多元轉化，妙解數學難題

吳曉英

[摘 要] 高中數學在高考中的重要地位不言而喻，不僅是學生決勝高考的重點科目，同時是學生推理判斷能力和邏輯思維能力養成和鍛煉的載體學科，因此高中生在學習相關數學知識內容的同時需要通過對數學難題的解答培養自己的數學思維能力. 作為一種重要的數學解題思想，多元轉化在學生數學解題中的地位不可小覷，是學生解答數學難題的 “法寶”，高中生要巧妙地用好這一法寶，從而妙解數學難題.

[關鍵詞] 多元轉化；巧妙解題；高中數學

轉化思想在高中數學解題中的一種重要的解題思想，通過對相應題目進行的巧妙轉化的分析，很多看似無從下手的數學難題就迎刃而解了. 多元轉化不僅是一種解題方法，更為學生提供了一種有效的解題理念. 學生通過巧妙應用轉化思想，數學思維能力得到了切實的提升，數學解題思路因此變得更為寬闊. 我們對高考中的數學難題進行細致的分析后發現，許多看似困難的難題其本質其實并不困難，經過巧妙地轉化后解題過程其實并沒有我們想象的復雜.

去偽存真，識得難題本質

轉化思想的實質是對待解答的題目進行綜合的分析和轉化，通過學生對題干認真細致的分析和判斷，將學生看到的表面的形式樣的東西具體細化為數學原理和數學知識點. 進行多元轉化的實質是學生在進行數學解題的過程中練就一雙“火眼金睛”，在對數學難題進行解答的過程中可以做到“去偽存真”，識別數學難題的本質，直中要害，最終達到精準解題的目標.

例如在學習《指數函數的圖象和性質》一章節知識內容的時候，學生可能會遇到類似于比較大小類型的試題，如已知指示函數f（x）=2x，若00，再根據指數函數圖象性質的特點，可以得出2x1>0、2x2-x1-1>0，由此得出f（x2）-f（x1）>0，最終推導出f（x1）

應用常規的數學解題方法對該函數進行解答固然可以算出正確答案，然而運算過程復雜，計算量較大. 因此授課教師在引導學生對類似題目進行解答時可以應用多元轉化的思想將題目進行轉換：已知00時函數的單調性變化，如果我們牢固掌握指數函數的圖象性質并具備對函數的多元轉化能力，那么這道難題也就迎刃而解了.

化繁為簡，優化難題條件

高中數學學習起來之所以比較困難，不僅是因為其解題過程較為復雜，更是由于很多數學難題的解題步驟復雜，運算量極大. 在高考兩個小時的有限時間里，高強度的運算量和高度緊張的精神狀態對學生來說都是較大的挑戰，很多學生因此與名牌大學失之交臂.因此授課教師在對學生進行課程講述時，可以將多元轉化的思想應用到數學難題的解答中，將看似困難復雜的數學題目進行簡化，優化解題條件，最終達到精準化解題的目的.

例如在學習《直線與圓的位置關系》這一章節內容的時候，學生可能會遇到求直線與圓的位置關系的試題. 如：已知直線方程l1：3x+4y-3=0，圓的方程為（x-2）2+（y+3）2=9，問該直線與圓的位置如何？學生在解答該題目時，可能最先想到是直接作圖法，通過對圖形的直觀判斷可以得出最后的結果. 這種常規解題方法雖然可以得出正確的結果，但對圖形的精確度要求極高，需要極其規范的尺規作圖，任何一點小的瑕疵和疏忽都可能導致“謬以千里”. 在高考數學考試中，每一分鐘都顯得十分寶貴，所以更需要學生在解題時有惜時如金的時間意識，如果學生在解題中應用幾何方法進行解題，學生無疑會花費大量的時間在精細化作圖上，為一個問題浪費大量的時間同時，與全局觀念也背道而馳了.

因此授課教師在授課過程中需要逐步引導學生樹立多元轉化的意識，化繁為簡，優化難題條件，尋找解題的最佳方法，最終一舉將難題攻克. 通過對該問題的巧妙轉化，求直線與圓的位置關系可以轉化為求圓心到該直線的距離m，最后比較m與圓的半徑r的關系即可確定直線的與圓的位置關系. 多元轉化不僅大大簡化做題步驟，而且大大減少了運算量，提高了準確率.

放飛思維，拓展難題外延

多元轉化不僅能幫助學生去偽存真，識得難題本質；化繁為簡，優化難題條件.更能在解題中拓寬學生的解題思路，為學生提供更多關于解題的好思路和好想法，使學生能在解題中擺脫傳統思維的禁錮，放飛思維，拓展難題的外延，用最便捷的解題方法進行解題.

例如在學習《二次函數的解》相關章節內容的時候，學生可能會遇到探究含有參數二次函數的解的相關問題. 如已知二次函數y=ax2+3x+3，若已知該函數圖象在x>0的區間內與x軸無交點，求a的取值范圍. 學生在解答該題目時，如果按照常規解題法，可能會無所適從，因為我們在課堂上學習的二次函數中的二次函數項a、一次項b和常數項c都是已知的，因此我們可以很容易地得出二次函數的開口方向、對稱軸、與x軸的交點個數等等，但對其逆過程的推導是學生在課堂不曾學到的，因此使學生逐步具備多元轉化能力，幫助學生逐步突破常規，具備創造性思維就顯得頗為重要.

授課教師不僅應該充當學生知識的傳播者，更應該成為學生創造性思維的引導者. 授課教師應當引導學生對該題目進行分情況討論. 分別對a>0、a=0、a<0這三種情況進行討論，再對每一種情況下的具體圖形進行具體分析，最終就可以得出答案. 通過巧妙應用多元轉化的思想，學生可以通過對題目的練習來培養自己的逆向思維能力和分組討論能力，從而輕松應對各種數學難題.

隨機應變，獨辟難題蹊徑

學生想要在高考數學中取得好成績，除了需要具備扎實的基本功、夜以繼日的勤學苦練外，還需要學生在解題過程中具備些許的“靈氣”. 在此處所謂的“靈氣”就是指學生在解題中需要具備的隨機應變能力. 在大力提倡素質教育的今天，我們摒棄應試教育單純以分數作為評價學生的唯一指標. 我們進行教育的目的是將學生培養成為充滿靈氣的朝氣蓬勃的人，讓他們能在解答數學難題中學會另辟蹊徑，更能在解決生活難題中匠心獨運，輕松解答.

例如在學習《圓與圓位置關系》，學生可能遇到類似如下這樣的問題：已知兩圓的方程分別為（x-2）2+（y+3）2=9、x2+y2=16，那么兩個圓的位置關系如何？通過課堂中對圓的位置關系學習，我們知道圓的位置關系不外乎：相交、相離、外切、內切、包含這幾種情況. 對該題目進行解答時，很多學生會選擇常規作圖的方法，既直觀，又十分契合題意，但其缺點也十分顯著——耗時且對圖形準確度的要求較高.因此在解答該題目時需要學生應用發散性思維能力，突破定式思維對學生思想的禁錮，尋找解答該題目的最佳方案.

授課教師在授課時可以通過課堂中習題的訓練，將兩圓心之間的距離與兩個圓的半徑進行對比，以此來間接求得兩圓之間的位置關系. 通過授課教師的巧妙轉化，幾何問題就轉化為求兩點之間線段長度的問題. 通過這種方式，開辟了一條解題新通路.

作為一種重要的數學解題思想，多元轉化在學生數學解題中的地位不可小覷，是學生解答數學難題的 “法寶”，高中生要巧妙的用好這一法寶. 多元轉化具有：去偽存真，識得難題本質；化繁為簡，優化難題條件；放飛思維，拓展難題外延；隨機應變，獨辟難題蹊徑等特點，我們更應該在學習中巧妙應用，從而為妙解數學難題提供更多思路.