軸向運動梁在軸向載荷作用下的動力學特性研究

陳紅永， 李上明

(中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999)

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軸向運動梁在軸向載荷作用下的動力學特性研究

陳紅永， 李上明

(中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999)

研究了軸向運動Timoshenko梁在軸向載荷作用下的振動特性。首先通過考慮軸向拉壓載荷作用，根據Timoshenko梁理論和Hamilton原理建立了梁的橫向振動控制微分方程，推導了簡支-簡支邊界條件下的梁的無量綱頻率隨軸向載荷的變化關系，采用新的無量綱化形式消除了無載荷作用下控制方程的奇異性。通過微分求積法進行數值求解并對結果進行驗證，分析結果表明：無載荷作用下，長細比越大，越易達到失穩(wěn)狀態(tài)；在相同運動速度下，受壓狀態(tài)時比受拉狀態(tài)下更易達到失穩(wěn)；臨界速度隨著軸向載荷的絕對值的增大而減小。通過研究探索了影響臨界速度和臨界載荷的因素以及兩者的關系，對于軸向受載運動系統(tǒng)設計具有一定指導意義。

軸向運動Timoshenko梁；軸向載荷；橫向振動；微分求積法

軸向運動系統(tǒng)在工業(yè)生產領域有著廣泛的應用，比如在生產過程中的傳送帶、磁帶、帶鋸等，這些結構很多可以簡化為軸向運動梁模型，研究軸向運動梁模型的橫向振動特性和動力學行為，具有重要的工程實際意義。

對軸向運動系統(tǒng)的研究已經有很多[1-11]，以前多采用基于歐拉-伯努利梁理論建模，對于長細比較低的梁模型來說并不精確，因為它忽略了剪切變形和截面轉動慣量的影響。SIMPSON[12]第一次引入了剪切效應，采用了特征值方法分析了固支條件下的軸向運動Timoshenko梁的自振頻率，并且發(fā)現了分叉現象的出現。TANG等[13]采用復模態(tài)方法分析了不同邊界條件下的軸向受拉的運動Timoshenko梁的自振頻率、模態(tài)以及臨界速度，這些研究對于載荷對自振頻率的影響并沒有進行深入探討。對于軸向受壓梁的研究相對較少。BOKAIAN[14-15]研究了軸向受拉、壓作用對靜態(tài)Euler梁的影響。POURTAKDOUST等[16]研究了推力對于柔性制導導彈的自振特性影響，這些研究都是針對靜態(tài)梁，并沒有考慮軸向運動效應。GHAYESH等[17]采用多尺度法通過引入轉動慣量和溫度效應研究了軸向運動梁的非線性橫向振動，王波[18]也采用多尺度法研究了運動三參數黏彈性梁的弱受迫振動，李成等[19]考察了非局部參數對固支和懸臂邊界條件下超薄梁的固有頻率和臨界速度的影響。Garlerkin法也被用于分析軸向運動的穩(wěn)定性[20-21]，GUO等[22]等采用微分求積法(DQM)研究了軸向運動熱彈耦合梁的振動特性，相比于其它方法，微分求積法具有收斂快計算量小的優(yōu)點。這些研究中同樣只考慮了模型受拉的情況或者完全沒有考慮軸向載荷的作用。

本文首先根據Timoshenko梁理論和Hamilton原理得到了軸向運動梁在是否考慮軸向載荷的情況下不同的控制方程，接著采用數值方法求解了其無量綱固有頻率并進行了驗證，通過分析結構長細比、軸向載荷系數以及軸向運動速度對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響。

1 控制方程及邊界條件

1.1 軸向受載梁的控制方程

不考慮縱向和橫向耦合，梁的動能由橫向振動動能，截面轉動動能及剛體運動動能構成：

(1)

勢能包括軸向力做功、彎曲應變能和剪切應變能：

(2)

根據Hamilton原理[23]

(3)

式中:V(T)為梁的運動速度，N為軸向拉力，梁的橫向振動位移W(X,T)，梁的截面剛度為EI，剪切剛度為κGA(κ為截面剪切系數)，截面轉動慣量為ρI，梁長度為L，單位長度的質量為ρA。Θ表示梁截面轉角，對Timoshenko梁模型，Θ=?W/?X+Ψ，Ψ為純剪切產生的剪切角。

將式(1)和(2)代入式(3)求解變分，不考慮軸力對軸向坐標和時間的導數，僅保留速度和加速度項，由于變分項的任意性，變分項系數為0，則可得均勻梁的橫向振動方程為：

(4)

(5)

式中:梁所受的彎矩和剪力為：

(6)

由式(4)可得：

(7)

將式(7)代入式(5)，可得僅包含橫向振動的控制方程為：

(8)

式中，下標X和T分別表示對軸向坐標X和時間T的導數。根據上述推導過程，同理可得受壓梁的控制方程。根據參數關系，將式(8)進行無量綱化處理：

(9)

4k2vvtwxxt+5k2vtwxtt+k1vtwxxx+

(k4+δk1-k1v2)wxxxx-2k1vwxxxt-

(k1+k3+δk2-k2v2)wxxtt+

2k2vwxttt+k2wtttt=0

(10)

式中:k1、k2及k5包含剪切模量，表征剪切剛度，k3和k4分別表征扭轉系數及彎曲剛度；δ為載荷系數：

為了消除這種奇異性的影響，對無載荷作用的情況進行單獨分析。

1.2 無軸力作用控制方程

定義新的無量綱參數定義為

(11)

vt′wx+wtt+2v′wxt+v′2wxx+

4k1v′vt′wxxt+5k1vt′wxtt+k1vt′wxxx+

(k3-k1v′2)wxxxxx-2k1v′wxxxt-

(k1+k3-k1v′2)wxxtt+2k1v′wxttt+k1wtttt=0

(12)

若不考慮軸向運動速度，則相當于求解方程：

wtt+wxx+k3wxxxx-

(k1+k3)wxxtt+k1wtttt=0

(13)

簡支-簡支邊界條件可表示為：

(14)

2 求解方法及驗證

2.1 基于DQM方法的控制方程求解方法

文中采用DQM方法進行控制方程式(10)及式(12) 的求解，求解主要過程如下：

根據微分求積法(DQM)[24]，函數在某點的r階導數的值可以表示為在所有節(jié)點上函數值的加權和的形式：

(15)

(16)

采用不均勻網格點進行劃分，為了處理高階邊界條件，引入δ方法在兩端節(jié)點處增加距離端點δL(約為10-4～10-6)兩個網格點，并重新編號：

x1=0,x2=δL,xn-1=1-δL,xn=1

k=3,4…,n-2

(17)

根據插值原理，采用Lagrange多項式確定權系數，

(18)

高階權系數可以用以下關系來確定

(19)

則將式(12)～(16)代入控制方程式(8)和式(9)可得：

(20)

(21)

通過將簡支-簡支邊界條件以相同方法引入，可以將式(20)和式(21)轉化為矩陣形式為

(B(4)λ4+B(3)λ3+B(2)λ2+

B(1)λ+B(0))Φ=0

(22)

式中:B(p),p=0,1,2,3,4都為n階方陣，Φ=[φj]T,j=1,2,…,n。式(18)變?yōu)樗碾A廣義特征值求解問題，求解方程的廣義特征值即能得到無量綱頻率值。

2.2 數值方法驗證

軸向受載靜態(tài)Euler梁的無量綱化控制方程為：

wxxxx-δwxx/k4-λ2w=0

(23)

根據軸向載荷與臨界壓力載荷的比值定義載荷系數為：

(24)

式中:μ為邊界條件系數，簡支-簡支梁μ=π2。用數值尋根方法求解軸向受載梁的特征方程可以得到前4階特征值λ隨軸向壓力系數kN的變化，如圖1所示。

圖1 簡支-簡支梁前四階特征值隨載荷系數的變化Fig.1 The first four order eigenvalues of pinned-pinned beam VS. load factor

取載荷系數kN=-1～1，即載荷從臨界壓力到一倍于臨界壓力值的拉力狀態(tài)。從圖1中可以看出，各邊界條件下各階特征值都隨軸向載荷變大而變大，是因為軸向壓力變小和拉力變大都使得結構剛度變大，其橫向彈性振動頻率變大。不同的是第二、三和四階特征值隨載荷增大緩慢變大，而第一階特征值當載荷接近臨界載荷即kN=-1～11時迅速從0增大且變之后增速平緩。同時可以看出，當到達臨界壓力載荷時第一階彈性振動固有頻率降為0，達到失穩(wěn)狀態(tài)。當有軸力作用時，根據無量綱化關系，可以得到無量綱頻率與系統(tǒng)原始固有頻率的關系：

(25)

對DQM方法計算得到的無軸向運動速度情況下簡支-簡支梁的前三階無量綱頻率進行對比，根據Timoshenko給出的近似關系，可以將簡支-簡支邊界條件下的無量綱固有頻率根據式(25)轉化為相應的Timoshenko梁的無量綱頻率[25]，并進行比較。結果如表1所示。

(26)

表1 無軸力情況下計算結果驗證

對于考慮軸力作用的情況，根據式(22)所得的無量綱特征值，通過特征值與無量綱頻率之間的關系(25)式進行相應轉化，可以得到解析解與DQM解的對比關系，如圖2所示。

圖2 解析法與DQM方法求解簡支-簡支梁前兩階無量綱頻率的結果對比v=0Fig.2 Comparison of first two order natural frequencies of Analytical and DQM for pinned-pinned beam

3 數值算例討論

圖3給出了簡支-簡支邊界條件下前3階無量綱頻率與運動速度的關系，以及前兩階固有頻率與載荷系數的關系。其中圖3(a)給出了無軸力情況下，不同長細比的梁前三階固有頻率隨速度下降，當長細比從5變大到10時，前三階頻率都下降，一階頻率失穩(wěn)的無量綱速度v′ 從0.174降低到0.091。可見無軸力情況下，結構長細比對固有頻率影響很大。

圖3(b)中給出了當運動梁受到0.1和0.5倍臨界載荷的拉力和壓力情況下，前三階固有頻率隨速度的變化。可以看出當壓力和拉力絕對值相等時，無量綱固有頻率相差較小，拉力大于壓力，對于一階頻率這種差別當軸向載荷更大時更加明顯。簡支-簡支梁0.5倍拉力時臨界速度為1.7,0.5倍壓力時臨界速度降低為1.0。可見軸向載荷值較大時，對一階頻率影響明顯。

圖3(c)中給出了前兩階固有頻率在不同速度下與軸向載荷的關系。當運動梁受到壓力作用時，與軸向運動效應耦合，會使得動態(tài)失穩(wěn)點提前。表現為一階固有頻率降低為0，當載荷繼續(xù)增大之后與2階固有頻率耦合，出現耦合模態(tài)顫振現象。當運動速度從0～3變大，簡支-簡支梁的臨界載荷由原來的1倍臨界載荷變?yōu)?.2倍。對于受拉力的情況下，也會出現失穩(wěn)狀態(tài)，也會出現像壓力狀態(tài)下的1階頻率降為0之后與2階耦合的情況，簡支-簡支梁在0.35處出現失穩(wěn)，但是在1倍拉力內未出現耦合現象。

圖3 簡支-簡支梁無量綱頻率與運動速度及載荷系數的關系Fig.3 The dimensionless complex frequencies vs. speed and load for pinned-pinned beam

4 結 論

通過推導軸向運動Timoshenko梁在有無軸向載荷作用下的控制方程，用數值求解方法求解并給出了簡支梁軸向載荷和運動速度對梁模型固有頻率的影響，分析了臨界速度與載荷的關系，可以總結出如下結論：

(1) 無載荷作用下，梁模型長細比越大，越易達到失穩(wěn)狀態(tài)。

(2) 簡支梁固有頻率都隨著軸向載荷及軸向運動速度的增大而減小；在相同運動速度下，受壓狀態(tài)時比受拉力作用下更易達到失穩(wěn)狀態(tài)。

(3) 臨界速度隨著軸向載荷的絕對值的增大而減小。

[1] MOTE C D. A study of band saw vibrations [J]. Journal of the Franklin Institute,1965, 279: 430-444.

[2] WICKERT J A. Non-linear vibration of a traveling tensioned beam[J]. International Journal Non-Linear Mechanics,1992, 27: 503-517.

[3] HUANG J L, SU R K L, LI W H, et al.Stability and bifurcation of an axially moving beam tuned to three-to-one internal resonances[J]. Journal of Sound and Vibration,2011,330(3):471-485.

[4] CHEN L Q, TANG Y Q, LIN C W. Dynamic stability in parametric resonance of axially accelerating viscoelastic Timoshenko Beam[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010,329(5):547-565.

[5] DING H, CHEN L Q. Galerkin methods for natural frequencies of high-speed axially moving beams[J], Journal of Sound and Vibration,2010, 329(17):3484-3494.

[6] DING H, ZHANG G C, CHEN L Q. Supercritical equilibrium solutions of axially moving beams with hybrid boundary conditions[J]. Mechanics Research Communications,2011, 38(1):52-56.

[7] GHAYESH M H. Nonliear forced dynamics of an axially moving viscoelastic beam with an internal resonance[J]. International Journal of Mechanical Sciences,2011,53(11):1022-1037.

[8] GHAYESH M H, KAFIABAD H A, REID T. Sub- and super-critical nonlinear dynamics of a harmonically excited axially moving beam[J]. International Journal of Solids and Structures, 2012, 49(1):227-243.

[9] GHAYESH M H. Coupled longitudinal-transverse dynamics of an axially accelerating beam[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012,331:5107-5124.

[10] GHAYESH M H. Subharmonic dynamics of an axially accelerating beam[J]. Archive of Applied Mechanics, 2012,82: 1169-1181.

[11] GHAYESH M H, AMABILI M. Steady-state transverse response of an axially moving beam with time-dependent axial speed[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2013, 49: 40-49.

[12] SIMPSON A. Transverse modes and frequencies of beams translating between fixed end supports[J].Journal of Mechanical Engineering Science, 1973, 15: 159-164.

[13] TANG Y Q, CHEN L Q, YANG X D. Natural frequencies modes and critical speeds of axially moving Timoshenko beams with different boundary conditions[J].International Journal of Mechanical Sciences, 2008, 50: 1448-1458.

[14] BOKAIAN A. Natural frequencies of beams under compressive axial loads[J]. Journal of Sound and Vibration,1988, 126: 49-65.

[15] BOKAIAN A. Natural frequencies of beams under tensile axial loads[J]. Journal of Sound and Vibration,1990, 142:481-498.

[16] POURTAKDOUST S H, ASSADIAN N. Investigation of thrust effect on the vibrational characteristics of flexible guided missiles[J].Journal of Sound and Vibration,2004, 272: 287-299.

[17] GHAYESH M H, KHADEM S E. Rotary inertia and temperature effects on non-linear vibration, steady-state response and stability of an axially moving beam with time-dependent velocity[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2008, 50: 389-404.

[18] 王波. 軸向運動三參數黏彈性梁弱受迫振動的漸近分析[J].應用數學和力學，2012,33(6)：771-780.

WANG Bo. Asymptotic analysis on weakly forced vibration of an axially moving viscoelastic beam constituted by standard linear solid model[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2012,33(6):771-780.

[19] 李成，姚林泉. 軸向運動超薄梁的非局部動力學分析[J].工程力學, 2013, 30(4): 366-372.

LI Cheng, YAO Linquan. Nonlocal dynamical analysis on axially travelling ultra-thin beam [J].Engineering Mechanics,2013, 30(4): 366-372.

[20] 張能輝，王建軍，程昌鈞. 軸向變速運動黏彈性弦線橫向振動的復模態(tài)Galerkin方法[J]. 應用數學和力學，2007, 28(1): 1-8.

ZHANG Nenghui, WANG Jianjun, CHENG Changjun. Complex mode galerkin approach in transverse vibration of an axially accelerating viscoelastic string[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2007, 28(1): 1-8.

[21] 陳紅永，陳海波, 張培強. 軸向受壓運動梁橫向振動特性的數值分析[J].振動與沖擊,2014,33(24): 101-105.

CHEN Hongyong, CHEN Haibo, ZHANG Peiqiang. Numerical analysis of free vibration of an axially moving beam under compressive load [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(24): 101-105.

[22] GUO X X, WANG Z M, WANG Y, et. al. Analysis of the coupled thermoelastic vibration for axially moving beam[J].Journal of Sound and Vibration, 2009, 325: 597-608.

[23] 邱吉寶,向樹紅,張正平. 計算結構動力學[M]. 合肥：中國科學技術大學出版社, 2009: 31-33.

[24] SUNG K J, CHARLES W B, ALFRED G S. Application of differential quadrature tostatic analysis of structural components [J].International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1989, 28: 561-577.

[25] TIMOSHENKO S, YOUNG D H, WEAVER W. Vibration problems in engineering [M]. New York: John Wiley & Sons. Inc. Forth Edition. 432-434.

[26] SUN Y X, FANG D N, AI S K. Thermalelastic damping in micro-beam resonators [J]. International Journal of Solids and Structures,2006, 43: 3213-3229.

Dynamic characteristics of an axially moving Timoshenko beam under axial loads

CHEN Hongyong, LI Shangming

(Institute of Systems Engineering, CAEP, Sichuan 621999, China)

The effects of axial load on vibration characteristics of an axially moving Timoshenko beam were investigated. The governing differential equation for transverse vibration of the axially moving beam under axial load was established based on Timoshenko beam theory and Hamilton’s principle. The dynamic characteristics of the beam under axial load and pinned-pinned boundary conditions were investigated. The dimensionless frequencies of the beam versus axial load were calculated numerically using the differential quadrature method (DQM), and they were compared with the analytical solutions for verification. The results showed that under the condition of no load, the larger the slendness ratio of the beam, the easier the beam reaches unstable state; the beam reaches unstable state easier under compressive load than it does under tensile load; the critical speed of the beam decreases with increase in the absolute value of axial load. Through studying the influence factors and the relationship between the critical speed and the critical load of the beam, the results provided a guid for the design of axially moving systems under axial load.

axially moving Timoshenko beam; axial load; transverse vibration; differential quadrature method

國家自然科學基金面上項目(11272299)

2015-06-15 修改稿收到日期：2015-09-22

陳紅永 男，博士，助理研究員，1986年5月生

李上明 男，博士，副研究員，1978年7月生

O32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.19.013