巧妙建構(gòu)模型加深數(shù)學(xué)理解

潘麗（松溪縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建松溪353500）

巧妙建構(gòu)模型加深數(shù)學(xué)理解

潘麗
（松溪縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建松溪353500）

模型思想是新版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的10個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以“思想”指稱的概念。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分重視滲透模型化思想，利用合適的素材幫助學(xué)生建立并把握有關(guān)數(shù)學(xué)模型，發(fā)展“模型思想”，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展。

模型思想；建模

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念，也是10個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以“思想”指稱的概念。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)，可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

那么，如何發(fā)展學(xué)生的模型思想呢？

一、選擇合適的問題情境是建模的土壤［1］

數(shù)學(xué)模型的建立要以具體問題為載體，選擇的問題情境要典型、有代表性，充分反映學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的主觀愿望，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)生對(duì)知識(shí)的渴望和追求。教師要積極創(chuàng)設(shè)有效的利于建模的問題情境。在教學(xué)北師大版四年級(jí)上冊(cè)《路程、時(shí)間與速度》一課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)時(shí)，一位教師進(jìn)行了如下處理。

1.第一場(chǎng)比賽

師：咱們班有三位同學(xué)為“誰跑得快”的問題而爭論不休，于是他們?nèi)吮攘艘粓?chǎng)，請(qǐng)看比賽結(jié)果。

師：你們看到了哪些數(shù)學(xué)信息？你是怎么想的？

生1：他們都跑了50米。

生2：陳紹緯跑得最快，因?yàn)樗挥昧?秒。

師：如果路程相同，比快慢可以比時(shí)間。

2.第二場(chǎng)比賽

師：我也加入了他們的比賽，請(qǐng)看

生3：還是陳紹緯跑得快。

生4：（迫不及待地?fù)尨穑╇m然你們都是跑了8秒，可是他跑了50米，你才跑了48米。

師：如果用的時(shí)間相同，比快慢可以看——

生：（異口同聲地）路程。

3.第三場(chǎng)比賽

生5：我發(fā)現(xiàn)李老師和張鋮比賽，時(shí)間和路程都不相同，這怎么比啊？

生6：把他們也變成時(shí)間一樣或路程相同就行了。如果他們都跑了80秒，該教師跑了48×10=480（米），張鋮跑了50×8=400（米），480＞400，所以李老師跑得快。

生7：不用那么麻煩，直接比速度。

李老師：48÷8=6（米）

張鋮：50÷10=5（米）

師：6米表示什么？5米呢？

生7：表示他們1秒跑多遠(yuǎn)。

師：根據(jù)這位同學(xué)列出的算式，你能解讀剛才他說的速度的含義嗎？

……

以上“誰跑得快”的問題情境的設(shè)計(jì)是基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的。李老師巧妙地將不同特點(diǎn)的數(shù)據(jù)蘊(yùn)涵于情境之中，鼓勵(lì)學(xué)生在開放的數(shù)學(xué)活動(dòng)中運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)從多種角度思考問題的解決方法。不僅讓學(xué)生真切地體會(huì)到跑的快慢時(shí)間、路程有關(guān)，更使學(xué)生感受到了路程、時(shí)間都不相同時(shí)，速度產(chǎn)生的必要性。問題的選擇富有生活氣息，符合學(xué)生的興趣愛好和年齡特征，使他們?nèi)硇牡赝度氲綄W(xué)習(xí)中，自然導(dǎo)入了“速度=路程÷時(shí)間”模型的學(xué)習(xí)。

二、抽象本質(zhì)屬性是建模的關(guān)鍵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從具體的表象中抽象出本質(zhì)特征，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。

在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》［2］時(shí)，為讓學(xué)生抽象出分?jǐn)?shù)本質(zhì)，筆者設(shè)計(jì)了以下三個(gè)環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)一：鋪墊

師（課件出示盤子里裝著一個(gè)蛋糕）：羊村長要把一個(gè)蛋糕平均分給四只小羊，每只羊可以分到多少蛋糕？

生1：個(gè)。

師：真好，你是怎么想到這個(gè)分?jǐn)?shù)的？

生1：把一個(gè)蛋糕平均分成4份，每只小羊分到其中的一份，就是這個(gè)蛋糕的。

師（出示課件）：哪幅圖可以表示剛才分蛋糕的情況？說說你的理由？

環(huán)節(jié)二：思辨

師（課件出示用布遮住的第二盤蛋糕）：看著這盤蛋糕，你們猜羊村長會(huì)怎么分呢？

生2：也是平均分成4份，這樣最公平。

師：這個(gè)盤子到底有幾個(gè)蛋糕呢？（出示8個(gè)蛋糕的集合圖）你能幫村長分一分嗎？（生比劃著分。）

師：每只小羊分到這些蛋糕4份中的一份，也就是這些蛋糕的……

生3：。

師：這次分蛋糕的情況還能用剛才這兩幅圖表示嗎？（出示課件）

生1：我認(rèn)為不能，這里有8個(gè)蛋糕，剛才只有1個(gè)蛋糕。

生2：我認(rèn)為能，這個(gè)大長方形表示的是8個(gè)蛋糕，把它平均分成四份，每只小羊分到的是其中的一份。

生3：我也認(rèn)為能。第一次分，大長方形表示一個(gè)蛋糕，第二次分，大長方形表示的是8個(gè)蛋糕組成一個(gè)整體。

師：整體這個(gè)詞用得妙！剛才兩次分的過程，無論是一個(gè)蛋糕，還是8個(gè)蛋糕，只要是把它平均分成4份，其中的1份都是整體的。

環(huán)節(jié)三：提升

（學(xué)生畫圖，展示交流。）

生4：不用這么麻煩，用剛才的圖也能表示12個(gè)蛋糕的。

師：這兩幅圖有這么厲害？

生4：是的，大長方形12個(gè)蛋糕，把它平均分成4份，其中的1份就是整體的。

生5：16、20、24、40……

師：原來整個(gè)圖代表一個(gè)整體，不論整體里有幾個(gè)蛋糕，只要是把它平均分成4份，其中的1份就是它的。

教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了“猜測(cè)—想象—操作”的過程，學(xué)生在不同觀點(diǎn)的碰撞、討論、辨析中，溝通了“一個(gè)物體的幾分之一”與“一些物體的幾分之一”的聯(lián)系，強(qiáng)化了“整體”意識(shí)。剝離掉物體個(gè)數(shù)等非本質(zhì)屬性，抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性，建立了幾分之一的直觀模型，實(shí)現(xiàn)了建模質(zhì)的飛躍。

三、浸潤數(shù)學(xué)思想是建模的靈魂

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，在建模過程中，教師要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生在“潤物細(xì)無聲”中體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想方法，增加建模的思維厚度。教學(xué)人教版二年級(jí)上冊(cè)第八單元“數(shù)學(xué)廣角”第一課時(shí)《簡單的排列組合》［3］，筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類方法進(jìn)行有效推理。

師：懶羊羊到商店買蛋糕，它挑中了一個(gè)香草味的蛋糕，標(biāo)價(jià)是5元。懶羊羊手里有1張5元的紙幣、2張2元的紙幣、5個(gè)1元硬幣。請(qǐng)同學(xué)們幫懶羊羊想一想，可以怎樣付錢？最多有幾種付錢方案？

（學(xué)生交流討論。）

師：指名匯報(bào)并將學(xué)生的付錢方案填入表格中。

師：找全了嗎？

（學(xué)生面露難色不敢肯定。）

師：這樣吧，我們按照每次用的人民幣的種類和張數(shù)排列一下，你們?cè)賮碛^察一下。

（師生一起整理：按順序，依次只付5元、2元和1元的……）

師：現(xiàn)在找全了嗎？

生齊：找全了！

師：為什么這次一下就知道沒有重復(fù)和遺漏呢？

生1：因?yàn)槲覀兪前凑枕樞驅(qū)⑺锌赡苄砸灰涣信e的。

以上教學(xué)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，教師先使學(xué)生感受到無序的雜亂，然后巧妙地將無序轉(zhuǎn)化成有序，使學(xué)生感受到有序的好處。從無序到有序，學(xué)生不僅解決了問題，同時(shí)還感受到有序思想的重要性，學(xué)生的思維逐漸走向深入。

四、解決一類問題是建模的拓展

用新建立的數(shù)學(xué)模型來解釋生活現(xiàn)象，解決生活實(shí)際中的問題。讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，體驗(yàn)到所學(xué)知識(shí)的用途和益處，以此深化模型的內(nèi)涵，拓展模型的外延。

如：鄭玲玲《抽屜原理》教學(xué)片段［4］

師：剛才我們借助抽屜和小球研究了這個(gè)原理，有的國家是用鴿子和鴿籠研究的：7只鴿子飛進(jìn)5個(gè)鴿籠，至少有幾只鴿子要飛進(jìn)同一個(gè)鴿籠？

生1：7÷5=1……2，1+1=2，至少飛進(jìn)2只鴿子。

師：這里的鴿子相當(dāng)于什么？鴿籠呢？

生1：這里的鴿子相當(dāng)于物體，鴿籠相當(dāng)于抽屜。

師：抽屜原理也被人們形象的稱為鴿籠原理。把鴿籠看作抽屜可以叫鴿籠原理，如果把文具盒看作抽屜，可不可以叫文具盒原理？假如有4個(gè)文具盒，5支鉛筆，總有一個(gè)文具盒里有幾支鉛筆？

生2：不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里有2支鉛筆。

師：有口袋嗎？6枚硬幣，4個(gè)口袋，不管怎么放，總有一個(gè)口袋里有幾枚硬幣？

生3：不管怎么放，總有一個(gè)口袋里有2枚硬幣。

師：口袋原理又誕生了，好玩嗎？要按這種叫法，抽屜原理還可以有很多名字。看來，抽屜原理在生活中隨處可見，它其實(shí)就是解決該類問題的一種方法，一個(gè)模型。在解決問題時(shí)關(guān)鍵要看清什么是抽屜，什么是要分的物體。現(xiàn)在你能用抽屜原理來解釋為什么課前老師說30位同學(xué)中至少有8人在同一個(gè)季節(jié)里過生日嗎？

生4：把30位同學(xué)看作待分的物體，四個(gè)季節(jié)看作抽屜，30÷4=7……2，7+1=8，30位同學(xué)中至少有8人在同一個(gè)季節(jié)里過生日。

師：你能再來解釋30位同學(xué)中至少有3人在同一個(gè)月里過生日嗎？

（學(xué)生解釋。）

師：我國宋代的學(xué)者費(fèi)袞在《梁溪漫志》一書中就曾運(yùn)用抽屜原理來批駁過算命。直到十九世紀(jì)德國的狄利克雷才把它抽象成抽屜原理。

數(shù)學(xué)模型來源于生活，還要應(yīng)用到生活中。教師利用抽屜原理模型解釋鴿籠原理、文具盒原理、口袋原理、生日問題等生活中的問題，讓模型更加豐滿具有生命力，同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，滲透了模型思想。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)充分重視滲透模型化思想，利用合適的素材幫助學(xué)生建立并把握有關(guān)數(shù)學(xué)模型。教師要充分認(rèn)識(shí)到模型思想在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的價(jià)值，通過建模教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想方法，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展。

［1］楊豫暉.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀小學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2012.

［2］曹小培.借幾何直觀建分?jǐn)?shù)模型促深透理解［J］.教學(xué)月刊，2013（7-8）.

［3］吳正憲.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略——師生互動(dòng)共同創(chuàng)建有效課堂［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［4］王吉鵬.思想感悟讓數(shù)學(xué)模型更加豐滿［J］.小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2014（4）.

（責(zé)任編輯：陳志華）

本文系2014年度福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究立項(xiàng)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)理論與實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：MJYKT2014-232）階段性研究成果。