螺旋升降機絲杠螺母副自激振動分析*

李　梅，楊　平，何　波，趙春娟

(電子科技大學 機械電子工程學院，成都　611731)

?

螺旋升降機絲杠螺母副自激振動分析*

李梅，楊平，何波，趙春娟

(電子科技大學 機械電子工程學院，成都611731)

利用Gallina二自由度模型對螺旋升降機在下降過程中發出的異響聲和振動進行研究。指出由于螺旋升降機的慣性矩陣是非對稱矩陣，所以垂向平動和繞鉛垂軸轉動存在非對稱的耦合現象。同時，研究表明慣性矩陣的非對稱性是造成系統自激振動的主要原因，并得出了螺旋升降機動力學穩定性的判定依據。結合某螺旋升降機的參數，利用MathCAD分別得到了摩擦系數、絲杠中徑和軸向載荷對系統穩定性影響的曲線，并提出了避免螺旋升降機自激振動的措施。

螺旋升降機；絲杠螺母副；自激振動

0　引言

螺旋升降機作為一種基礎起重部件，具有結構緊湊、體積小、重量輕、安裝方便、可靠性高和使用壽命長等許多優點，常用于相錯軸間相錯角為900的傳動[1]。在實際工程應用中，螺旋升降機自激振動的例子有很多，但是其動力學特性的研究還一直比較欠缺。自激振動不僅噪音大，還會降低機構工作的可靠性以及損壞機構[2-3]。

某小型毫米波雷達天線升降平臺在調試時發現螺旋升降機在下降的過程中發出異響聲和強烈的振動。本文采用Gallina二自由度模型對螺旋升降機在下降過程中發出的異響聲和振動進行研究。

1　螺旋升降機的運動方程

目前分析絲杠螺母副動力學穩定性較成熟的模型主要是Gallina二自由度模型[4]，如圖1所示。A是沿垂直方向運動的梯形絲杠，B是繞鉛垂軸旋轉的螺母，C是固定在絲杠上的平臺(用于搭載雷達天線及相關儀器)。

圖1　Gallina二自由度模型

根據圖1建立螺母的運動方程：

(1)

式中，m1—螺母的等效質量；

J—螺母的等效轉動慣量；

u—彈性位移；

φ—扭轉角；

kg—扭轉剛度；

kφ—軸向剛度；

P—軸向推力；

T—驅動力矩。

將螺母等效為空心圓柱體，根據材料力學[5]可得：

(2)

式中，E—彈性模量；

G—剪切模量；

A—截面面積；

Ip—極慣性矩。

考慮螺母的扭轉角φ和彈性位移u，絲杠轉角為φf時產生的軸向位移uf為：

uf=φfrtanδ-φrtanδ+u

(3)

式中，δ=arctan(p/2πr)；

p—螺距；

r—絲杠的中徑。

研究軸向推力P和驅動力矩T的關系：

圖2　絲杠螺母副接觸力圖

如圖2所示，在梯形絲杠螺母副中，用單位矢量i和j來定義斜平面，該斜平面是螺紋中徑r處的一部分，螺母作用于絲杠的力如圖中粗線所示。Fns表示單位矢量s垂直于絲杠螺母接觸表面時的力值為Fn。fsgnωrelFnj表示摩擦力， j為絲杠的運動方向[2]。

式中，δ—螺旋升角；

ψn—法向齒形角。

(4)

螺母作用于絲杠的力為：

Fw=Fns+fsgnωrelFnj=

(5)

Fω第一個分量產生螺母作用于絲杠的力矩為：

(6)

Fω第三個分量產生螺母作用于絲杠的垂直力為：

P=-Fn(sx,-fsgnωrelsinδ)

(7)

由式(6)、(7)可得：

T=PrΛ

(8)

f為螺紋處絲杠與螺母相對滑動速度的函數：

(9)

將(9)式簡化為：

(10)

式中，fr—摩擦系數。

當絲杠向上運動時：

(11)

當絲杠向下運動時：

(12)

由于文獻[5-6]證明了螺旋升降機只有在下降時才會發出異響聲和振動，故只分析絲杠下降時的運動情況。

假設絲杠的速度為定值，由絲杠的垂直運動方程得到：

(13)

式中，m2—絲杠的質量；

m3—搭載儀器總質量；

P—螺母作用于絲杠的軸向推力。

對方程(3)求導，可得：

(14)

把式(8)、式(13)和式(14)代入方程(1)，可以得到向量矩陣型運動方程為：

(15)

式中，

方程(15)即為研究螺旋升降機自激振動的數學模型。

2　穩定性判定

由方程(15)可知，螺旋升降機絲杠螺母副的慣性矩陣是非對稱矩陣，所以垂向平動和繞鉛垂軸轉動存在非對稱的慣性耦合現象，這將影響系統運動的穩定性[7]。也就是說，慣性矩陣的非對稱性是造成系統自激振動的主要原因。

由方程(15)可以得到系統的特征方程：

(16)

展開上式，可以得到方程式：

Aλ4+Bλ2+C=0

(17)

式中，A=J(m1+m2+m3)+Λdr2tanδm1(m2+m3)

B=kg[J+Λd(m2+m3)r2tanδ]+kφ(m1+m2+m3)

C=kφkg

系統具有穩定性的充要條件即為方程(17)有根，根據韋達定理有：

(18)

當方程(18)不能同時滿足時，螺旋升降機動力學特性不穩定，發出異響聲和強烈的振動。

3　自激振動的影響參數

以某螺旋升降機為例，其參數為：絲杠的密度ρ=7700kg/m3，長度l=1.5m，牙型角ψn=150，螺距p=8×10-3m，螺母質量m1=0.268kg，螺母的彈性模量E=1.1×1011N/m2，剪切模量G=3.9×1010N/m2。

當螺旋升降機空載時，即m3=0kg，取絲杠中徑r=11×10-3m，研究摩擦系數[9-11]對系統穩定性的影響。把B2-4AC的值作為以摩擦系數fr為變量的函數，用MathCAD[8]計算的曲線如圖3所示。

從圖中可以看出，隨著摩擦系數fr的增大，B2-4AC的值逐漸減小。當fr較小時，B2-4AC﹥0，系統穩定；隨著fr的增大，B2-4AC﹤0，系統發出異響聲和振動。因此，可以通過保證良好的潤滑來避免系統自激振動。

圖3　摩擦系數對系統穩定性的影響

當螺旋升降機空載時，即m3=0kg，取摩擦系數fr=0.3，研究絲杠中徑[9-11]對系統穩定性的影響。把B2-4AC的值作為以絲杠中徑r為變量的函數，用MathCAD[8]計算的曲線如圖4所示。

從圖中可以看出，隨著絲杠半徑r的增大，B2-4AC的值增大。當r較小時，B2-4AC﹤0，系統發出異響聲和振動；隨著r的增大，B2-4AC﹥0，系統穩定。因此，絲杠中徑是保證系統穩定性的重要參數。

圖4　絲杠中徑對系統穩定性的影響

取絲杠中徑r=11×10-3m，摩擦系數fr=0.1，研究軸向載荷[9-11]對系統穩定性的影響。把B2-4AC的值作為以搭載儀器總質量m3為變量的函數，用MathCAD[8]計算的曲線如圖5所示。

從圖中可以看出，隨著搭載儀器總質量m3的增大，B2-4AC的值也在增大。當m3較小時，B2-4AC﹤0，系統發出異響聲和振動；隨著m3的增大，B2-4AC﹥0，系統穩定。因此，可以通過改變搭載儀器總質量來保證系統正常工作。

圖5　軸向載荷對系統穩定性的影響

4　結束語

本文利用Gallina二自由度模型對螺旋升降機在下降過程中發出的異響聲和振動進行研究。指出絲杠螺母副慣性矩陣的非對稱性是造成系統自激振動的主要原因。此外，分別研究了摩擦系數、絲杠中徑和軸向載荷對系統穩定性的影響，并提出了避免螺旋升降機自激振動的相關措施。

[1] 陳慶為，黃國慶，李春，等.蝸輪絲杠升降機優化設計[J].起重運輸機械，2013(6)：55-57.

[2] 張武，高啟坤，楊曉苞，等.絲杠螺母副升降機構動力學穩定性分析[J].火控雷達技術，2011，40(2):76-81.

[3] 萬海波.切削載荷下機床主軸的振動響應分析[J].組合機床與自動化加工技術，2014(4):22-25.

[4] Paolo Gallina. Vibration in screw jack mechanisms: experimental results [J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 282: 1025-1041.

[5] 劉鴻文.材料力學[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6] Polo Gallina，M Giovagnoni. Design of a screw jack mechanism to avoid self-excited vibrations [J]. Journal of Dynamic Systems Measurement and Control, 2002, 124: 147-480.

[7] 丁文鏡.自激振動[M].北京：清華大學出版社，2009.

[8] 宋征，林勇，王保東，等.Mathcad7.0入門及其工程應用[M].北京：人民郵電出版社，1999.

[9] Jaeyoung Kang, Keysun Kim. Squeak noise in lead systems: self-excited vibration of continuous model [J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 328: 3587-3595.

[10] Jaeyoung Kang, Charles M Krousgrill, Farshid Sadeghi. Wave pattern motion and stick-slip limit cycle oscillation of a squealing disc [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 325: 552-564.

[11] A Akay, O Giannini, F Massi, et al. Disc brake squeal characterization through simplified test rigs [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23: 2590-2607.

(編輯趙蓉)

Self-excited Vibration Analysis of Screw-nut Auxiliary Self-excited Vibration Analysis of Screw-nut Auxiliary

LI Mei, YANG Ping, HE Bo, ZHAO Chun-juan

(School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

Research the squeak noise and vibration when screw jack mechanism goes down using Gallina two degrees of freedom model. Point out that vertical translation and rotation around the vertical axis exist asymmetric coupling phenomenon because the inertia matrix of screw jack mechanism is asymmetric matrix. Simultaneously, research show that the asymmetry of inertia matrix is the main reason causing self-excited vibration. And get the stability criteria of trapezoidal screw-nut auxiliary. Combining the parameters of screw jack mechanism and using MathCAD, get the curves of friction coefficient, screw diameter and axial load impacting on system stability. The measures of avoiding self-excited vibration are also put forward.

screw jack mechanism; screw-nut auxiliary; self-excited vibration

1001-2265(2016)04-0056-03DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.04.015

2015-06-01；

2015-07-03

國家自然科學基金項目(51405067)

李梅(1989—)，女，四川德陽人，電子科技大學碩士研究生，研究方向為數字化設計、仿真與制造，(E-mail)605437058@qq.com。

TH132；TG65

A