整體法，教學簡單數學

胡靜

[摘 要] 整體法是一種重要的數學思想，在高中教學階段的應用及其廣泛，是解決復雜數學題的不二法寶.為了提高高中生整體的數學素養，養成良好的解題習慣，教師要學會在平常教學中向學生灌輸整體法的使用思路，為學生的學習提供便利.

[關鍵詞] 整體思想；高中數學；簡單教學

在當今環境下，課程改革活動正在如火如荼地進行，新型的課堂教學模式正在席卷高中數學課堂. 作為數學教師也要適應時代的步伐，爭做改革的領跑者，摒棄以往腐舊的教學模式，開創對學生有益的教學方式，全面提升學生的整體數學素養. 整體法作為一種便捷的解題工具，是教師實現輕松教學、簡單教學的秘密武器，只要教師能夠應用得當，數學課堂一定會精彩紛呈. 筆者本人具有多年高中數學教學經驗，對如何在課堂教學中以及習題訓練中滲透整體法的使用具有一定的研究與探索，下面簡要介紹幾點經驗，不足之處，敬請斧正.

整體代入，絕處逢生

整體代入是整體法最直接、最明顯的表現方式，就是將若干個式子組合在一起看作一個整體，通過直接或者間接的方法代入另一個式子當中，使解題過程變得簡單，避免煩瑣的計算過程，于絕處逢生，給學生的解題帶來希望.

整體代入在高中的各個階段都會應用，就連最簡單的長方體教學中也會出現這種方法的使用. 教師在平時授課中，為了讓學生更快、更好地吸收知識、理解知識，一定要將教學內容變得簡單，利用整體法就是不錯的選擇. 例如，當我們學完長方體的相關知識后，筆者都會向學生布置這樣的習題：已知長方體的全面積是11，十二條棱長總和為24，那么請分析這個長方體的一條對角線的長度為多少. 面對這道題，一般的解題思路是先假設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，根據已知條件分別求出a，b，c的值，然后再依據對角線長的公式即d=進行計算. 但是我們明顯會發現根據已知條件無法求出a，b，c的值，因此我們就需要考慮其他的方法. 我們可以先將對角線長的公式進行變形，然后再考慮接下來怎樣計算，d==，根據這個式子，我們可以發現只需要求出a+b+c和ab+bc+ca即可. 再根據已知條件列出下列式子：2（ab+bc+ca）=11，4（a+b+c）=24，這樣我們就可以分別求出兩個需要的式子的值，代入表達式中可以得出d=5. 在這道題的解決過程中，我們就采用了整體代入的思想，因而才使得題目得以解決. 如果僅僅采用正常的思路進行求解，這道題目也是無法計算的，由此可見整體代入的重要性.

整體代入在很多數學知識中都可以應用，都能夠起到簡化題目的作用. 教師要在平常教學中不斷地去探索、發現更多的整體代入例題，并及時地與學生進行分享，用以擴寬學生的視野，增加學生的解題經驗.

整體換元，柳暗花明

整體法是高中的重點知識，有很多問題只能夠通過整體法才能夠解決，因此教師要提示學生提高警惕，將整體法的各種應用都熟記于心，這樣在應用時才能夠信手拈來，避免出現卡在讀題階段不知如何下手的尷尬局面.

整體換元屬于研究新元性質方面的知識，在多項式部分應用較多，它能夠將題目進行轉化，變得簡單易解.當教師在教學多項式方面知識時，一定要確保學生能夠獨立應用整體換元的思想解決實際問題，因為在高考中這個考點也會頻繁出現. 下面以一道簡單的例題為例，介紹整體換元使用的妙處. 請計算（a1+a2+…+an-1）（a2+a3+…+an-1+an）-（a2+a3+…+an-1）（a1+a2+…an）的值. 面對多項式與多項式乘積的題目，一般的思路是將括號打開，逐一進行計算，但是本題給出的并不是具體數字，而且數字較多，這種方法根本不適合用來解這道題. 這時我們就需要向整體換元法求助，將題目轉化成簡單的形式，能夠一眼看出解題思路即可. 整體法重要的思想就是要求大同存小異，進行整體變換，題目就會變得簡單. 設a2+a3+…+an-1=x，則原式=（a1+x）（x+an）-x（a1+x+an），注意將式子打開并進行化簡計算，就會得出原式=a1an，由此就可以得出正確答案.根據解題過程可知，雖然我們假設a2+a3+…+an-1=x，但是在后面的計算中可以直接將x消去，并不影響整道題目的解題程序. 在此也能夠看出整體換元的妙處，將復雜的式子變得簡單，使式子變換到學生可以接受的程度，之后再進行化簡計算就會顯得異常簡單了.

多項式的計算是高中的重點知識，教師一定要想方設法幫助學生突破這個教學難點，將整體換元法把握透徹，讓學生有信心去面對復雜的高考，在考試中平穩地拿下高分.

整體變形，水到渠成

整體變形既是整體法的一種應用實例，又是思維轉換的具體表現，需要學生擁有獨特的眼光，發現問題的本質所在.只有抓住問題的主要矛盾，才能夠想到合適的變形方法，將問題轉化為熟悉的內容，加快解題速度.

在使用整體變形這種解題方法時，學生首先要對題目有一個完整的認識，找到問題的關鍵才能夠水到渠成地解決問題. 當我們在學習數列知識時，教師都會向學生講授整體變形的應用實例，提高學生對數列的認識. 其實，只有在講解數列知識時才是傳授整體法的最佳時機，整體法是解決數列問題的法寶.數列知識較強的學生，整體法的應用都會十分熟練. 例如，學生在習題訓練中，都會遇到這樣的題目：已知數列{an}的通項公式為an=（2n-1）xn（x≠1），求出此數列的前n項和Sn. 解決此題時，一般思路是先求出數列的前幾項，之后再決定采用何種方式解題. 利用通項公式可以求出a1=x，a2=3x2，a3=5x3……觀察這前幾項可以發現，這個數列既不是等差數列也不是等比數列，這時在進行前n項和求解時，我們不可以根據數列的相關公式直接求出. 所以我們要采用其他的方法，先寫出前n項和Sn的公式：Sn=x+3x2+5x3+…+（2n-1）xn，觀察式子，我們可以將式子兩邊同時乘x，將式子進行整體變形，得到xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n-1）xn+1，然后再將上面兩個式子相減，就可以求出Sn. 具體計算過程比較簡單，在此不再贅述. 這種解題方式，就是在原有的式子的基礎上構造一個新的與題目相關的式子，二者進行恰當的運算，就可以得出Sn的值.

整體變形法開拓了一種新的解題思路，增加了學生解題的砝碼，使學生能夠輕松地解決數列的相關知識.

整體補形，迎刃而解

立體幾何是學生進入高中以來所學習的數學知識中最需要想象力的知識模塊，因此也是很多想象力匱乏的學生的學習軟肋，他們無法找出圖形中需要的線段或者圖形，也就不能得到合適的解題方法. 整體補形能夠幫助學生在立體幾何的學習中搭建全新的視角，有利于學生抓住問題的重點，找到最佳解題途徑.

利用整體補形法解決立體幾何相關問題是一個專題，教師在進行總復習時，可以抽出一定的時間進行專門的知識總結以及擴展，讓學生對整體補形有一個全面的把握，增多學生的解題技巧. 在專題訓練中，教師要盡可能多地選擇具有代表性的題目，讓學生每做一道題目都會有獨特的收獲，能夠對學生的思維模式起到促進的作用. 例如，當筆者在組織學生進行復習時，都會留下這樣的題目：如圖1所示，在三棱錐P-ABC中，三組對棱相等，并且PA=13，PB=14，PC=15，求出這個三棱錐的體積.

按照常規的解題思路，求解三棱錐的體積要先求出其底面積，然后再求出其高，之后再利用所學公式進行求解. 但是在這道題目中，底面積容易求出，高卻不好求，因此我們就需要考慮其他方法. 在根據已知條件三組對棱相等，可以聯想到長方體對面不平行的對角線也具有此性質，從而我們可以將三棱錐補成一個長方體，如圖2所示，從而能夠快速地解決問題. 整體的解題思路就是三棱錐P-ABC的體積等于長方體的體積減去4個三棱錐A-BCD的體積，代入相關的數據就可以輕松地求出答案.

這道題目就將三棱錐與長方體巧妙地聯系到了一起，是一道不錯的綜合性題目，教師要為學生多多準備類似的題目進行訓練.

總之，當我們在解決數學問題時，如果能夠仔細觀察問題，找出題目的主要矛盾，在大處著眼把握全局，合理巧妙地利用整體法進行解題，都會起到事半功倍的效果，整體提高學生的數學素養.