汽車半主動懸架的非線性動力學分析

宋作軍

淄博職業學院，淄博，255314

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汽車半主動懸架的非線性動力學分析

宋作軍

淄博職業學院，淄博，255314

基于彈簧、減振器及輪胎的非線性方程，運用現代非線性動力學理論，對雙質量塊形式的懸架模型進行了穩定性分析。根據Hurwitz代數判據，使用MATLAB軟件計算得到懸架系統的雙Hopf分岔；依據中心流形理論，將系統降至二維，并利用李雅普諾夫第一運動穩定性定理，判定系統的穩定性。最后，得到簧載質量、非簧載質量的時域響應及相圖，驗證了計算過程及結果的正確性，為半主動懸架系統的設計及控制提供了數據支持。

半主動懸架；Hurwitz行列式；雙Hopf分岔；非線性的；中心流形理論

0　引言

懸架一般由彈性元件、導向機構及減振器等組成。地面變化對汽車的振動及沖擊，一部分被輪胎吸收，但絕大部分依靠輪胎與車身間的懸架裝置來吸收。

懸架分被動懸架、主動懸架和半主動懸架。被動懸架系統的剛度和阻尼是根據經驗或者優化設計的方法確定的，其性能不會根據外界條件的改變而改變，也無法進行人為調節。主動懸架系統是一種剛度和阻尼都能夠根據工況和路面激勵的變化而自行調節到最優狀態的懸架系統。半主動懸架系統是指剛度或阻尼可以根據需要進行控制的懸架系統。

目前，汽車半主動懸架非線性動力學領域的研究，主要集中在智能材料在半主動懸架上的應用方面，其中最具代表性的是磁流變減振器[1-4]。目前，相關文獻對半主動懸架的非線性研究側重于籠統的理論分析，僅說明計算方法及系統仿真，沒有具體車輛的詳細計算及具體結果，不利于系統的進一步研究。本文利用非線性動力學理論，系統分析了汽車半主動懸架的分岔現象，為系統控制研究提供了有力的技術支持。

1　汽車半主動懸架的建模和非線性影響因素分析

1.1汽車半主動懸架的建模

以 1/4 汽車懸架為研究對象，建立兩自由度的振動系統，即彈簧質量塊模型，如圖1所示。圖中，ms、mu分別為簧載質量、非簧載質量；zs、zu、zr分別為簧載質量垂直位移、非簧載質量垂直位移及路面輪廓的垂直位移；fs、fd、ft分別為懸架彈簧的彈力、懸架的阻尼力及車輪的彈力。

圖1　半主動懸架1/4模型

根據牛頓運動定律，建立如下運動方程：

(1)

1.2非線性影響因素分析

影響獨立懸架的非線性因素，主要體現在阻尼非線性、彈簧特性和輪胎特性三個方面。

(1)阻尼非線性方面。減振器的作用是加速車架與車身振動的衰減，改善汽車的行駛平順性。減振器中的活塞隨車架與車橋做往復相對運動，減振器殼體內的油液便反復地從一個內腔通過一些窄小的孔隙流入另一內腔。此時，孔壁與油液間的摩擦及液體分子內摩擦形成振動的阻尼力。減振器阻尼力的大小隨車架與車橋(或車輪)的相對速度的增減而增減，并且與油液的黏度有關。

通過對實際轎車前懸架的測量，數據擬合得到阻尼減振器的非線性模型[5]：

(2)

式中，c1、c2為阻尼系數。

(2)彈簧特性方面。根據文獻[6]，彈簧的彈性力表示為硬彈簧特性，將測量數據擬合得到轎車前懸架的彈簧特性為

fs=k0+k1Δx+k2Δx2+k3Δx3

(3)

Δx=zs-zu

式中，k0～k3為彈性系數。

(3)輪胎特性方面。輪胎的非線性較為復雜，其彈性力可表示為[6]

ft=kt(zr-zu)+ktt(zr-zu)2

(4)

其中，系數kt、ktt隨輪胎充氣壓力、溫度、老化程度、激振頻率的變化而變化，而受充氣壓力的影響比較大。

1.3系統表達式

取狀態變量：

(5)

c1(x2-x4)+c2(x2-x4)2]

綜合以上各式，得到系統表達式：

(6)

2　半主動懸架的Hopf分岔分析

2.1Hopf分岔的代數判據

根據文獻[7]，考慮一般的非線性微分方程(式(6))，系統的孤立平衡點為X=X0(μ)，即f(X0(μ),μ)=0。經過適當的變換，總可以將式(6)的平衡點變換到坐標原點。不失一般性，假設平衡點為坐標原點，設f(X,μ)在點(0,0)的某一鄰域內關于X和μ解析，且當μ屬于包含零在內的某一區間時，f(X,μ)≡0。式(6)在平衡點X=0的Jacobian矩陣為

A(μ)=Dx(0,μ)

(7)

根據經典的Hopf分岔定理知[7]：

λ(μ)=α(μ)+iω(μ)

(8)

(2)A(μ0)的其余n-2個特征根具有負實部。

則式(6)在參數μ=μ0處發生Hopf分岔，即在μ=μ0附近存在周期運動解。

將Jacobian矩陣A(μ)的特征方程det(A(μ)-λI)=0展開得

λn+a1(μ)λn-1+a2(μ)λn-2+…+an(μ)=0

(9)

并將ai(μ)簡記為ai，則由式(9)的系數可構造以下Hurwitz行列式：

(10)

根據參考文獻[8]中的定理1，式(9)有一對純虛根，且其余n-2個根均具有負實部的充分必要條件是a1>0,a2>0,…,ai>0，且Δn-1=0，Δi>0 (i=n-3,n-5,…,1)。

2.2Hopf分岔的數值分析

設系統的平衡點為Xe=(θ,0,0,0)T，式中θ為方程fs=0的實數解。進行坐標平移，得到新坐標X′=(x1-θ，x2，x3，x4)T，平移后的新系統的平衡點為X′=(0，0，0，0)T。分離線性與非線性項得

(11)

(12)

d=k1+2k2θ+3k3θ2

(13)

(14)其中，g(X′,μ)在X0的鄰域內是X的高階無窮小。

常數不會影響動力學系統的行為性質，以下只對含有坐標變量的部分進行分析、變換。

本文用線性系統式研究非線性系統(式(6))臨界分岔位置θ附近以外的穩定性情況。

設A(μ)的特征多項式為如下形式：

λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0

(15)

聯系式(9)、式(12)得

(16)

根據式(10)得

(17)

結合式(16)得

(18)

由各代數式及參數的物理意義知：

由Δ3=0知，kt=0或c1=0。

2.3Hopf分岔點的類型判定

Kim等[9]對“現代Elantra”1992款前懸架進行了SPMD(suspension parameter measurement device)測量，并對數據擬合，得到非線性方程系數如下：k0=-2316.4,k1=12 394 N/m,k2=-73 696 N/m2,k3=3 170 400 N/m3;c1=1385.4 N·s/m,c2=524.28 N·s2/m2。根據試驗數據，當充氣壓力為200 kPa時，某5.60R15子午線輪胎的剛度系數為kt=195 000 N/m,ktt=3 350 000 N/m2；某車結構參數為ms=337 kg，mu=55 kg。以此研究為基礎，將各系數代入式(3)，由fs=0得θ=0.082 74 m，從而得實數解d=65 303 N/m。

將各參數及分岔點系數c1=0代入式(13)、式(14) 得

(19)

(20)

在分岔點處導出算子的特征值、特征向量如下：

(λ1,λ2,λ3,λ4)=

(69.1588i,-69.1588i,11.9852i,-11.9852i)

(21)

即特征值為2對共軛復數，故出現雙Hopf分岔。現以λ3、λ4為例推導。特征值對應的特征向量的實部和虛部構成的變換方陣T如下：

(22)

設X′=TY，由式(11)得到如下方程：

(23)

即：

(24)

其中，hi(y)(i=1,2,3,4)包含y1、y2、y3、y4非線性部分。

根據中心流形定理，設:

(25)

(26)

代入分岔穩定性指標[7]：

(27)解得a=0，此方法無法確定式(11)Hopf分岔性質。

因λ1,2=±69.1588i,λ3,4=±11.9852i，根據李雅普諾夫第一運動穩定性定理，原非線形系統原點的穩定性取決于高次項，原點可能穩定也可能不穩定，為臨界情況。

3　半主動懸架的Hopf分岔仿真

汽車結構的各參數值如前所述，利用MATLAB軟件進行數值仿真。時間歷程選擇[0,5]s，運動參數初始值設為X=(0.08274 m,0,0,0)T。

簧載質量的垂直位移時域響應如圖2所示。當減振器阻尼系數c1=1385.4 N·s/m時，系統做減幅振動，如圖2a所示。當c1=0時，系統做倍周期振動，如圖2b所示。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖2　簧載質量的垂直位移時域響應

非簧載質量的垂直位移時域響應與之相似，如圖3所示。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖3　非簧載質量的垂直位移時域響應

簧載質量的相對位移zs-zu與簧載質量的垂直速度相圖，如圖4所示。當減振器阻尼系數c1=0時，且減振器阻尼系數處于Hopf臨界點時，在初始激勵下，簧載質量的相對位移zs-zu與簧載質量的垂直速度相圖形成一穩定的極限環。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖4　簧載質量的相對位移zs-zu與簧載質量的垂直速度相圖

非簧載質量的相對位移zu-zr與非簧載質量的垂直速度相圖與之相似，如圖5所示。

(a)c1=1385.4 N·s/m

(b)c1=0圖5　非簧載質量的相對位移zu-zr與非簧載質量的垂直速度相圖

圖4b及圖5b顯示，系統出現二周期極限環，與系統雙Hopf分岔分析結果一致。

振動加速度是影響車輛行駛平順性的重要指標之一，通過對簧載質量的垂直位移二次求導即可得到1/4車輛的振動加速度，其仿真圖與圖2相似。由此可見，分析系統的分岔現象并仿真，對于研究車輛的平順性具有重要的參考價值。

4　結語

本文基于汽車半主動懸架系統，在減振器、彈簧及輪胎非線性模型的基礎上，利用Hurwitz代數判據，計算得到Hopf分岔。利用中心流形理論將高維4WS汽車系統降到二維，并通過李雅普諾夫第一運動穩定性定理判定原系統的穩定性。利用MATLAB進行了數值仿真。仿真結果驗證了計算方法的正確性。研究結果為減振器、彈簧及輪胎參數的選擇及懸架的優化控制提供了理論依據，同時為輪胎的氣壓維護及更新提供了數據及方法支持。合理選擇各參數，避免系統Hopf分岔現象的發生，對迅速減小車輛豎直方向的振幅，提高駕乘人員的舒適性，具有明顯的指導意義。

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(編輯郭偉)

Nonlinear Dynamics Analysis of Car Semi-active Suspensions

Song Zuojun

Zibo Vocational Institute, Zibo, Shandong, 255314

Based on the nonlinear equations of spring, damper and tire, modern nonlinear dynamics theory was applied to analyze the stability of a double-mass suspension model. First of all, based on Hurwitz algebraic criterion, the software of MATLAB was used to calculate, and the double Hopf bifurcation of the suspension system was obtained. Second, the system was reduced to two-dimensional in the light of center manifold theory. The stability of the system was determined using Lyapunov theorem of the first movement stability. At last，the time domain responses and the phase diagrams of spring bearing quality and non spring bearing quality were got, which shows that the processes and results are right, the data was provided for design and control of semi-active suspension systems.

semi-active suspension; Hurwitz determinant; double Hopf bifurcation; nonlinear; center manifold theory

2016-06-28

2011年山東科技發展計劃資助項目(0076)

U461.1

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.20.024

宋作軍，男，1966年生。淄博職業學院汽車工程系副教授。研究方向為汽車非線性動力學。