為松弛時間，ηm(T)為第m個Maxwell單元的黏性常數。

根據“時溫等效”原理，某一溫度條件下的應力松弛過程，可以用不同溫度條件下的模量-時間曲線擬合而得。“時溫等效”原理可表示為：

K(T,t)=K(T0,t/αT)

(7)

式中:T0為參考溫度，αT為位移因子。

本文采用Arrhenius公式確定位移因子αT[16]：

αT=exp[δH(1/T-1/T0)/R]

(8)

式中:δH為材料活化能，R為摩爾氣體常數。

(9)

2 多層體系的傳遞關系

本文在直角坐標系中對多層黏彈性體的軸對稱問題進行分析，假設x,y方向場坪尺寸足夠大，如圖2所示。

圖1 多層黏彈性體系Fig.1 Multilayered viscoelastic body

2.1 黏彈性問題的基本方程

不計體力時，直角坐標系下黏彈性問題的基本方程包括動力平衡方程、幾何方程及物理方程，分別對上述三個方程進行Laplace變換，可得到：

① 動力平衡方程

(10)

② 幾何方程

(11)

③ 物理方程

(12)

2.2 單層體系的傳遞關系

定義如下變量：

(13)

由式(10)～(13)整理得到：

(14)

定義二維Fourier變換對，如下：

(15)

式中:ξ，ζ為復變量。

對式(14)進行二維Fourier變換，得到：

將式(16)寫成矩陣形式：

(17)

式中:

式(17)給出了單層狀態變量的傳遞關系。

2.3 多層體系傳遞矩陣求解

根據文獻[3]，式(17)解的形式為：

(18)

式中：eAnz為指數傳遞矩陣，上式給出了z= 0處經拉氏變換以及二維傅氏變換的位移和應力邊界向量與任意深度z處向量之間的關系。

eAnz可用下式求出：

Tn=eAnz=L-1{[pI-An]-1}

(19)

式中:p為對z進行Laplace變換后的復變量，由式(19)可求得場坪各層的傳遞矩陣Tn。

Tn24=

假設層間狀態完全連續，通過逐層傳遞，可得到多層黏彈性體系的傳遞關系：

(20)

式中:hn為第n層的厚度。

3 場坪表面下沉量求解

場坪表面的圓形均布動載荷可表示為：

F(x,y,t)=f(t)×H[r2-(x2+y2)]

(22)

式中:f(t)為載荷平均集度，本文取載荷平均集度變化規律為f(t)=0.7×sinπt，單位為MPa.s；r為載荷圓形分布區域半徑；H(x,y)為Heaviside階躍函數。

由邊界條件，以及式(21)可得到：

對上式進行Laplace逆變換后再進行二維Fourier逆變換就可求出場坪表面的垂向位移。

4 算例及結果分析

本文視基層與土基為彈性體，以3層瀝青混凝土場坪為例(如圖2)分析溫度對路表彎沉的影響，參數取值見表1。參考文獻[16]，黏彈性模型參數取值如表2。

圖2 三層瀝青混凝土場坪Fig.2 Three layered asphalt launching site viscoelastic body

參數符號參數名稱取值ρ1ρ2ρ3面層、基層、土基密度/(kg·m-3) 200020001900h1h2h3面層、基層、土基厚度/m0.18 0.35∞E2E3基層、土基彈性模量/MPa910 100μ1μ2μ3面層、基層、土基泊松比0.40.25 0.25r載荷作用面半徑/m0.1065T0參考溫度/K268

表2 Maxwell模型參數

本文取載荷作用時間為1 s，載荷完全卸載后觀測場坪表面的彈性恢復情況。采用DURBIN F方法[17]進行Laplace逆變換，參考10節點的復合二維Guass積分方法[4]處理Fourier逆變換，在MATLAB軟件中編寫計算程序，可得到時域下直角坐標系中場坪表面的下沉量。

圖3給出了不同溫度時，載荷作用面中心處的下沉量變化曲線。通過這組曲線可以看出，當面層溫度從0℃升高至60℃時，瀝青混合料黏性越明顯，路面面層剛度下降，引起場坪表面下沉量逐漸增大。另外，面層溫度為0℃時，載荷卸載后路表彎沉能夠馬上恢復，說明溫度較低時瀝青混合料的黏彈特性可忽略。

圖3 不同溫度時，載荷作用面中心O處的下沉量變化Fig.3 Launching site settlement of circle center O at different temperature

黏彈性材料的總應變由彈性應變以及蠕變應變(非彈性應變)組成，彈性應變在載荷卸載后可以完全恢復，蠕變應變只能部分恢復，造成場坪永久變形。對比面層溫度為20℃、40℃、60℃時場坪的響應情況，由于溫度越高，蠕變應變在總應變中的比例越大，因此載荷卸載后，彈性恢復過程越緩慢，場坪的殘余彎沉越大。

圖4～圖7分別給出了面層溫度為0℃、20℃、40℃、60℃時不同觀測點處場坪表面下沉量的變換情況。從中可知：① 距載荷作用面越遠的觀測點，垂向位移越小，載荷卸載后的殘余變形亦越小。② 比較不同溫度下各個觀測點下沉量最大差值可以看出，溫度越高，場坪表面的局部彎沉現象越明顯。

圖4 面層溫度為0℃度時，場坪表面不同觀測點的下沉量變化Fig.4 Launching site settlement of different points at surface course temperature 0℃

圖5 面層溫度為20℃度時，路表不同觀測點的下沉量變化Fig.5 Launching site settlement of different points at surface course temperature 20℃

圖6 面層溫度為40℃度時，場坪表面不同觀測點的下沉量變化Fig.6 Launching site settlement of different points at surface course temperature 40℃

圖7 面層溫度為60℃度時，場坪表面不同觀測點的下沉量變化Fig.7 Launching site settlement of different points at surface course temperature 60℃

5 結 論

將“時溫等效”原理與廣義Maxwell黏彈性模型結合以反映溫度對材料力學性能的影響，根據直角坐標系下黏彈性問題的基本方程，通過Laplace變換和二維Fourier變換，建立了多層黏彈性體系的傳遞關系，研究了考慮溫度效應的圓形均布動載荷下場坪的動力響應，通過分析可得出以下結論：

(1) 溫度越高，場坪表面的下沉量越大，局部彎沉現象越明顯，載荷卸載后殘余彎沉也越大。

(2) 溫度較低時，瀝青混凝土的黏彈性特性可以忽略，可視場坪面層為線彈性體。

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Dynamic response of an asphalt launching site under circular distributed load considering temperature effect

ZHANG Zhendong1, MA Dawei1, YANG Yun2, HE Qiang1

(1. College of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China;2. College of Transportation, Huanghe College of Science and Technology, Zhengzhou 450000, China)

By transforming viscoelastic materials’ integral type constitutive equation with Laplace Transformation, the viscoelastic operator described with Maxwell model was deduced. Then time-temperature equivalent principle was introduced to reflect the influence of temperature on mechanical property of asphalt concrete. By means of Laplace transformation and Fourier transformation for dynamic equilibrium equations, geometric equations and physical equations of visco-elastic problems in a rectangular coordinate system, the transfer matrix of axisymmetrical problems in a multi-layered viscoelastic half space was derived. Based on the transferring relation and known boundary conditions, the solution to surface vertical displacements of an asphalt launching site was derived and the computing program was complied by using MATLAB software. Taking a three-layer launching site as an example, its dynamic response under circular distributed load was analyzed. Results indicated that the settlement and residual deflection increase gradually with increase in temperature; the higher the temperature, the more obvious the local deflection phenomenon.

temperature effect; viscoelasticity; asphalt launching site; transfer matrix; dynamic response

裝備預先研究項目(51328020106)

2015-07-10 修改稿收到日期：2015-11-02

張震東 男，博士生，1988年生

馬大為 男，教授,博士生導師，1953年生

TJ768.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.015