《圓的面積》學習工具制作綜述

王景濤

特色與亮點

《圓的面積》學習工具用Flash CS 5.5制作而成，通過AS 3.0腳本語言設計了交互性動畫。該作品采用模塊化設計，每個模塊就是一個小插件，學生既可以按照菜單提示進行系統學習，也可以選擇其一進行有針對性的探究。本學習工具結合數學學科特點，遵循小學生從直觀到抽象、從特殊到一般的認知規律，將深刻的轉化和極限思想蘊含其中，使學生能自主地在“問題空間”或“求知空間”里動手實驗，發現、體驗和建構知識，最終提高創新意識和解決問題的能力。

制作背景

從某種意義上說，數學的思想方法就是數學的本質。教師教數學，到底教什么？學生學數學，到底學什么？只有抓住了數學學習的本質，才能真正激發學生學習數學的興趣，才能提高學生發現問題和解決問題的能力。基于這一思考，幾年來我用數字化學習工具進行數學建模，用動畫教學生學習數學方法，數學思想就像一粒粒種子悄悄播撒在學生的心田。《圓的面積》就是我用數字化學習工具教學生數學思想方法的又一次探索。

學情分析

數學知識之間都有內在的聯系，這種聯系形成了特殊的數學知識結構。教師在進行相應的內容教學時，既要考慮這部分內容的知識基礎，又要考慮這部分內容是如何為將來的學習搭建階梯的。圓的面積，是小學生第一次學習的曲線圖形面積，曲線圖形面積與線段圍成的圖形面積之間的聯系是本課學習的重點。

設計之初，我調研了學校已經學完本部分內容的班級，發現很多學生只是記住了圓面積計算的公式，而沒有真正理解其中的數量關系。目前教材上圓的面積推導過程十分抽象，學生對圓的面積與其他平面圖形的面積計算公式之間的關系沒有系統的把握。因此，我決定借助學習工具突破學習的難點，借助數形結合和推理，打通數學知識之間的聯系，讓學生通過“做中學”獲得基本活動經驗。

設計思路和內容結構

導航菜單包括八個模塊。從課堂教學流程的角度看，情境導入部分包括“學習目標”和“導入”兩個模塊，自主探究部分包括“探究1”

“探究2”“探究3”和“探究4”四個模塊，解決問題部分包括“例題”和“練習”兩個模塊。探究部分是學習工具的核心。

1.學習目標

該模塊主要是出示學習目標：①通過動手操作、動畫演示，探索、推導圓的面積公式;②能夠運用圓的面積公式正確地計算圓和環形的面積;③體驗和感悟轉化和極限思想。

該目標的設定體現了學生是學習的主體。以學習目標為導航，借助學習工具，我的課堂教學評價設計是這樣的：①動手操作，能夠用自己的語言表述圓與“轉化”圖形之間的關系;②能夠動手操作將圓割補拼接成學過的一種圖形（如長方形、三角形、平行四邊形等）;③能夠自主設計一個環形;④借助計算器，正確計算涂色部分的面積，至少能夠選擇2個圖形并給出正確解答。

2.引入

該模塊主要是情境引入，創設情境以引起學生的學習興趣。點擊“牛”，動畫演示“牛吃草”的范圍（如圖1），啟發學生思考：要想知道牛吃草的范圍大小，就需要求圓的面積。學生觀察動畫，感悟圓的面積大小與繩子（半徑）的長短有關。

3.探究1

該模塊的設計主要是讓學生感悟“化曲為直”的數學思想。拖動滑塊，控制正多邊形的邊數，動態顯示圓內接、圓外接正多邊形，建構“正多邊形和圓的關系”這一直觀模型。學生觀察后發現，在圓的內部畫正多邊形，當正多邊形的邊數足夠多的時候，正多邊形的面積就越接近圓的面積;在圓的外部畫正多邊形，當正多邊形的邊數無限多時，正多邊形的面積就是圓的面積（如圖2）。當學生發現正多邊形的邊最終和圓周曲線吻合時，就能深刻體會到數學中的極限思想，這種轉化的方法叫做“化曲為直”。

4.探究2

該模塊主要是動手拼接圖形，感悟“轉化”方法。把圓平均分成16份，借助鼠標操作，拖動小扇形進行平移，轉動鼠標滾輪進行旋轉（如圖3）。課堂上，學生拼出了平行四邊形、三角形、梯形等不同的圖形，從而在推導圓的面積公式方面呈現出個性化思考。拼接圖形之后，我在課堂上讓學生說一說，所拼圖形的底和圓周長的關系，所拼圖形的高與圓半徑的關系。

5.探究3

該模塊主要是讓學生感悟“化圓為方”的數學思想。如果把圓平均分成32份、64份、128份、360份，甚至更多呢？學生通過拖動滑塊，動態改變平均分成小扇形的份數，觀察拼成的圖形（如圖4）。通過“化圓為方”構建“圓的面積和長方形的面積關系”這一直觀模型。當學生將一個圓平均分成幾百份，再拼接成一個長方形時，無不流露出驚異的神情。這種由靜態變動態、數形結合的動畫設計，給了學生更多的想象空間。

6.探究4

該模塊主要是讓學生動手操作，設計環形。學生用顏色選擇器選擇顏色，用滑塊改變圓的半徑，單擊方格區域確定圓的位置，就能設計出大小不同、顏色各異的圓形，單擊“清除圖形”按鈕可以重新設計（如圖5）。學生在動手操作的基礎上討論環形面積，充分體驗到圓是一種完美的圖形，環形也是一種完美圖形。學生的創造性得到了很好的發揮，他們設計出不同形狀的圓形組合圖案，加深了對圓的知識的理解。

7.例題

該模塊是在前面探究圓的面積公式的基礎上，解決相關的實際問題。第一個例題是解決“牛吃草”的問題，回饋引入部分。第二個是教材中的例題，問題可由學生提出并解決。學生將解答的過程填入文本框中，如果填寫錯誤，程序將不予通過（如圖6）。

8.練習

該模塊有幾個組合圖形，要求學生計算陰影部分的面積。學生先進行列式計算，按“Ctrl”鍵打開計算器輔助運算（空格鍵關閉計算器），如果答案正確，將顯示“√”（如圖7）。

反思與評價

圓的面積計算公式是小學數學中的一個重要模型，是直線圖形向曲線圖形轉換的質的飛躍。基于課程標準設計教學，突破難點的切入點就是“轉化”的數學思想。運用Flash動畫將“數”與“形”緊密結合起來，通過實驗操作建立直觀模型，能夠很好地引導學生開展自主探究。

首先，建構直觀模型，表達數學思想。將數學的抽象概念和推導過程變為學生容易理解和接受的直觀模型。學生通過拖動學件中的滑塊，即時動態地展現變化的結果，既激發了學生的思維及學習熱情，又使他們感悟和體驗了“化曲為直”和“化圓為方”的轉化思想和極限思想。

其次，提供探究工具，激發創新思維。通過模擬數學實驗的方式，學生能夠將圓自主拼接成梯形、平行四邊形、三角形等多種圖形探索圓和直線圖形的面積關系，既克服了傳統教學中拼剪圖形的繁瑣和種種限制，更為學生的個性化學習提供了廣闊的創新思維空間。而自主設計環形圖案，則讓學生學會了欣賞美和創造美。

最后，注重練習反饋，提高學習效果。在“練習”環節，要求學生計算涂色部分的面積，學生的解答過程被記錄在文本框中，計算機會根據輸入情況即時給出反饋。

幕前幕后

2015年的南昌之行，評委老師對我的作品所建構的直觀模型給予了高度評價并留下我的電話進一步交流，我的心情非常激動。兩年前第一次參加NOC活動的情景又浮現在眼前：答辯的那天早上，突發靈感構建了一個面積函數的直觀模型，答辯時獲得了評委老師的鼓勵和觀眾的掌聲，當時興奮之情無以言表。從那時起，我開啟了用Flash動畫進行教學的探索之路。2014年，我的NOC作品《筆算乘法》因良好的即時反饋效果，解決了老師不能及時批閱作業的現實問題，有幸榮獲一等獎。接下來的一年時間，我滿懷激情利用業余時間編寫了70多個數學學習工具，把每個案例匯集起來寫成了一本書，2015年十月正式出版。夜深人靜的時候，我為在鍵盤上敲下的一行行代碼化為精彩的作品而興奮，也為苦思冥想不得結果而彷徨;課堂上，我為學生借助動畫學得趣味盎然而欣慰，也為技術改變教學而激情滿懷。我的成長也在影響著學校里一批志同道合的老師，他們一直在推動信息技術與創新實踐活動，如今已有數十名師生在NOC活動的各賽項中獲獎。

NOC活動點燃了我的創造熱情，喚醒了我內在的尊嚴和歡樂！我感覺課堂上用動畫能夠教學生“真正的數學”，這是一條“輕負擔、高效率”的課改之路。與NOC相識、相知、相伴的日子里，我成長，我幸福！

評委印象

《圓的面積》學習工具用于五四學制小學五年級翻轉課堂，淄博市的翻轉課堂教學實驗開展的深度與推廣力度都非常大，從這個工具可見一斑。

王老師設定的目標分別是：探索推導圓的面積公式、能使用圓的面積公式正確計算圓和環的面積及初步了解極限思想。

目標1是重點。王老師設計了兩個直觀模型和兩個動手探究（如圖1、圖2）。直觀模型分別是化曲為直、化圓為方。其操作比較簡單，拖動游標即可觀察到隨著N的變化圖形越來越接近圓形（矩形）。

兩個動手探究則具有很大的靈活性，理想的課堂中，教師對學生拼圖的期望是這樣的（如下頁圖3、圖4）。

我為此專門詢問了王老師，如果出現這種情況如何處理。王老師認為翻轉課堂需要鼓勵學生的發散思維并承擔其后果，在圖5中，學生能總結出圓面積公式，在圖6中，雖然也能使用環形面積公式計算面積，但需要引導學生溫習環形的定義。我非常同意這種觀點。

在翻轉課堂的練習部分，王老師設計了檢驗學生學習情況的練習題，填對正確答案會出現做對的提示（如圖7）。這也是課程的亮點之一。

總的來說，王老師以非常不錯的編程技術實現了適用于翻轉課堂的學習工具的開發，作為教學一線的教師，我認為這已經達到了他編程能力的極限。但工具設計中也有明顯的不合理的地方，如練習中“+、-、×、÷”等符號的輸入，探究中以鼠標滾輪旋轉圖片不夠方便（各圖片旋轉中心也不一致），王老師也在實際使用中覺察到這些缺陷并反思要改正，甚至想開發存儲功能，保存學生自我拼接的圖形，以實現教學的積累。然而，對于一名一線教師來說，改進這些缺陷所要花費的成本很大，而教學工具帶來的提升卻很小，所以這明顯不合算。我個人的看法是專業編程人員應該介入學習工具的開發，以他們強大的技術能力以低成本的方式解決一線教師的需求，這樣才能更好地尋找數字化學習工具的新的增長點。

（田崗 ?NOC活動評委）