抽象數學中的形象教學思路

張法寬

[摘 要] 抽象的高中數學內容會形成高比例的學困生，在抽象數學中堅持形象教學的思路，可以有效解決學困生問題，可以從面上提升學生有效構建數學知識的有效性. 形象化教學思路的基本過程，就是提供形象化的事例，然后讓學生進行數學抽象，并在變式訓練或問題解決中加以檢驗與評估.

[關鍵詞] 高中數學；抽象數學；形象教學思路；數學抽象

高中數學以抽象著稱，尤其是我國的高中數學教學，其難度世界聞名. 筆者以為，這里所說的“難”，就是指其抽象性. 數學本身就是抽象的，作為生活對象的高度抽象的產物，高中數學所研究的數與形，基本上都是純粹的符號或者圖形，其與生活的聯系是很遠的，尤其是在應試的教學環境中，學生在數學課堂上思維所加工的對象，幾乎全部是抽象的對象. 這使得高中數學難學成為一個公認的說法. 但如果換一個角度，即從教師教學的角度來看，尤其是從構建有效教學的要求來看，高中數學教學似乎又回避不了形象的教學思路. 這樣的判斷實際上是將落腳點落在學生的身上，即從學生構建數學知識的角度來看，一般都需要經歷一個從形象思維到抽象思維的過程，即使數學學習的結果是抽象的，但數學學習的過程卻不能只走抽象之路. 建立這樣的認識，顯然有助于化解學生在高中數學學習中的難度.

2016年第一期的《教育研究與評論》雜志刊登了秦霞老師在2015年江蘇省高中數學青年老師優課觀摩與評選活動中所上的《導數在研究函數中的應用——單調性》一課基礎上形成的《生活中抽象，合作中探究，數學中回歸》一文（以下簡稱“秦文”），以及專家的評析，筆者讀后深受啟發，感覺其與筆者所強調的高中數學教學要走形象教學的思路頗有一致的地方. 也是在該文的啟發之下，筆者本文得以順利形成.

高中數學教學中的形象化思路簡析

形象化的教學思路，顧名思義，就是將抽象的數學學習過程形象化. 要注意的是，這里強調的是過程而不是結果，因為數學學習的最終結果必然是抽象的，否則就脫離了數學的基本特征，這不利于高中階段的學生建立對數學的準確認識. 但是學習過程卻不必是抽象的，無數事實證明，純粹的抽象教學思路（即純粹的數學推理與計算）是不利于學生有效地建構數學知識的，因此對于數學學習過程而言，必要的形象是允許的.

形象化教學思路是對傳統數學教學思路的一種回歸，也是數學發展史的真實寫照. 真正的數學知識的生成過程并不純粹是抽象的結果，很多數學家正是在對形象事物的思考中獲得數學認知的，從畢達哥拉斯研究朋友家的地磚得出勾股定理開始，從牛頓、萊布尼茲等基于實際需要而發明“流數術”（微積分）等，都離不開對具體的事物的研究，然后才是一個數學化的過程. 相比較而言，今天的高中數學似乎從頭到尾都是抽象的數學符號，學生一進入數學課堂，大腦里就只有抽象的數學符號與圖形，這顯然難以讓學生進行有效的數學加工，畢竟高中學生雖然抽象思維能力有所發展，但形象思維依然是他們的思維基礎. 更何況有教育心理學的研究結果表明，當學生在抽象思維中遇到無法解決的困難時，他們還是會試圖通過形象思維去解決問題. 如果學生在數學課堂上沒有發揮形象思維的機會，那就意味著失去了自我化解困難的機會，這對于學困生的形成而言，簡直就是一個天大誘因.

秦霞老師在上“導數在研究函數中的應用——單調性”這一課時，就很好地借助了形象化的教學思路. 正如其在教學思考中所指出的那樣，“借助幾何直觀，通過實例歸納函數的單調性與導數的關系，經歷由形到數的過程”，這樣的論述背后的形象化教學思路是明晰的. 在這里，幾何直觀不是簡單地作為一個普通的概念運用，而是精心設計了“形”之后再引導學生去認識“數”，這是真正的從形象到抽象的教學過程. 也如同鐘志華老師在評析中首先引用的數學家波利亞的話——“抽象的數學道理雖然重要，便要用一切辦法使它們看得見、摸得著”那樣，導數在研究函數中的應用（單調性）這一內容在實踐的過程中，有著真正的看得見、摸得著的形象化過程.

由此可見，在成功的高中數學課堂上，一般都離不開形象化教學思路的影子. 形象化教學思路應當成為高中數學教師在課堂上，尤其是在遇到教學難點時的自然選擇.

高中數學教學形象化思路的實現途徑

那么，在高中數學教學中，如何實現教學的形象化呢？筆者一方面總結自身的教學實踐，另一方面總結他人的研究成果. 經過梳理之后，發現有這樣的幾個切實有效的實現途徑.

1. 途徑一：生活實例的引入

高中數學與生活的關系似乎沒有那么密切，因此在高中數學教學中似乎難以尋找到可以直接使用的生活情境. 很多人都有這樣的認識，筆者以為形成這一認識的背后反映了數學教師在觀察教學內容的時候，缺乏一種生活視角. 在秦文中，其在構建某一曲線上的切線時，巧妙地基于生活實例構建了一個數學思維的加工情境：一輛夜間行駛在弧形山坡上的汽車開著大燈. 于是，學生自然就認識到：弧形山坡相當于一段曲線，而大燈則相當于汽車所在的那一點的切線. 這樣的情境在學生的生活中并不罕見，而基于這一情境去構建切線與曲線的關系，就顯得十分自然. 顯然，這樣的生活實例在此就起到了迅速引導學生入境的作用，是形象化教學思路的重要體現.

2. 途徑二：想象圖景的構建

生活實例更多地帶有生活的意味，因此生活實例是形象化教學思路的重要呈現方式，但與此同時要認識到的是，生活實例實際上是需要適當加工的. 在上面的實例中，實際上教師在呈現圖像的時候，已經進行了初步的加工，只是這樣的加工不影響生活實例的本質特征. 還有一類加工，則有“來源于生活而高于生活”的味道，但其也可以作為形象化教學思路的途徑. 譬如在秦霞老師進一步進行探究的時候，就把剛才的汽車行駛在山坡上的生活實例，借助于幾何畫板抽象成了一根切線在一個圓弧上的圖形. 這個圖像此時呈現給學生可謂是恰到好處，一方面是對剛才生活實例的數學化處理，另一方面又不是純粹的數學意義上的圖像. 因此，這樣的想象圖景的構建，在生活與數學之間搭建了一個很好的認知橋梁，使得學生的思維能夠由生活向數學有效轉化.

3. 途徑三：抽象知識的圖表化處理

形象化教學思路的最為常用的途徑，是將抽象的數學知識及其之間的關系，進行形象化的處理. 筆者在秦文中看到其在基于汽車行駛在弧形山坡上的例子梳理函數y=f（x）的單調性的時候，利用一張簡圖描述了從山坡—曲線—函數，從燈光向上—切線斜率k>0—f ′（x）>0的關系，這樣的圖像看起來簡潔，但又很好地梳理出了函數y=f（x）及其導數f ′（x）的單調關系，從而很好地闡釋了導數在研究函數中的作用.

當然，在高中數學教學中，形象化教學思路的實現途徑遠不止這三個，但歸結起來需要強調的是：形象化的思路一般都是從抽象的數學知識去進行逆向思維的，思考數學知識在實際生活中的存在場合或者應用場合，往往是形象化教學思路的基礎. 當然，學習一些數學史的知識，以從數學發展的歷史中尋找到一些有益素材，也是形象化教學思路形成的基本途徑.

高中數學教學形象化思路的判斷標準

需要強調的是，高中數學教學中形象化教學思路是不是真的起到了形象的作用，這個判斷標準不在于教師的主觀感受，而應當以學生是不是能夠有效地利用形象思維進行數學知識構建為基礎，這也是“以生為本”的教學理念在這一教學細節中的真正落實.

如同秦文中所說的那樣，“導數與函數單調性這兩個概念都是非常抽象的，學生很難直接感知. 利用汽車上下坡時燈光的指向的聯系，可以讓學生進行有效的抽象……”. 由于學生進行了有效的抽象，即將道路抽象成曲線，將燈光抽象成切線，因此這樣的形象化教學思路就是有效的. 反之，如果在實際教學中發現學生難以將教師的形象化事例進行數學抽象，那這樣的形象化教學的初衷就沒有得到實現，需要教師進行更多的細節性處理.

還需要強調的是，教師對學生學習過程的判斷有兩個時段：一是課堂上的即時判斷，即看自己的形象化教學設計有沒有達到預期的目的，學生基于形象事例的數學抽象過程是否順利. 這里特別要強調的是，關注不同層次的學生，切忌以少數優秀學生的思維過程代替對整個班級學生的判斷，否則很容易產生學困生而教師并不知道；另一個就是根據學生在變式訓練或者問題解決過程中的結果進行判斷，變式之后的形象化場景學生能否有效地進行數學抽象，問題解決過程中學生能否用到新知學習時的數學抽象思路，都是判斷形象化教學思路有效程度的重要依據.

綜上所述，高中數學教學中，為了化解知識本身的抽象性，需要進行形象化教學. 只有這樣，才能降低學習難度，從而提升學習效度.