滲透數學模型思想培養學生思維能力

連娟麗（泉州市泉港區山腰中心小學，福建泉港362801）

滲透數學模型思想培養學生思維能力

連娟麗
（泉州市泉港區山腰中心小學，福建泉港362801）

“模型思想”是小學數學教學中要培養的基本的數學思想之一。在小學數學教學過程中教師要通過在新知探究、數學活動和鞏固運用中逐步滲透數學模型思想，使學生感悟“模型思想”方法，培養思維能力，體驗有價值的數學學習過程，增強學生的數學素養。

滲透；模型思想；培養；思維能力

數學模型思想是數學知識的核心內容，更是學生思維發展和終身學習的重要基礎。那么，在小學數學課堂教學中，應怎樣有效、合理地滲透數學模型思想來促進數學思維發展呢？筆者結合日常教學實踐，談一些做法。

一、在探究過程中滲透“模型思想”，發展思維能力

概念、法則、規律及數學問題解決等數學知識的形成過程，都要建立核心要素——數學思維方法，它是數學模型的靈魂。只有設計有效的數學思維訓練活動，引導學生多角度抓住隱含在問題中的數學思想，才能優化問題的解決，發展學生思維水平，建立正確的數學觀，發展和運用數學知識。教學中不但要重視知識技能的結果，更要關注學生進行探究性學習的過程中科學、合理、有效地構建數學模型。

案例：北師版小學數學第八冊《數學好玩--優化》教學“烙餅”片段

1.創設烙餅情境

師：淘氣的媽媽要讓大家嘗嘗她最拿手的烙餅。計劃要烙12張餅。

師：最快烙好12張餅要多長時間？

師：有困難？沒關系，要懂得知難而“退”，從簡單數字入手，尋找其中有沒有規律？

2.探究雙數張餅優化烙法師：就從2張餅開始探究吧！2張餅可以怎樣烙？師：用一雙手當2個餅，桌子當鍋，烙一烙，并算一算花了多長時間？

師：誰愿意上臺演示？（生邊烙邊說第一次3分鐘，第二次3分鐘）

師：2張餅同時烙，只要烙2次，這樣就節省了6分鐘。達到最省時的優化方法，稱它為“2張同時烙”。

師：那4張餅怎么烙？

師：同桌合作，用2雙手當4張餅烙一烙。

師：那么6張餅呢？

師（小結）：當烙餅的個數是雙數時，就2張2張同時烙，這樣花的時間最少。

3.探究單數張餅優化烙法

師：研究完雙數烙餅優化方法，接下來要研究什么？（單數）若烙3張餅，怎樣烙才能盡快烙好？

課件出示要求：

（1）同桌先討論再操作（借助學具袋里的3個小圓片試著烙一烙）。

（2）算一算，所需烙餅的時間？比較哪種方法合理？

（學生動手操作學具活動）

匯報方法（指名上臺演示烙法）：

生1：先2張同時烙，再烙第3張（師板書6+6=12（分））

生2：3張輪流烙，烙三次，需要9分鐘（師板書3+3+ 3=9（分））

3張輪流烙的過程：

師：通過比較，哪種方案更省時？

師：把這種省時的方法叫做“烙3張餅的最佳方法”。

師：請同學們用這種方法再烙一烙，驗證一下鍋里是不是總有2張餅？

師：找到了烙3張餅的最佳方法，那5張餅又有什么省時的方法？

生：先同時烙2張，再運用烙3張餅的最佳方法烙剩下的3張。師：表達的真清楚！烙5張餅可以轉化成“2+3”。師：那烙7張餅呢？

師（小結）：如果烙餅數是單數時，先2張2張地烙，剩下最后3張就可以用烙三張的最佳方法烙，這樣就最省時。

4.探究規律--構建數學模型

師：借助同學們發現的最佳烙餅方法整理在表格上，觀察表格，你發現了什么？

生1：餅數=次數

生2：餅的張數×每面的時間=最少所用的時間

生3：這個規律前提條件必須是鍋最多只能烙2個餅。

（師及時肯定考慮問題完整性。）

師：按照這樣的規律，8張呢？（24分鐘）

師：那現在大家快速告訴老師，烙12張餅最短需要多少時間？（36分鐘）

師：給a個人每人一張餅呢？最短需要多長時間？

上述片段在構建“烙餅”最優化方法的過程中，隱含著與之相伴的多種數學思想方法。一是拋出問題：最快烙好12張餅要多長時間？旨在幫助學生掌握“化繁為簡”的解題方法。二是烙5張餅可以轉化成“2+3”的“轉化”方法。三是先由雙數、單數分開研究，層層推進，符合學生的認知水平；再觀察表格發現規律；最后用發現的規律去解決更多的實際問題，舉一反三，觸類旁通，構建了“烙餅”最優化方法的數學模型。在培養學生的探究意識的同時重視提煉與體驗不同的數學思想方法，可以加快模型的構建，提升了建模的理性高度，優化思維能力，體驗有價值的數學學習過程。

二、在活動體驗中滲透“模型思想”，提升思維能力

數學知識的學習需要學生親身體驗、經歷建構知識點的過程。在數學活動中教師是引導者和組織者，應引導學生利用已有的知識和經驗，經歷“問題情境--建立模型--求解驗證”的數學活動過程。不但符合課程標標準（2011年版）中模型思想的基本要求；而且也有利于學生在活動過程中理解、掌握有關知識與技能，積累數學活動經驗，感悟存在于數學知識中的模型思想方法。這一過程更有利于學生思維能力的提升。［1］

案例：北師版小學數學第五冊《什么是周長》片段教學。教師在學生理解“圍圖形一周”含義的基礎上，要求學生動手操作，使學生聽覺、觸覺、視覺等多種感官協同作用，形成對“周長”的本質屬性的充分感知，為完成對“周長”特征的提取、抽象奠定基礎。

活動一：摸一摸。

師：把手指當作螞蟻也在樹葉上體驗一周，好不好？

（學生邊摸樹葉邊線邊說）

師：誰來摸一摸，這片樹葉的邊線一周是從哪兒到哪兒？（生到黑板前指一周）

師：注意看他從這一點開始，一直沿著邊線指，然后又回到了這一點，他指得對嗎？

生：對。……

活動二：描一描。

師：生活中有很多物體需要描繪在圖紙上，你們能選一種物體也描出它外圍的一周嗎？

（學生描一描活動）

（學生作品展示）

師：說一說，描的時候要注意什么？（沿著外圍、起點回到起點）

師：沿著物體的外圍描一周，留下了一個圖形。（用手勢比劃）樹葉一周的長度是樹葉的周長，數學書封面一周的長度是數學書封面的周長。

師：像這樣物體表面或圖形外圍的一周的長度叫做周長。（板書）

上述教學片段讓學生經歷“摸一摸”“描一描”“概念揭示”的數學活動，充分感知體驗一周，以直觀形象促進對抽象的“周長”認識，符合小學生以形象思維為主的特點，這種經歷“實物表象--模型表象--圖形表象”的教學程序，提升和豐富學生的“一周”表象，建立了清晰的“周長”表象，有效地構建“周長”概念的數學模型。這樣教學抓住事物的本質特征和規律，從感性認識到理性的升華，促使學生思維深度的提升，有效地構建數學模型。［2］

三、在鞏固運用中滲透“模型思想”，拓展思維能力

數學模型來源于生活又應用服務于生活。在鞏固應用時，當學生掌握了基礎知識以及基本的數量關系后，嘗試運用于解決實際問題，又將實際問題轉化為數學問題，達到會一題通一類的效果，構建了數學模型。教師要有針對性選編一些典型的數學問題或生活實際問題，分析解決一種問題的價值不在于這個問題的本身，而在于提升解決這類問題的模型，更重要是拓展學生的思維能力。正如日本數學家米山國藏說過：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益。”［3］

例如：在教學《雞兔同籠》一課，學生探究了“逐一列表法”“跳躍列表法”“取中列表法”“假設法”等數學思維方法，在鞏固運用模型解決問題環節，筆者是這樣設計的。

師：其實類似“雞兔同籠”這種解決問題的方法，在生活中有著廣泛的應用。看，在乒乓球比賽中也有這類的數學問題。

課件出示：9張乒乓球臺上同時有30人正進行單打和雙打乒乓球比賽。進行單打和雙打比賽的球臺各有幾張？（注：單打指2人打，雙打指4個人同時打。）

師：從題目中你知道哪些信息？

師：思考一下：可以把什么看作“雞”，什么看作“兔”？

生：把單打看作“雞”，把雙打看作“兔”。

師：那你能用“雞兔同籠”的方法來解決這個問題嗎？

生1：9張乒乓球臺相當于9個頭，30人可以看成相當于有30只腳，所以用假設法是：9×4=36（人）36-30=6（人）單打球臺6÷（4-2）=3（張）雙打球臺9-3=6（張）

生2：用取中列表法和跳躍列表法，找到單打球臺有3張，雙打球臺有6張。

師：生活中，哪兒還有類似這樣的規律呢？能舉例嗎？……

在鞏固拓展運用中，像求球臺問題、租船問題和搬運問題等，雖然不是明顯的雞兔同籠問題，但是問題本身隱藏著與雞兔同籠問題的聯系。分析當情境故事變化了所得到的數學模型思想是一樣的，即原認知模型不變應數學問題形式變，不斷豐富和拓展，促進對模型的內化，就領悟到了數學模型思想的價值。由解決一個典型的問題，用同樣的數學思路引領相關問題的解決，即無形地滲透一種數學規律的思想。可見，模型思想不能獨立存在，而是結合到具體的數學知識中，讓學生經歷“問題情境--建立模型--解決問題--拓展運用”的學習過程，逐步領悟的，從模糊到清晰的感悟建模過程，拓展數學思維。

［1］王光明.新版課程標準解析與教學指導小學數學［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］趙云峰.培養學生空間觀念的五個策略［J］.小學數學教與學，2010（2）.

［3］錢陽輝.小學數學教學［EB/OL］.［2016-5-20］.http：//www. xxsx.cn/item.aspx？iid=4028.

（責任編輯：陳志華）