科學(xué)合理“探究”，巧抓問題實質(zhì)——點評：二次函數(shù)圖像平移再探究

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) 曹 艷

科學(xué)合理“探究”，巧抓問題實質(zhì)——點評：二次函數(shù)圖像平移再探究

陜西師范大學(xué)附屬中學(xué) 曹 艷

近期，筆者有幸參加了陜師大附中畢業(yè)年級課堂教學(xué)研討活動之初中數(shù)學(xué)研討活動，聆聽了展示課《二次函數(shù)圖像平移的再探究》，感觸頗深，現(xiàn)對該課例做以點評，供各位同行參考指正。

一、教學(xué)過程

1.巧妙導(dǎo)入，由淺及深

教師：將原點（0，0）向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到哪個點呢？

學(xué)生：（-1，-4）。

教師：點的平移變化規(guī)律是“右加左減，上加下減”。

教師：將拋物線y=x2向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度后，拋物線的函數(shù)表達式是什么？

學(xué)生：y=（x+1）2-4。

教師：二次函數(shù)圖像平移，函數(shù)表達式的變化規(guī)律是“左加右減，上加下減”。那么，平移前后的拋物線有什么相同點和不同點？

學(xué)生：平移前后的拋物線開口大小、方向相同，位置不同。

2.合理探究，發(fā)散思維

探究一：拋物線平移后經(jīng)過一點

教師：將拋物線L：y=x2+2x-3平移后，使它經(jīng)過坐標平面上的一點O（0，0），應(yīng)該怎樣平移？你能說出幾種平移方式？平移后的拋物線有幾條？

（學(xué)生眾說紛紜，直接看出來沿x軸方向或者y軸方向平移）

教師：你是將哪個點平移到了點O（0，0）？

（學(xué)生根據(jù)自己的平移方法明確由哪個點平移到O（0，0）點）教師：我們把這個情況一般化。將拋物線L：y=ax2+bx+c平移后，使它經(jīng)過坐標平面上的一點（m，n）。平移后的拋物線有幾條？回答問題，并說明理由。（教師通過幾何畫板進行演示）

學(xué)生：可以有無數(shù)種平移方法。

教師：拋物線上每一個點都可以看作平移到了（m，n） ，就有無數(shù)種平移方法，這樣的拋物線有無數(shù)條。

探究二：拋物線平移后經(jīng)過兩點

教師：將拋物線L：y=x2+2x-3平移后能同時經(jīng)過O（0，0），M（-1，-1）嗎？

（學(xué)生根據(jù)圖形特點可以直觀地看出將原拋物線的頂點（-1，-4）向上平移3個單位長度到（-1，-1）時，原拋物線上的點（0，-3）便平移至點（0，0），符合題意）

教師追問：能同時經(jīng)過O（0，0）、N（1，2）嗎？請說明理由。.

（此時直觀看不出平移方法，學(xué)生小組展開討論）

教師：這種方法我們稱之為“待定系數(shù)法”，是解決該類問題的常規(guī)方法。還有沒有別的方法呢？

小組2：我們小組將問題轉(zhuǎn)化為尋找平移至（0，0），（1，2）的那兩個點，確定平移方法。設(shè)原拋物線上的點分別平移至點O、N處，設(shè)，因為O與N的水平距離為1，故O與N、與縱坐標差距一樣，因此有a2+4a-（a2+2a-3）=2，，即向右平移個單位長度，向上平移個單位長度。

教師繼續(xù)追問：能同時經(jīng)過O（0，0）、P（0，3）嗎？為什么？

學(xué)生：不能。因為O、P橫坐標相同，不能滿足函數(shù)表達式。

教師：我們也把這個情況一般化。將拋物線L：y=ax2+bx+c平移后，能經(jīng)過坐標平面上的任意兩點（m1，n1）、（m2，n2）嗎？回答問題，并說明理由。

（學(xué)生進行小組探究）

當m1=m2時，由n1≠n2知無解。故兩點橫坐標相同時，平移后不能經(jīng)過這兩點；

當m1≠m2時，有唯一解。故兩點橫坐標不同時，平移后能經(jīng)過這兩點，且只有一條。

探究三：拋物線平移后經(jīng)過三點

教師：將拋物線L：y=ax2+bx+c平移后，能經(jīng)過坐標平面上的任意三點嗎？

學(xué)生：不一定。

教師：可由這三個點求出平移后的拋物線表達式，比較與原拋物線的二次項系數(shù)a是否相同；還可以將兩點代入求出表達式中的b和c，判斷第三個點是否在這個拋物線上。

3.精彩小結(jié)，方法升華

教師將本節(jié)內(nèi)容作以小結(jié)，從數(shù)和形兩方面使學(xué)生認識到拋物線平移的實質(zhì)，體會平移過程中的變量與不變量。

二、課后感悟

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其研究思想對學(xué)生以后進一步研究其他函數(shù)起到了指導(dǎo)作用。二次函數(shù)的學(xué)習(xí)還有助于學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力。教學(xué)過程中依照函數(shù)研究步驟，從定義、表達式、圖像以及性質(zhì)（對稱性、最值、增減性、開口方向等）對二次函數(shù)進行研究。通過前面學(xué)習(xí)，學(xué)生具備求解二次函數(shù)表達式的能力，即能夠通過給定的三個獨立條件求解二次函數(shù)的表達式，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

平移變換、軸對稱變換、中心對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換是初中階段學(xué)習(xí)的四個全等變換。本節(jié)課以拋物線為出發(fā)點，以平移變換為手段，讓學(xué)生感受拋物線平移過程中的變量與不變量。學(xué)生需要理解平移過程中a的不變性（a決定拋物線的開口大小和開口方向）才能無障礙地完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)。本節(jié)課以探究活動貫穿始末，探究問題逐層遞進，學(xué)生的主觀能動性得以較大程度的發(fā)揮。同時，小組形式的探究活動，為學(xué)生思維的發(fā)散提供了更好的平臺，不但有助于學(xué)生發(fā)揮集體的智慧，還能夠促進每個小組成員之間的相互幫助，避免個別學(xué)生掉隊。科學(xué)、合理、有效的小組探究，成為本節(jié)課一大亮點。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠深入體會二次函數(shù)表達式和圖形之間的關(guān)系，尤其是表達式中a、b、c對函數(shù)圖象的影響，感受數(shù)形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

小組1中，學(xué)生設(shè)出平移后二次函數(shù)的一般式，進而用待定系數(shù)法進行求解。這里我們還可以利用二次函數(shù)的頂點式來進行求解，即設(shè)平移后的二次函數(shù)表達式為y=（x-h）2+k，將O、N代入即可求出函數(shù)表達式。這樣一步一步由淺及深，學(xué)生通過數(shù)和形兩個方面感受拋物線平移的實質(zhì)，既解決了探究問題，又提高了學(xué)生知識、方法和思維能力。