讓數(shù)學(xué)自然地流淌

王曉煒

[摘 要] 數(shù)學(xué)知識(shí)是有限的，然而由其組成的題目卻是無(wú)限的；教師用經(jīng)典題型對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思考能力，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的重要因素. 所以在數(shù)學(xué)的教學(xué)工作中，除了要教會(huì)學(xué)生掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的工作是培養(yǎng)學(xué)生具備更高的知識(shí)遷移能力. 本文就如何通過(guò)經(jīng)典例題實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移這一問(wèn)題進(jìn)行分析，結(jié)合高中數(shù)學(xué)，論述對(duì)學(xué)生知識(shí)遷移能力的培養(yǎng)和學(xué)生思維障礙的解決、創(chuàng)新性思維培養(yǎng)等方面問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；經(jīng)典例題；知識(shí)遷移

教育的目的不是單純將教材上的知識(shí)完完整整地教授給學(xué)生就算完成教學(xué)任務(wù)了，而是培養(yǎng)學(xué)生具備更高的學(xué)習(xí)能力，將學(xué)的知識(shí)能運(yùn)用到新的學(xué)習(xí)中去，甚至在以后的生活和工作中都能得到應(yīng)用；這種能力培養(yǎng)屬于知識(shí)遷移的范疇，在這一培養(yǎng)過(guò)程中，合理的教學(xué)方法不僅可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的目的，同時(shí)能鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新型思維模式，更好地提升學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力. 本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)中經(jīng)典例題的教學(xué)和練習(xí)，來(lái)分析知識(shí)遷移的實(shí)現(xiàn)過(guò)程.

通過(guò)開放性題型練習(xí)，分析知識(shí)的形成

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移能力的培養(yǎng)，首先要加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，注重對(duì)基本概念的教學(xué)，避免學(xué)生養(yǎng)成機(jī)械性學(xué)習(xí)的模式或概念.其次培養(yǎng)學(xué)生形成更高的概括能力，以形成自己的知識(shí)體系，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想有更深入的理解. 對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的教學(xué)與灌輸切不可生搬硬套、牽強(qiáng)附會(huì)，在由淺入深的過(guò)程中，潛移默化地使學(xué)生的思想逐漸有所轉(zhuǎn)變. 再次，要有全局和整體的觀念，注意將已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，便于學(xué)生鞏固和復(fù)習(xí)，比如對(duì)函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)點(diǎn)的思想和性質(zhì)的總結(jié). 最后，提倡學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，對(duì)于復(fù)雜多變的眾多數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成一題多解、一解多題的思維方式.

思維定式是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的關(guān)鍵障礙，學(xué)生需要克服常規(guī)、慣性的思維定式，向靈活多變、一題多解、一解多題的方向去發(fā)展，在這樣的過(guò)程中鍛煉思考能力，開闊思路，更利于知識(shí)遷移的實(shí)現(xiàn). 比如在二次函數(shù)的教學(xué)中，為對(duì)函數(shù)這一概念重點(diǎn)分析講解，采用開放性習(xí)題設(shè)置的方式，對(duì)例題進(jìn)行設(shè)定，選學(xué)生板演.

1. 基礎(chǔ)題型設(shè)計(jì)

首先讓我們來(lái)看一下這樣的常規(guī)題型：已知函數(shù)f（x），滿足f（x）=4x2+5x+6，求f（x）+1.

結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，函數(shù)的基本概念為：非空數(shù)集A中的每個(gè)元素在對(duì)應(yīng)法則f的作用下，在非空數(shù)集B中都有唯一的一個(gè)元素與它相對(duì)應(yīng). 根據(jù)定義結(jié)合已知條件，我們可以很容易知道f（x+1）是f作用下（x+1）中的對(duì)應(yīng)值；所以可以得出f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15.

在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有初步的掌握后，適當(dāng)增加練習(xí)題的難度.

2. 同題型之間的知識(shí)遷移

變式1：已知函數(shù)f（x+1）=x2-4x+7，求f（x）.

很容易想到“配湊法”：可以用配方的形式進(jìn)行配湊f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+12，然后將x+1替換成x；或者可以用“換元法”：如設(shè)x+1=a，則x=a-1. 由此得出：f（a）=（a-1）2-4（a-1）+7=a2-6a+12. 將a用x替換，最終可以得到f（x）=x2-6x+12.

3. 不同題型之間的知識(shí)遷移

變式2：求函數(shù)f（x）=x+的值域.

此題可以選用“換元法”：令t=，建立x與t的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而將函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

變式3：求函數(shù)f（x）=sinx+cosx-sinxcosx-2的最值.

此題通過(guò)同角三角函數(shù)的公式（sinx+cosx）2=1+2sinx·cosx，可以找到sinx+cosx與sinx·cosx的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)換元的方式，令t=sinx+cosx=·sinx+，得到sinx·cosx=，進(jìn)而將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題.

在以上例題的求解中，無(wú)論是用了“配湊法”，還是“換元法”，其實(shí)都是源于學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念中兩個(gè)非空數(shù)集之間“單值對(duì)應(yīng)”的理解與應(yīng)用，在解題過(guò)程中不知不覺(jué)地完成知識(shí)的遷移.所以，我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)該注重基本概念的、基本原理的理解，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的掌握，這樣才能夠讓學(xué)生更容易、更廣泛地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的知識(shí)遷移

數(shù)學(xué)知識(shí)作為一種基礎(chǔ)學(xué)科，在其他學(xué)科中有著廣泛的用途，數(shù)學(xué)王子高斯曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的女王”；伽利略也說(shuō)過(guò)：“只有用數(shù)學(xué)才能參透大自然這本神秘的書籍”，可見數(shù)學(xué)在科學(xué)和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展中所占地位之高.

函數(shù)y=sin（ωx+φ）在電學(xué)、彈簧振子運(yùn)動(dòng)等物理現(xiàn)象中的應(yīng)用，不僅可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與物理跨學(xué)科的知識(shí)的遷移，而且物理中的電學(xué)，彈簧振子運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象又給了三角函數(shù)y=sin（ωx+φ）在一個(gè)形象生動(dòng)的詮釋. 試想一下，如果在數(shù)學(xué)課上多介紹數(shù)學(xué)知識(shí)在各學(xué)科之間的遷移，那我們的課堂還會(huì)枯燥么？讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看待世界，那我們的學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新的能力還會(huì)差么？

生活原理與數(shù)學(xué)知識(shí)的相互遷移

學(xué)以致用是學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，將學(xué)習(xí)的理論知識(shí)在實(shí)際生活中加以運(yùn)用，既是教學(xué)效果的體現(xiàn)，同時(shí)也豐富了學(xué)生的實(shí)際生活. 所以在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)上，不僅要注重理論知識(shí)的講解灌輸，還要注重引導(dǎo)學(xué)生將教材知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活當(dāng)中. 在課堂教學(xué)中引入與當(dāng)下社會(huì)、生活相關(guān)的因素作為習(xí)題，鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力.

為學(xué)生設(shè)置一個(gè)情境，讓學(xué)生根據(jù)已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，通過(guò)多方面、多角度的討論和計(jì)算，選出最合適的方案，比如與三角函數(shù)相關(guān)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)的問(wèn)題. 某小區(qū)共33層，每層高度為3米（如圖1），每棟樓之間的距離為60米；已知冬至當(dāng)天影子長(zhǎng)度最大，如果想要全天都能有良好的采光，買房時(shí)最低要選擇第幾層？

圖1

結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)，這是很典型的三角函數(shù)題；學(xué)生雖然有一定的三角函數(shù)基礎(chǔ)，但真正遇到這樣的題目多少還是有些不知所措，同時(shí)日照的數(shù)據(jù)也受到了當(dāng)?shù)氐募竟?jié)地域關(guān)系的限制，不知道該從哪兒入手解題，所以教師在題目設(shè)定之后，先讓學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)等多個(gè)途徑去尋找數(shù)據(jù). 通過(guò)老師的指導(dǎo)在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，有個(gè)關(guān)鍵的解題難點(diǎn)，即60米的樓間距是前樓高度為多少投射出的陰影？進(jìn)而構(gòu)造解決問(wèn)題的函數(shù)模型如圖2.

圖2

根據(jù)學(xué)生搜集的數(shù)據(jù)可知：冬至當(dāng)天影子長(zhǎng)度最大，又結(jié)合地理知識(shí)可以得出冬至日該小區(qū)的太陽(yáng)高度角為∠EDA，相應(yīng)可以得出前樓的高度為60·tan∠EDA米，進(jìn)而可以得出，滿足全天采光要求需要選擇的99-60·tan∠EDA以上的高度，最終得出最低要購(gòu)買哪一樓層.

經(jīng)過(guò)這樣題型的分析和運(yùn)算，可以將學(xué)生原有的理論知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合，不僅鞏固提升三角函數(shù)的知識(shí)，更是引導(dǎo)學(xué)生形成理論與實(shí)踐相結(jié)合的思想. 長(zhǎng)期累積，可以更好地將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中去，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的目的.

對(duì)提高數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力的幾點(diǎn)建議

提高數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力的有效手段無(wú)疑是結(jié)合經(jīng)典例題，進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，從而起到知識(shí)遷移的作用. 在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)經(jīng)典例題實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，除了上述的兩種開放性題型設(shè)置、理論與現(xiàn)實(shí)結(jié)合的題型設(shè)計(jì)，還有比如聯(lián)想遷移、轉(zhuǎn)化遷移、多解遷移和多變遷移等實(shí)現(xiàn)方式. 因?yàn)閿?shù)學(xué)本身具有較高的復(fù)雜性和多變性，所以為更好地實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的目的，采用多種方式來(lái)加強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，不失為一種有效的手段.

由于數(shù)學(xué)知識(shí)有一定的相似性，所以它們之間存在的遷移可能性較大，聯(lián)想遷移是一種具有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，這一遷移能力建立在一定的邏輯思維基礎(chǔ)之上，教師可以根據(jù)這一特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成舉一反三的學(xué)習(xí)能力. 例如：已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1. 這道源于教材的題目是隸屬于解不等式范疇的題型，解決它的方法有很多.

解法一：根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)以及三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，我們將a與cosα、b與sinα建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即將a2+b2=1轉(zhuǎn)化成cos2α+sin2α=1，同理，將c2+d2=1轉(zhuǎn)化成cos2β+sin2β=1，則ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1，所以ac+bd≤1.

解法二：設(shè)p=（a，b），q=（c，d），則p·q≤p·q，即ac+bd≤·，

所以ac+bd≤1.

在這道題目的求解過(guò)程中無(wú)論是解法一：不等式向三角函數(shù)的遷移；還是解法二：利用向量數(shù)量積的相關(guān)知識(shí)遷移至不等式的證明中. 以上兩種解法顯然較其他解法來(lái)得更為精煉與自然，而這就是數(shù)學(xué)知識(shí)遷移的魅力所在.

寫在最后

總的來(lái)說(shuō)，遷移的實(shí)質(zhì)是概括，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理性認(rèn)識(shí).教師對(duì)經(jīng)典例題的講解、分析，并指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移的關(guān)鍵. 所以教師在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，一定要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行遷移能力培養(yǎng)方法的設(shè)定，對(duì)教學(xué)內(nèi)容做好選擇與整合，引導(dǎo)學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓.

？搖？搖對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)由同一學(xué)科的知識(shí)遷移，到不同學(xué)科的知識(shí)遷移，由理論知識(shí)的學(xué)習(xí)到生活中的應(yīng)用，不僅體現(xiàn)了學(xué)生強(qiáng)化學(xué)科知識(shí)的需要，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的需要，更是數(shù)學(xué)知識(shí)本身教學(xué)的需要. 布魯納指出掌握數(shù)學(xué)思想和方法能使數(shù)學(xué)更容易理解和記憶，領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通往遷移的“光明之路”. 讓我們指導(dǎo)學(xué)生走上這條光明之路，讓數(shù)學(xué)在學(xué)生的思想與生活中自然地流淌！