直齒輪有限元接觸分析與偏差對傳動精度影響*

劉恒山，董惠敏，王德倫，王西偉

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

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直齒輪有限元接觸分析與偏差對傳動精度影響*

劉恒山，董惠敏，王德倫，王西偉

(大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024)

以一對直齒圓柱齒輪為研究對象，建立其誤差齒輪三維有限元接觸精度模型，采用ANSYS分析齒廓偏差及偏心誤差對直齒輪副傳動精度影響。利用APDL語言建立齒輪三維有限元精確接觸模型；以節點移動及齒輪整體移動的方式編程實現誤差齒輪模型。通過求解不同精度等級齒輪副實際嚙合時的傳動精度，得出精度等級對傳動精度的影響呈非線性關系，研究將對精密齒輪的傳動設計提供依據。

齒輪接觸分析；有限元方法；齒廓偏差；偏心誤差；傳動精度

0　引言

自1958年，Harris[1]提出了傳動誤差的概念，并以實驗方法對齒輪幾何誤差、輪齒變形與傳動誤差的關系進行研究以來，許多學者對齒輪的傳動誤差進行了研究，代表性的研究如：P.Velex等[2]分別對齒輪的制造及安裝誤差對齒輪變形和嚙合誤差的影響作了研究并建立較復雜的數學模型；閻樹田[3]分析了齒輪傳動副軸線平行度誤差與傳動誤差之間相互關系；唐進元[4]程友聯[5]提出了傳遞誤差計算的概念模型和力學模型，推導出傳動鏈傳動精度計算式；袁勝萬[6]建立臥式加工中心回轉臺傳動精度模型，計算各誤差影響下的系統精度；李瑰賢[7]林長洪[8]等提出考慮誤差等影響因素的邊界模糊性、利用蒙特卡洛法進行齒輪傳動誤差的計算；朱斌等[9]通過AMADS分析了行星減速器間隙對傳動精度的影響。學者們相繼提出實驗法對齒輪的傳動誤差進行測量, 文獻[10-12]分別對傳動誤差的測量方法和公差以及傳動誤差與齒輪振動和噪聲的關系、齒輪傳動誤差的在線測量技術進行了研究。

現有研究多采用建立復雜的數學模型[2-8]，或實驗方法研究[1,10-12]。有限元方法避免了建立數學模型、節省了實驗時間，但存在網格劃分質量控制不好、未考慮齒廓偏差及偏心誤差、沒有對整個回轉周期內齒輪誤差對傳動精度的影響進行研究等問題。本文運用有限元的方法，使用ANSYS軟件精確建立齒輪的三維參數化模型，對接觸區域局部細化，并把齒廓偏差、偏心誤差嵌入到有限元模型中，分析齒輪副在整個回轉周期內彈性變形、誤差與精度等級對傳動精度的影響規律。

1　三維參數化有限元模型

1.1齒輪接觸有限元模型

為了有效避免幾何模型導入有限元中出現幾何偏差，采用ANSYS有限元分析軟件對齒輪進行建模求解，采用文獻[13]中自上而下的建模方法。

(1)根據漸開線方程和齒條型刀具加工的過渡曲線方程，用Matlab編程生成一系列關鍵點坐標；

(2)通過ANSYS中的APDL語言讀取關鍵點坐標，建立節點；

(3)構建二維平面過渡單位mesh200，形成端面齒廓模型；

(4)拉伸形成八節點六面體solid45等參單元。

以一對齒輪副為例，參數如表1所示，建立的有限元模型如圖1所示。

表1　齒輪副具體參數

圖1　有限元模型及嚙合齒的局部放大

1.2細化輪齒接觸區

由于彈性變形的作用，實際接觸區域為面接觸，接觸面區域大小可由接觸半寬b確定。

(1)

其中，P為齒輪副的傳遞載荷，L為齒寬，ρi為齒輪i接觸處的曲率半徑，di為齒輪i的分度圓直徑，μi為齒輪i材料泊松比，Ei為齒輪i材料彈性模量(i=1,2)。

由于輪齒接觸區的寬度很窄，為了準確地反映接觸區內應力分布情況和后續討論誤差對傳動性能的影響，以接觸線為對稱線的輪齒接觸區網格必須進行細化。

為了提高求解效率并保證計算精度，采用非連續邊界節點自由度耦合的方法進行接觸區的細化[13]。每個齒輪接觸區域的尺寸大于4b×2b時，接觸區域的大小對嚙合節點位移的影響趨于穩定。因此，在輪齒嚙合線位置選取4b×2b區域進行網格細化，既保證了計算精度又減少了計算時間。細化后將新生成的單元節點與周圍單元節點自由度耦合，如圖2所示。

圖2　輪齒接觸區細化

1.3設置嚙合接觸及邊界條件

在齒輪嚙合接觸分析中，僅僅通過接觸來約束剛體的運動時，必須保證在初始幾何體中，接觸對在足夠小的容差內能形成初始的界面約束。由于網格劃分的齒廓幾何逼近精度，接觸單元的積分點與目標單元之間的細小縫隙以及嵌入誤差等因素，不可避免出現初始間隙或初始過盈等問題，因此初始接觸條件的選擇和確定是關系到模型能否求解以及計算是否準確的至關重要的環節。

考慮主動輪直徑小但寬度厚，表面剛度大，將其齒面定義為目標面，選擇TARGE170單元，而從動輪為接觸面，選擇CONTAC174單元，建立如圖3所示接觸對。在ANSYS接觸分析算法中選擇對懲罰剛度系數不敏感的增廣拉格朗日法。考慮齒輪在較好的潤滑環境工作，可以不計齒面間摩擦力，法向懲罰剛度系數KFN適合取1，穿透系數FTOLN取0.1。接觸檢查點采用高斯積分點，齒面上規則且密集的高斯積分點分布有助于形成初始約束，減少迭代次數，提高接觸分析的收斂性。

圖3　接觸對定義

在齒輪軸線齒寬中點處采用mass21單元建立質點的方法，解決solid45單元節點不具有旋轉自由度，不能直接施加轉矩的問題。建立質點，與齒輪孔內表面節點自由度進行耦合，用CERIG命令形成剛性區域。

傳動精度用從動輪轉角誤差表示，在與主動輪輪轂耦合的中心導向節點上施加全約束(見圖4)，與從動輪輪轂耦合的中心導向節點上施加除軸向旋轉之外的其余自由度約束，同時加扭矩260Nm。

圖4　邊界條件設置

1.4誤差齒輪模型

在齒輪副模型中分別嵌入由于刀具的制造和安裝誤差造成的齒廓偏差和由于軸承座孔的位置誤差、滾動軸承與座孔的間隙、滾動軸承的工作變形、傳動軸與軸承內孔的配合間隙、齒輪安裝處軸頸跳動、滾珠軸承內環偏心、齒輪孔與傳動軸之間的配合間隙和相對于傳動軸的偏心等原因造成的齒輪軸線相對于回轉軸線的偏心誤差。根據齒輪的精度等級和誤差分布函數確定嵌入誤差值的大小。

1.4.1嵌入齒廓偏差

在三維建模時，采用在漸開線弧長上取點的方式嵌入偏差，為得到齒廓偏差對轉角誤差的影響規律，假設齒廓偏差沿漸開線方向為正弦分布。

其中，Fα為齒廓偏差值，通過國家標準確定，LAE為漸開線有效長度，sx為齒廓上一點距齒頂點的漸開線弧長，θ0為初始相位角。

(2)

(3)

圖5　齒廓偏差點生成

通過誤差曲線獲得接觸區域內齒廓節點的偏移量，在接觸區的節點建立如圖5所示局部坐標系，在該坐標系下對節點移動相應的偏移量建立含齒廓偏差的有限元模型，此方法也可以對齒距偏差建模。

1.4.2嵌入偏心誤差

假設齒輪2軸心(O2′)相對其理想回轉中心(O2)在一個以O2為圓心，Δa為半徑的圓周上跳動，則實際中心距(O1O2′)與理想中心距(O1O2)之間的差值即為偏心引起的中心距跳動量。如圖6所示。

圖6　偏心誤差造成的中心距跳動

(4)

其中，幅值fa為中心距極限偏差，通過國家標準確定，φ為齒輪的角度，φ0為齒輪相對y軸的初始相位。

在ANSYS的前處理階段，編寫宏命令將齒輪所有節點整體移動相應的誤差量來嵌入齒輪副中心距的跳動量。規定使兩齒輪中心距變小的偏差為負偏差，反之，為正偏差。將齒輪副偏心誤差嵌入到齒輪副模型中，建立誤差齒輪副有限元模型。

2　齒輪副的傳動精度分析

2.1彈性變形對齒輪副傳動精度影響

現引入相位角，表示輪齒在不同時刻的位置變化。規定以主動輪齒頂中點的法線與x軸正向所成的角度來度量齒輪旋轉位置，稱此角度為相位角。表2給出一個嚙合周期內不同嚙合狀態對應的相位角區間。

表2　不同嚙合狀態下相位角區間

為考慮不同嚙合位置的傳動誤差，在每個嚙合區內取6個嚙合位置，即一個嚙合周期內共選取18個嚙合位置，建立齒輪接觸有限元模型和誤差齒輪模型，進行傳動精度分析。見表3。

表3　 齒輪副隨若干嚙合狀態

圖7　彈性變形對轉角誤差的影響

提取從動輪中心導向節點的ROTZ值為此位置的轉角誤差，規定從動輪滯后，產生的轉角誤差為正，反之，轉角誤差為負。沒有偏差的齒輪副轉角誤差主要受齒輪副嚙合剛度的影響，在一個嚙合周期內，嚙合剛度隨單雙齒交替變化，雙齒嚙合區剛度大于單齒嚙合區剛度。輪齒由雙齒嚙合到單齒嚙合再到雙齒嚙合，對應其轉角誤差是先增大再減小，與理論分析相一致，如圖7所示。

2.2誤差齒輪副的傳動精度分析

分別取精度等級IT為4～8級齒輪的齒廓偏差、偏心誤差嵌入齒輪副，分析各誤差對傳動精度的影響規律。

2.2.1 齒廓偏差對傳動精度的影響

如圖8為含齒廓偏差的轉角誤差曲線，剛進入雙齒嚙合區時，右側嚙合區偏差為正值且不斷增大，抵消了輪齒部分由于彈性變形產生的誤差，使轉角誤差變??；將要脫離雙齒嚙合區時，右側齒廓正偏差減小，且左側齒廓為負偏差，綜合作用的結果使轉角誤差變大；進入單齒嚙合區時，齒廓偏差為負，轉角誤差繼續變大，隨著嚙合位置繼續變化，齒廓偏差由負變為正，又抵消了輪齒部分由于彈性變形產生的誤差，減小了轉角誤差。當偏差分布形式相同時，齒廓偏差對轉角誤差的影響呈周期性變化。

圖8　齒廓偏差及彈性變形對轉角誤差的影響

取轉角誤差最大值、最小值對應的相位，對比該相位下4～8級精度齒輪副的轉角誤差值，可得轉角誤差與精度等級的變化并非線性關系，精度等級越低，對轉角誤差的影響越顯著，如圖9。

圖9　不同精度齒廓偏差對轉角誤差的影響

2.2.2偏心誤差對傳動精度的影響

由于偏心造成的中心距跳動量的大小隨齒輪的轉動而變化，取齒輪轉動一周分析偏心誤差對齒輪副轉角誤差的影響。

圖10　偏心誤差對轉角誤差的影響

中心距的跳動量呈余弦形式變化，對應轉角誤差的變化基本呈現正弦規律。前1/4周期內為負偏差，即實際中心距小于理想中心距，且偏差值逐漸減小。由圖10可以看出，在前兩個嚙合周期，偏心誤差量抵消了由于輪齒彈性變形造成的轉角誤差。隨著偏差值逐漸變成正偏差，實際中心距大于理想中心距，齒輪副的轉角誤差增大。

圖11　不同精度齒輪偏心誤差對轉角誤差影響

取轉角誤差最大值、最小值對應的轉角，對比該轉角下4～8級精度齒輪副的轉角誤差量，可得齒輪副精度等級越高，對轉角誤差的影響程度越小，如圖11所示。

綜上分析可見，不管單個齒輪精度如何高，若齒輪、軸、軸承在齒輪箱的安裝精度不高，則對齒輪副、甚至齒輪系統的傳動性能不好。

3　結論

基于ANSYS求解齒輪嚙合的傳動精度，同時在齒輪三維模型中嵌入輪齒誤差，通過嚙合接觸分析求得真實的齒輪嚙合傳動精度。

(1)齒廓偏差降低了齒輪的傳動精度，轉角誤差與精度等級之間呈非線性關系，低于7級精度時，轉角誤差值顯著增大；

(2)偏心誤差對傳動精度的影響更為顯著，同等級精度下，偏心誤差對傳動精度的影響是齒廓偏差的3～7倍，控制偏心誤差可大幅提高傳動精度。

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(編輯趙蓉)

Spur Gear Set FECM and Transmission Accuracy Analysis with Deviation

LIU Heng-shan,DONG Hui-min,WANG De-lun, WANG Xi-wei

(School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China)

A 3D finite element contact model is established in this paper for a spur gear set transmission accuracy analysis.The model is a fine precision one constructed by adopting APDL language, in which the profile deviation and eccentric error can be built-in it through a moving node program. With this model, the gear pair transmission accuracy influenced by the elasticity and profile deviation of gears can be analyzed by means of ANSYS software. The transmission accuracies of the gear pair with different accuracy classes are analyzed. The results show that there is a non-linear relationship between the transmission accuracy and accuracy class of gears. This research will provide a basis for the precision gear transmission design.

gear contact analysis; finite element method; profile deviation; eccentric error; transmission accuracy

1001-2265(2016)04-0005-04DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.04.002

2015-05-20；

2015-05-26

國家自然科學基金資助項目(51375065)；遼寧省科技創新重大專項(201303004)

劉恒山(1989—)，男，山東滕州人，大連理工大學碩士研究生，研究方向為機械設計及理論，(E-mail)h.s.liu@163.com；董惠敏(1958—)，女，河北玉田人，大連理工大學教授，博導，博士，研究方向為齒輪傳動性能分析與數字化設計，(E-mail)donghm@dlut.edu.cn。

TH166;TG659

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