提高運算能力增強化歸轉化意識
——對高三解析幾何復習的思考

連亮曦

（龍巖第一中學，福建龍巖364000）

提高運算能力增強化歸轉化意識
——對高三解析幾何復習的思考

連亮曦

（龍巖第一中學，福建龍巖364000）

能否讓學生準確地運算并熟練運用化歸轉化思想，是高三解幾復習教學的關鍵，建立基本計算模型，在解題中積累化歸模型，多角度分析條件和對比解法，關注數形互化，可逐步提升學生計算能力和轉化化歸能力。

解析幾何；高三復習；計算能力；化歸轉化能力；提升策略

每年高考結束，總有一些同學覺得解幾難做，大致有兩個原因：一是計算出錯或不知如何計算；二是不知如何進行化歸轉化，而這恰巧是解幾考查的重要技能。福建省2015年考試說明指出：（1）解析幾何問題著重考查解析幾何的基本思想，利用代數的方法研究幾何問題的基本特點和性質。因此，在解題的過程中計算占了很大的比重，對運算求解能力有較高的要求。（2）解析幾何關注對數形結合、函數與方程、化歸轉化、特殊與一般思想的考查。在2016年全國普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明中也指出：運算求解能力是會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑。在福建省2014年高考19題解幾題中，這幾點的考查就體現的非常明顯，題目如下：已知雙曲線的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x。（1）求雙曲線E的離心率；（2）如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一，四象限），且ΔOAB的面積恒為8，試探究，是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由。

在本題中需要將“ΔOAB的面積恒為8”和“與直線l有且只有一個公共點”這兩個幾何條件轉化為代數關系，通過計算得出直線l方程y=kx+m中k與m的關系，再通過計算判別式Δ，得到結論。又如2014年全國課標1卷20題：已知點A（0，-2），橢圓的離心率為，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點。（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當ΔOPQ的面積最大時，求l的方程.本題同樣需要“ΔOPQ的面積最大”這一關系轉化為代數表達，通過計算得出結論。

可以認為高三解幾復習的關鍵點應在于讓學生能夠熟練進行化歸轉化，正確地進行計算，為此，在高三復習過程中應做到以下幾方面。

1.重視基本計算模型的積累和反思，幫助學生建立解決解幾問題的基本計算思路

福建省2015年考試說明中對解幾部分計算提出，“要根據題目中曲線的特點和相互關系進行，合理利用曲線的定義和性質將計算簡化，講求運算的合理性”。鑒于高三復習在時間上和內容上的特殊性，應幫助學生溫習、重建計算的基本模型。解析幾何的方法使數形結合，把幾何問題化作數、式演算，因而有一定的章程可以遵循。但是，如果不注意解析幾何的基本解法和技巧，會陷入一大堆煩瑣的演算之中，雜亂而沒有頭緒。解題實踐告訴我們，有一些技巧，常常可以取得較好的效果，如：（1）選擇合適的坐標系，選用適當形式的直線、曲線方程；（2）適當利用平幾知識，注意各表達式的幾何意義；（3）注意條件的整體性，采用整體代換策略；（4）設而不求，善于運用韋達定理等代數結論，注意使計算有條不紊，井然有序。

在復習教學中，教師應選擇或改編典型的題目，在解題過程中滲透典型的計算模型，通過題后反思總結提煉出典型的計算技巧，在練習中讓學生鞏固技巧，使學生通過積累、模仿達到對計算的熟練運用。

學生在解決本題中會在為定值的處理中遇到困難，但是教師在解后反思中應強調本題中對A（x1，y1），B（x2，y2）兩點設而不求的解法，利用韋達定理處理（1+k2）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+m2+k2，使學生體會到設而不求的好處。至于為定值的計算處理是本題的副產品，可以分成兩點向學生說明，但不應過于強調為定值的計算處理而忽視了“設而不求”這一處理解幾計算問題的常用技巧。

例2.已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M。（Ⅰ）求點M到拋物線C1的準線的距離；（Ⅱ）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂足于AB，求直線l的方程。

本題通過設過點P的圓C2的切線方程，得到PA，PB的斜率為方程的兩根，簡化降低了計算量，同時利用x0是方程的根達到消元的目的。本題計算技巧獨特，在復習中引導學生反思為何可以這樣處理。通過引導學生思考題目中的特殊條件，反思解法中計算的獨特之處，使得學生能根據題目條件靈活運用計算技巧，降低計算量，提高復習的效率。

2.在解題分析中幫助學生鞏固和提高化歸轉化的能力

解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的，它的核心方法是“坐標法”。在這一過程中體現了由“形”到“數”又回到“形”的轉化過程。解析幾何的核心思想是“數形結合”的思想，在數形結合思想的基礎上將幾何問題轉化為代數問題，同時關注代數式子的幾何本質，體現了化歸轉化的思想，可以說能否通過化歸轉化將題目中的幾何表述轉化為代數表達往往成為能否成功解出題目的關鍵。所以，在高三復習教學中，關注計算的同時，提高學生的化歸轉化能力成了解析幾何復習是否有成效的另一個關鍵點。

（1）通過選擇題、填空題等小題，強化練習，使學生具有知識積累

解析幾何中對于一些關系的轉化有一些通用的做法，對于這一些問題，可以采用小題的模式，能夠節約復習時間，提高復習效率，同時又能使得復習目標明確，使得學生對于下一步在解答題中處理解幾中形數轉化有了知識和技能的積累。

例3.（1）（2013年新課標Ⅱ卷）設拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，||MF=5，若以MF為直徑的圓過點Q（0，2），則C的方程為_____。

在（1）中，將“以MF為直徑的圓過點（0，2）”轉化的左.為，在（2）中注意到直線方程y=3（x+c），得到∠MF1F2=60°，結合條件∠MF1F2=2∠MF2F1，可得∠F1MF2=90°，轉化為。在復習中，從這兩題也可以總結出“垂直可以利用向量進行運算”的常用思路。

在解答題（2）中，通過對條件的多角度分析，對不同解法的對比分析，提高學生的化歸轉化能力。

在解幾題中，同一條件，從不同角度思考，往往會有不同的解法，例如等腰三角形，若利用腰相等條件，就要利用兩點間距離公式；若利用底邊上的高即為底邊上的中線條件，就可以用向量垂直進行運算；若利用底角相等，就需要轉化到三角函數進行運算。在復習中，抓住解幾中圖形的特點，進行等價轉化，從多角度分析問題，培養學生發散性思維，提高學生對圖形的觀察分析能力。

例4.（2010年北京卷理19）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于。（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；（Ⅱ）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

本題考查了利用代數方法研究幾何性質的思想，對學生解題策略的確定和優化解題方法的意識進行了深入的考察，本題方法多樣，特別在第二問中，對“△PAB與△PMN的面積相等”可以有（1）利用不同的三角形面積公式兩個直接做法；（2）利用三角形重心性質的；（3）利用三角形相似；（4）將圖形割補后轉化。（5）從點入手，三角參數形式等多種做法。

（3）關注形到數的轉化過程，同時也要注意到數到形的轉化。

解幾的數形轉化是兩個方面，學生更容易注意到形到數的轉化，在復習教學中，也要讓學生注意到數到形的轉化。在例4（2）中，直線方程藏有幾何條件∠MF1F2=60°和直線過點F1，這里體現了數到形的轉化。只有意識到解析幾何有將代數問題轉化為幾何問題的可能，才會用解析幾何的眼光審視代數式子，有些代數式子，只要用解析幾何眼光去看，一眼看出幾何意義，將其轉化為幾何問題，很快就解決了。

總之，解析幾何復習中，計算和轉化是兩個關鍵過程，在復習中，可以將培養計算能力，提高化歸轉化能力滲透于平時的解題教學，做題訓練中，選擇有代表性的例題、練習，通過分析講解，解后反思提高學生的計算能力和化歸轉化能力，從而提高解幾復習的效果。

［1］福建省教育考試院.2015年普通高等學校招生全國統一考試福建省語文·數學·英語考試說明［S］.福州：福建教育出版社，2015.

［2］教育部考試中心.2016年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明（理科）［S］.北京：高等教育出版社，2015.

［3］張奠宙.沈文選.中學幾何研究［M］.北京：北京高等教育出版社，2008.

（責任編輯：王欽敏）