“數形結合思想在小學數學教學中的應用”研究

樊夢婷

摘要：把問題的數量關系與空間形式結合起來考慮，或者把數量關系轉換成空間的性質問題，或者把空間的性質問題轉化成數量關系問題，這種處理問題的思想就是數形結合思想。數形結合作為數學學習中最重要的數學思想方法之一，體現了“數”與“形”之間相互依存，相互轉換的一一對應關系，是形象思維與抽象思維的結合。

關鍵詞：數形結合思想;組織形式;問題;解決措施

中圖分類號：G642.0 ? ?文獻標志碼：A ? ?文章編號：1674-9324（2016）43-0270-03

一、調查背景

數與形的內在聯系，使許多數學和數學分析的課題具有鮮明的直觀性，而且往往由于借用了幾何術語或運用了與幾何的類比從而開拓了新的發展方向。但至2014，關于數形結合思想，大多數都在研究數形結合在中學數學教學中的應用情況以及數形結合思想運用時的認知心理，針對小學生情況的研究少之又少，不及十分之一。此外，這些課題和研究案例都非常重視對數學思想方法作了大量文字性的敘述說明，卻很少有對如何來將這一行為有效實踐到教學活動中去的研究。從教材的深度理解出發，大多數教師仍停在數學知識和技能層面，對小學數學中蘊含的數學思想方法的研究力度不夠，甚至有的已經在部分運用數形結合思想設計課堂教學，在學生學習行為習慣培養上也有部分滲透，但卻不成體系。

二、調查方式

1.設計與實施。本研究采用調查問卷、人物訪談和文獻研究相結合的形式。問卷對象是金華市各小學的數學教師，訪談的對象既包括金華市各小學的數學教師，也包括各年級小學生代表。

2.研究材料。①調查問卷：本研究采用自編的《關于“數形結合思想在小學數學教學中的應用”的調查問卷》，在對文獻資料分析的基礎上，選擇了大量與對數形結合思想的態度、數形結合思想概念、數形結合思想運用的途徑及組織形式相關的項目后，經過多次修改，形成問卷的初稿。通過對15位金華市小學數學教師的前測，形成預試問卷分析報告，根據信度、效度以及因素相關性的原則，最終確定正式調查問卷。②訪談提綱（教師部分、學生部分）③課堂觀察記錄表（教師版、學生版）

3.數據處理。問卷收集的數據使用社會科學統計軟件包SPSS20.0和Excel來進行統計分析。在本次調研中，我們共發放問卷100份，回收問卷90份，有效問卷是86份，有效率高達96%。

三、調查結果分析

教師在課堂中滲透數形結合思想的組織形式

1.教師在課堂中滲透數形結合思想的頻率。近90%的教師認為在平時的教學中，大多數教師都會經常性地運用數形結合思想進行教學，但不同年齡、教齡、戶籍、職務、教授年級的教師在使用頻率上存在一定的差異。①年齡、教齡，分析數據可知：年齡在40歲以上、教齡在25年以上的教師使用數形結合思想的頻率最高;其次是年齡在30歲以下、教齡在10年以下的教師，而年齡在30～40歲、教齡在10～25年之間的教師最低。這可能與教師在不同職業生涯階段的特點有關。②戶籍、學歷，分析數據可知：不同戶籍的教師與運用數形結合思想進行教學的頻率之間不存在顯著性差異，但城鎮戶籍的教師比農村戶籍的教師更傾向于使用數形結合思想進行教學。城鎮戶籍的教師接受的教育總體上要比農村戶籍的教師接受的教育大而廣，他們更愿意從“哪種教學方法更適合學生”出發，而不是僅僅考慮哪種教學方法更利于自己教學。真正形成了課堂應以學生為主體，教師起主導作用的教育理念。同時，數據顯示不同學歷的教師與運用數形結合思想進行教學的頻率之間也不存在這顯著性差異，但大專學歷的教師比本科及以上學歷的教師運用數形結合思想進行教學的頻率略高。③教師職務，由數據可知：班主任相對于（非班主任的）任課老師和管理型教師來說，運用數形結合思想進行教學的頻率相對較低，且有顯著差異。班主任除了上課，還要負責班級的管理，包括班級的學風建設等，在備好每一節課的同時，還要不斷提高自己的班級管理能力。因此，班主任分配在研究教學上的精力與任課老師相比就顯得較少，更多建立的是一種把課上“完”的意識，而不是運用新穎的教學方法把課上“好”。班主任更多的是教一個班級，而任課老師起碼同時要帶同一個年級的兩個班，在兩個班學生上課以及作業的表現對比中，教師可以不斷從中發現問題，并不斷改善自己的教學方式，從學生的認知水平出發，在教學中運用數形結合思想，利于學生掌握和理解。④教授年級，分析數據可知：教授第一學段的教師比教授第二學段的教師在教學過程中，使用數形結合思想的頻率相對較高一些。這個結果與教師所面對的小學生認知發展水平和掌握的知識基礎有關。根據皮亞杰的認知發展階段理論，第一學段的學生處于前運算階段末期和具體運算階段的前期，一年級學生的各種感知活動圖式開始內化為表象或形象模式，但是他們的語詞或其他符號還不能代表抽象的概念，思維仍受具體直覺表象的束縛;到了二、三年級，學生的認知結構中已經具有了抽象概念，但仍需要具體事物的支持，在形成概念、發現問題、解決問題上都必須與他們熟悉的物體或場景相聯系，還不能形成抽象思維。因此，教師在講解數學概念或是算理算法特別是較抽象的概念或算理算法時，如：20以內的退位減法，必須運用數形結合的思想，比如借助小棒、計數器等。而第二學段的學生，特別是五年級和六年級的學生，正處于形式運算階段，這一階段學生的思維更具有靈活性、系統性和抽象性，超越了具體的可感知事物的依賴，使形式從內容中解脫出來。因此，教師在講解數學概念或是算理算法的時候，可以適當地讓學生通過在頭腦中想象，從而提高他們的空間觀念，因此運用數形結合思想進行教學的頻率就與第一學段比較而言，相對較低。

2.教師在課堂中滲透數形結合的教學環節和課堂類型。①教學環節，有77.3%的教師在講授新課這一教學環節中運用數形結合思想頻率最高，其次是復習導入。講授新課基本安排在課堂的黃金時間，占了課堂總時間的一半還多，是課堂的主體。對學生來說，這段時間中學習到的知識是嶄新的，相對陌生的，具有一定的抽象性，因此教師需要更多借助實物或是教具，依托數形結合思想來幫助學生掌握和理解。②課堂類型，分析數據可知在教學實際中，在數與代數的課堂中運用數形結合思想的教師比例要大于理想狀態，圖形與幾何恰恰相反，但兩者之間不存在顯著性差異。理想狀態與實際教學中運用數形結合思想最多的課堂類型之間是極其顯著相關的，即教師關于數形結合思想運用的教學觀念與他的實際教學行為是極其顯著相關的，保持一致。教師在數學課堂中運用數形結合思想進行教學的觀念越深，他在實際教學過程中就越會運用這一思想進行教學;反過來，教師在數學課堂中運用數形結合思想的頻率越高，他的這種觀念也就越牢固。如在一年級下冊教學“100以內兩位數加一位數的進位加法”時，老師先是創設了一個學生較為熟悉的“灰太狼在小灰灰生日的時候給它買蛋糕”的情境，激發學生的興趣，然后引導學生在數尺子、數小棒、借助計數器三種數學活動中，通過多種表征方式之間的相互轉換理解進位加法的算理和算法，并利用尺子的刻度聯系運算，提出“接著數”的方法，再利用捆扎小棒（十個為一捆）和計數器反復滲透、強調“拆小數、湊大數”的湊十法和“個位滿十、十位進一”的數學思想，讓學生充分體會到計算方法的多樣化。這是在數與代數模塊中運用數形結合思想的典型實例，能夠幫助一年級的學生不僅會計算100以內的進位加法算式，而且還理解了對他們而言比較抽象的進位加法的算理和算法。有效地防止學生學習數學“一知半解”，使學生對數學知識的理解“入木三分”。

四、數形結合思想在小學數學教學應用過程中存在的問題

在訪談中，我們針對每個年級學生各設置了幾道可以體現出數形結合思想的應用題，用來反映學生是否能夠自覺地運用數形結合思想解決問題。綜合分析學生的解題過程，我們發現大部分學生在自覺地運用數形結合思想解決問題的能力上顯示一般。

在對五年級學生的考核中，小組調查人員用一道工程問題、一道相遇問題和一道植樹問題對學生進行了考核，考核題目和考核結果如下：考核題目：工程問題：兩個工程隊共同開鑿一條675米長的隧道，各從一端相向施工。25天打通，甲隊每天開鑿12.6米，請問乙隊每天開鑿多少米？相遇問題：甲、乙兩艘輪船同時從上海出發開往青島。經過18小時后，甲船落后乙船57.6米，甲船每小時行駛32.5米，請問乙船每小時行駛多少千米？植樹問題：圓形滑冰場的一周全長為150米，如果沿著這一圈每隔15米安裝一盞燈，一共需要安裝幾盞燈？考核結果：三名同學在解題時，花費較長時間仍未有解題思路，也沒有想到數形結合思想。5分鐘后，小組調查人員提醒他們可以通過圖形來解題，三名學生仍不知道采用何種圖形。調查人員在展示工程問題的數量關系圖形后，學生能夠理解并進行下一步驟的解答。在第一題解答的基礎上，學生能夠把數形結合思想運用到相遇問題的解答中并順利求出結果。植樹問題的圖形是一個圓形，而非前兩題所涉及的均為直線圖形，學生再次感到困難。問題分析：在調查中，學生反映對于“數形結合思想”的具體含義是不知道的，但非常喜歡老師在教學新概念時，使用多媒體放映動畫來輔助教學的方式。同時，他們一致認為自己能夠通過畫圖的方式把應用題中的數量關系表示出來，幫助自己解題，對于通過擺小棒等幫助更好地理解不退位減法的運算方法的方式也表示認可。但是在實際操作中，調查小組發現學生在自覺運用數形結合思想解決問題的能力上顯示一般。在該學段常規數學問題上，學生一開始較難聯系到運用數形結合思想解題，在提醒可使用該方法后也缺少相應圖形的想法，即使給出相應解答方法后，學生也難以舉一反三，運用到其他類型的題目中。

現在許多教學一線教師在教學中主動向學生滲透數形結合思想的觀念并不牢固，甚至許多教師自身并沒有樹立數形結合思想，即使是在教學過程中使用畫圖等工具輔助解題，也可能只是將其看成一種解題方法，自身卻沒有意識到這是運用了數形結合思想。

五、推進數形結合思想在小學數學教學中的應用的解決措施

1.充分利用各種課程資源。課程資源包括文本資源——如教科書、教師用書、教與學的輔助用書、教學掛圖等;信息技術資源——如網絡、教學軟件、多媒體光盤等;社會教育資源——電視廣播、圖書館、報紙雜志等;環境與工具——如日常生活環境中的數學信息、用于操作的教具、學具等;生成性資源——如教學活動中提出的問題等。這里重點講一下信息技術資源和教具、學具對滲透數形結合思想的作用。在對學生的訪談中，可以發現：學生十分喜歡教師在課堂上使用多媒體，不僅能夠激發他們的學習興趣，還能讓他們的思路更加清楚?？梢?，各種課程資源是有效地在課堂中滲透數形結合思想的載體和途徑。

2.教師應不斷更新教育理念與模式。通過研究發現：理想中，教師運用數形結合思想進行教學的頻率與在實際教學中運用數形結合思想進行教學的頻率之間存在著顯著的相關性。作為經歷了新課改的小學數學老師，要不斷更新自己的理念。在觀念更新的前提下，教師才能在教學行動上有所改進。而觀念的更新依賴于教師對教育政策變化的關注程度，以及教師本身對數形結合思想前沿研究的關注程度。千百年來，無數數學家對數形結合思想進行研究論述，直到今天還在不斷深入。所以，當代小學數學教師要時刻關注政策及研究成果，不斷加深認識，更新理念。數據表明：班主任相對于（非班主任的）任課老師和管理型教師來說，運用數形結合思想進行教學的頻率相對較低，且有顯著差異。班主任是一種比較特殊的教師，不僅負責教學，同時肩負著班級管理的重擔。在研究教學的同時，還要不斷探索更適宜本班的班級運行模式，包括班級常規、班級文化建設、學生的思想道德品質等。因此，與任課老師相比，班主任在教學上所下的功夫相對會少一些。但隨著教育質量及小學教師要求的不斷嚴苛，特別是對小學教師職稱的評比，對教師綜合素質的要求越來越高，教學、科研等維度，教師都應合理地不斷尋求進步，尋求突破。因此，班級管理不能作為班主任的教學水平得不到提高的借口，班主任應該調整好自己的心態，不斷更新自己的教育理念，在管理與教學之間尋求一種動態的平衡。各個班主任之間也應該加強團隊建設，定期交流溝通，互相觀摩課堂。

3.數形結合思想的滲透應隨年級逐漸加深。小學分為兩個學段，在不同的學段，教師滲透數形結合思想的方式要加以區別。在一、二年級，教師不必專門講解，只要在概念教學、例題講解等教學環節或圖形與幾何等課堂類型中加以運用，以潛移默化的方式向學生滲透數形結合思想;在三、四年級，隨著教學的深入，教師可以對數形結合思想進行專門講解，學生能在了解的基礎上加深對數形結合思想的認識，在運用中更得心應手;在五、六年級，教學剛開始時，教師可以在運用數形結合思想的時候加以強調，等學生對數形結合思想有深刻印象和能熟練應用時，逐漸弱化，后期甚至可以讓學生提出是否運用了數形結合思想。

Research on the Application of the Combination of Number and Shape in Primary School Mathematics Teaching

FAN Meng-ting

（Zhejiang Normal University， Jinhua， Zhejiang 321000 ，China）

Abstract： the problem of quantity relationship and space form combined consideration， or convert quantity relationship to the nature of the problem space， or the space relationship between the nature of the problem into a number of issues， this thought is the number form combining ideas to deal with problems. Number form combining as one of the most important mathematical thinking method of mathematics learning， reflects the interdependence between "number" and "shape"， mutual transformation of one to one correspondence relation， is the combination of image thinking and abstract thinking.

Key words： number form combining ideas; Organizational form; Problem; The measures