一道課本習題的演變與拓展

康海芯

頻數分布直方圖是初中數學的重要知識點，也是各類考試命題的熱點之一，現以課本中一道習題的演變與拓展為例，與同學們一起走進豐富多彩的數據世界，感受它的魅力.

【蘇科版八（上）課本第82頁第7章7.4習題1】為了調查某市噪聲污染情況，該市環保局抽樣調查了40個噪聲測量點的噪聲聲級（單位：dB），結果如下：

（1） 在噪聲最高的測量點，其噪聲聲級在哪個范圍？

（2） 噪聲聲級低于65 dB的測量點有多少個？

【解析】（1） 因為頻數分布直方圖中噪聲聲級橫軸從左到右依次增高，所以噪聲最高聲級在第5小組，其范圍為75～80 dB；

（2） 觀察頻數分布直方圖可知噪聲低于65 dB的測量點有兩組，共14個.

變式一 更換問題背景，側重考查依據頻數分布直方圖提取信息的能力

例1 某次考試中，某班級的數學成績統計圖如下.下列說法錯誤的是（ ）.

A. 得分在70～80分之間的人數最多

B. 該班的總人數為40

C. 得分在90～100分之間的人數最少

D. 及格（≥60分）人數是26

【分析】觀察所給的條形統計圖，可知圖中各個豎條表示的是不同分數段的人數，從統計圖中可知得分在50～60分之間的有4人，得分在60～70分之間的有12人，得分在70～80分之間的有14人，得分在80～90分之間的有8人，得分在90～100分之間的有2人.由此可知該班的總人數為4+12+14+8+2=40（人），及格（≥60分）的有40-4=36（人），故選項D不正確.

解：選項A、B、C是正確的，選項D是錯誤的，故應選D.

【點評】從頻數分布直方圖中提取信息時，關鍵是要正確理解直方圖中橫軸與縱軸所表示的含義，以及小長方形的高與各小組頻數之間的關系.

變式二 補充問題條件，側重考查頻數分布直方圖與頻數分布表之間相互轉換的能力

例2 某區在實施居民用水額定管理前，對居民生活用水情況進行了調查.下表是通過簡單隨機抽樣獲得的50個家庭去年月平均用水量（單位：噸），并將調查數據進行如下整理：

4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7

4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5

3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2

5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5

4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5

（1） 把上面頻數分布表和頻數分布直方圖補充完整；

（2） 從直方圖中你能得到什么信息？（寫出兩條即可）

（3） 為了鼓勵節約用水，要確定月均用水量的標準，超出這個標準的部分按1.5倍價格收費，若要使60%的家庭收費不受影響，你覺得這個標準應該定為多少？為什么？

【分析】（1） 根據調查數據可知5.0

解：（1） 填表如下：

（2） 答案不唯一：如從直方圖中可以看出：①居民月均用水量大部分在2.0至6.5之間；②居民月均用水量在3.5

（3） 頻數分布直方圖補充如下：

（3） 要使60%的家庭收費不受影響，家庭月均用水量應該定為5噸，因為月均用水量不超過5噸的有30戶，且30/50=60%.

【點評】解答統計表與統計圖相結合的統計問題時，要善于將統計表與統計圖中的已有信息相互對照，進行補充.

變式三 改變設問方式，側重考查依據頻數分布直方圖進行計算與推理的能力

例3 3月28日是全國中小學生安全教育日，某學校為增強學生的安全意識，組織了全校1500名學生參加安全知識競賽，從中抽取了部分學生的成績（得分取正整數，滿分為100分）進行統計.請根據尚未完成的頻率分布表和頻數分布直方圖，解答下列問題：

頻率分布表

（1） 這次抽取了_______名學生的競賽成績進行統計，其中：m=_______，n=_______；

（2） 補全頻數分布直方圖；

（3） 若成績在70分以下（含70分）的學生為安全意識不強，有待進一步加強安全教育，則該校安全意識不強的學生約有多少人？

（4）針對學生安全意識不強的現象，請你向學校提出一條合理化建議.

【分析】（1） 首先依據“數據總數=頻數/頻率”計算出抽取的總人數，然后依據“頻數=頻率×數據總數”計算得出m的值，依據“頻率=頻數/數據總數”計算n的值；

（2） 依據m、n的值可以補全頻數分布直方圖；

（3） 先求出樣本中70分以下（含70分）的學生的頻率，再用樣本中的頻率來估計全校安全意識不強的學生數；

（4） 提出的建議要具體有操作性，符合題意即可.

解：（1） 200，70，0.12；

（2） 補全后的頻數分布直方圖如下圖：

（3） 1500×（0.08+0.2）=420（人）；

（4） 答案不唯一，如開設安全教育課，開展安全知識講座等.

【點評】借助“全國中小學生安全教育日”的背景考查頻數分布直方圖，將社會熱點問題與數學應用有機地結合起來，同時又體現了用樣本估計總體的思想.

（作者單位：江西省贛縣江口中學）