換還是不換？

劉雨炳

在美國的電視游戲節目lets make a deal中出現了這樣一個問題.假如你是參賽者，你被帶到三扇門前，在這三扇門后面有兩只山羊和一輛小汽車，當你選中有汽車的門后你就可以把汽車開回家.顯而易見選中汽車的概率為1/3.可正當你選好一扇門后，知道門背后物品的主持人忽然為你打開了一扇背后一定有山羊的門，并說：“現在我為你排除了一扇門，這兩扇門背后是山羊和汽車.我給你一次機會，你可以換另一扇門.你想選擇另一扇門嗎？”

這里的轉換選擇會成為優勢嗎？

多數看過題目的人第一反應是換和不換的概率是一樣的，都是1/2.假設這三扇門分別為A、B、C，而你一開始選了A門，主持人在B、C中排除了有羊的B門.A門是汽車的概率為1/3，C門為汽車的概率也是1/3，所以換和不換的中獎概率是一樣的，都是1/3.

這樣想有一個問題，即忽視了主持人排除山羊的條件.套用上一個想法中的字母，一開始你選了A門，選中汽車的概率為1/3，這沒錯.此時你沒有選中的概率為2/3，而車在B、C門后面的概率就為2/3，此時主持人排除了有山羊的B門，那C門中獎概率就從1/3變到了2/3.

也就是C繼承了B的概率，打個比方理解一下.有1 000張彩票中只有1張能中獎.在這1 000中至少有一張中獎的概率就是100%.此時你是第一個兌獎的，那么你中獎的概率只有1/1000，可假設你是最后一個兌獎的，前面有999個人都沒有中獎，這相當于排除了999張沒有中獎的彩票，剩下一張必定中獎，那么你中獎的概率為100%.

讓我們把這個問題套到彩票上.有3張彩票，只有一張能中獎，分給兩個人，a分到一張，b分到兩張.a中獎概率為1/3，b中獎概率為2/3.然后有人排除了b的一張不能中獎的彩票，那么b手上剩下的一張彩票中獎的概率就為2/3. a和b換彩票a中獎的概率就為2/3.同理，在上面的問題中換門中獎的概率為2/3.

讓我們再換一種嚴謹的方式證明換門的概率為2/3.

還是以ABC命名這三個門.假設A有車，B、C是羊.

第一種：你選了A，主持人任意排除B門或C門，你換門，不中獎；

第二種：你選了B，主持人只能排除C門，你換門，中獎；

第三種：你選了C，主持人只能排除B門，你換門，中獎.

由此可見換門中獎的概率的確為2/3.

雖然2/3這個答案在邏輯上并不矛盾，但卻十分違背直覺，科學就是這樣有趣.請記住一句話：“概率存在于被給予的條件下，而不能寄托在實際物體上.”

（指導教師：劉 佳）