例談轉化思想在數學解題中的應用

寧夏西吉中學 何永安

例談轉化思想在數學解題中的應用

寧夏西吉中學 何永安

所謂化歸與轉化思想，是指把需要解決或未解決的數學問題通過適當的方法進行轉化，歸結為已解決或者比較容易解決的問題，最終求得問題圓滿解答的一種手段和方法。它貫穿于整個數學學習的始終，比如，一般與特殊的轉化、常量與變量的轉化、函數與方程的轉化、數與形的轉化、相等與不等的轉化、空間問題與平面問題的轉化、實際問題與數學模型的轉化，等等。下面僅通過幾例說明轉化思想在解題中的應用。

一、函數與方程的轉化

函數與方程都是重要的數學思想，雖然概念不同，但它們之間有著密切的聯系。方程可看成特殊的函數，而函數又是方程的拓展。函數y=f（x）的零點?函數y=f（x）圖像與X軸交點的橫坐標?方程f（x）=0的實數根。所以許多有關方程問題可以轉化為函數問題來解決，反之，也有許多函數問題可以轉化為方程來解決。

例1 設二次函數f（x）=（m-2）x2-6mx+6m-15與X軸有兩個不同的交點，其中至少有一個交點在X軸的負半軸上，求實數m的取值范圍。

分析：本題直接解要分三種情況，顯然比較麻煩。若注意到至少有一個交點在X軸的負半軸上的反面卻只有一種，即兩個交點都在X軸的非負半軸上，先求這種情況下m的范圍，再求其補集即可。

解：由以上分析，問題轉化為一元二次方程（m-2）x2-6mx+6m-15=0有兩個不同實數根，且至少有一個根在X軸的負半軸上，其反面為兩個根都在X軸的非負半軸上，則m-2≠0且△=（-6m）2-4（m-2）（6m-15）＞0，即m＜-10或1＜m＜2或m＞2……（1），設兩根分別為x1，x2，得不等式組

評析：本題由函數轉化為方程，再通過正難則反的轉化，使問題獲得解決。

二、數與形的轉化

數與形之間存在著一一對應關系，通過“以形助數”和“以數解形”，使數形達到了和諧的統一。但數與形之間可以相互轉化，有許多代數問題潛藏著幾何背景，由幾何背景的特征，從數中構型把數學問題的數量信息轉化為圖形信息，可使那些抽象的概念、復雜的數量關系直觀化，由圖形的特征尋找解決問題的途徑。但也有一些幾何問題，雖然圖形較直觀，其條件和結論相距甚遠，解題的切入點不易找到；還有那些條件較多，與結論關系又不明顯，不能一下子抓住它們特征的題目，若采用代數、三角及解析法，則解題思路比較明顯，這些題目在平面向量、立體幾何、平面解析幾何中更為常見。

評析：本題由函數表達式轉化為函數圖像，由圖像得到C的取值范圍，直觀明了，體現了數與形的轉化。

三、實際問題與數學模型的轉化

數學模型是許多實際問題的抽象概括，而實際應用問題又要通過建立數學模型，運用數學知識來解決，其思維過程歸結為：（1）熟悉題目所提供的背景；（2）反復閱讀背景材料；（3）建立數學模型，實際問題轉化為數學模型；（4）求解這個數學模型；（5）還原。

例3 提高過江大橋的車輛通行能力可改變整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞。此時車流速度為0，當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時。研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數。

（Ⅰ）當0≤x≤200，求函數v（x）的表達式；

（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）f（x）=x.v（x）可以達到最大，并求出最大值。（精確到1輛/小時）

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時。

評析：很明顯，本題將實際問題轉化為數學模型，通過數學知識使問題獲得解決。

從以上幾例可以看出，化歸與轉化思想具有靈活性和多樣性，靈活運用轉化思想解題，需要依據問題本身提供的信息，明確轉化的目標，利用動態的思維，去尋求有利于問題解決的轉化途徑和方法。