淺談高中數學中的化歸與轉化思想

鄭柳榮

【摘 要】數學中許多問題的解決都離不開轉化與化歸。當我們在日常的數學教學中實施等價轉化這一化歸思想的時候，我們就要在教材中挖掘化歸與轉化的思想方法，在教學設計中滲透化歸與轉化的思想方法，在實際教學過程中辯證的對待這一思想方法。把難解決、抽象的問題化歸與轉化成比較直觀的問題。

【關鍵詞】高中數學；化歸；問題轉化

化歸與轉化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的數學思想。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際就是轉化的過程。應用轉化化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉化。常見的轉化有：利用特殊化的思想來實現轉化、用數形結合的思想來實現轉化、利用正難則反的思想來實現轉化、利用換元法的思想來實現轉化、利用函數與方程的思想來實現轉化等。

一、利用特殊化的思想來實現轉化

一般的問題抽象成立，具體也成立。具體可以得到確切的答案與規律。這種關系在中學數學中普遍存在，經常運用，這也是化歸思想的體現。

例1：已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比數列，則 的值？

分析：由題意知，只要滿足a1、a3、a9成等比數列的條件，{an}取何種等差數列與所求代數式的值是沒有關系的.因此，可把抽象數列化歸為具體數列.比如，可選取數列an=n（n∈N*），則 = =13-16。

點評：抽象也能求解，但計算較繁鎖，易錯.因此，把抽象問題轉化為具體的簡單的問題進行分析，可以很快得到答案從而達到快速的處理問題的效果。

二、用數形結合的思想來實現轉化

數形結合思想是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，是數學解題中常用的思想方法之一。

三、利用正難則反的思想來實現轉化

在討論比較復雜的情況時，可考慮先求解問題的反面，采用“正難則反”的解題策略.具體地說，就是將研究對象的全體視為全集，求出使問題反面成立的集合U，則U的補集即為所求.

一般地說，當“結論”的反面比“結論”本身更簡單、更具體、更明確時，宜考慮用補集的思想方法。

例3：已知三條拋物線 ， ， 中至少有一條與x軸相交，試求實數m的取值范圍。

解題分析：即補集分析，從全集中去掉那些不合題意的解集，“結論”的反面，三條拋物線都不和x軸相交相對于命題本身更簡單明確，這樣就轉化為我們比較熟悉的二次函數根的問題。

解：從題設的反面“三條拋物線都不和x軸相交相”出發，設三條拋物線的判別式分別為

則有： 解之得

∵ 為拋物線 ∴

根據補集的思想 故m的取值范圍是

點評：教學中發現學生在運用補集法求解一些問題時易出現一些不易覺察的錯誤，結果導致錯解發生，特別是本題中的隱含條件 是極易被忽視的地方。

四、利用換元法的思想來實現轉化

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。

五、利用函數與方程的思想來實現轉化

函數與方程的思想是求數量關系的主要思想方法。一個數學問題，如能建立描述其數量特征的函數表達式，或列出表示其數量關系的方程式（組）（包括不等式（組）），則一般可使問題得到解答。

六、通過以上示例得出化歸與轉化應遵循的基本原則

（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決；

（2）簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據；

（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律；

（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決；

（5）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。

總而言之，化歸與轉化的思想具有靈活性和多樣性的特點，沒有統一的模式可遵循，需要依據問題本身提供的信息，利用動態思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學習和熟悉化歸與轉化的思想，有意識地運用數學變換的方法，去靈活地解決有關的數學問題，將有利于提高解決數學問題的應變能力和技能、技巧。

參考文獻：

[1]聚集數學解題中的轉化與化歸.高中數理化.2010（7）

[2]淺談化歸思想與高中數學教學.教師.2009（16）