基于不動(dòng)點(diǎn)求解遞推數(shù)列問題的本源探索

龐梅

[摘 要] 本文首先借用直線y=x從幾何角度對(duì)等差、等比數(shù)列下定義，然后在此基礎(chǔ)上就“不動(dòng)點(diǎn)求解遞推數(shù)列y=x相關(guān)問題”之思維本源做了系列探索，實(shí)現(xiàn)了追根索源，得到了重要結(jié)論，對(duì)遞推數(shù)列的教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用.

[關(guān)鍵詞] 不動(dòng)點(diǎn)；遞推數(shù)列；本源探索

在高中數(shù)列的教學(xué)中常借用不動(dòng)點(diǎn)來求解遞推數(shù)列問題，學(xué)生就其思維本源會(huì)提出許多疑問. 對(duì)此，筆者想以an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+為例就借不動(dòng)點(diǎn)求解遞推數(shù)列問題之思維本源做一些探索，以期能解答學(xué)生的疑惑，啟發(fā)師生對(duì)此類問題的再思考.

用直線y=x定義等差數(shù)列和等比數(shù)列是不動(dòng)點(diǎn)求解遞推數(shù)列問題之奠基石

1. 借用直線y=x定義等差數(shù)列

定義1：由等差數(shù)列遞推式an+1=an+d（n∈N+，常數(shù)d∈R）可知，點(diǎn)P（an，an+1）是分布在直線y=x+d上的一組點(diǎn)，于是借用y=x可得等差數(shù)列的幾何定義：當(dāng)n∈N+時(shí)，如果點(diǎn)（an，an+1）分布在與y=x平行或重合的直線上，則數(shù)列{an}（n∈N+）是等差數(shù)列，其公差d為該直線在y軸上的截距.

2. 借用直線y=x定義等比數(shù)列

定義2：由遞推式an+1=qan（n∈N+常數(shù)q≠0）可知，P（an，an+1）是分布在直線y=qx（q∈R且q≠0）上的一組點(diǎn)，此時(shí)可得等比數(shù)列的幾何定義：當(dāng)n∈N+時(shí)，如果點(diǎn)（an，an+1）是分布在與y=x重合或與之相交于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的直線（不含x軸和y軸）上，則該數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q（q≠0）為該直線的斜率.

3. 提出問題

從上面等差數(shù)列和等比數(shù)列的幾何定義可以看出，當(dāng)P（an，an+1）（n∈N+）分布在直線y=x上時(shí)，數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；當(dāng)P（an，an+1）是分布與直線y=x平行的直線y=x+d（d≠0）上時(shí)，數(shù)列{an}是非等比的等差數(shù)列；當(dāng)P（an，an+1）是分布與y=x相交于坐標(biāo)原點(diǎn)的直線y=qx（q∈R且q≠0，1）上時(shí)，數(shù)列{an}是非等差的等比數(shù)列. 于是我們聯(lián)想到如果一個(gè)遞推數(shù)列抽象出的函數(shù)與y=x有交點(diǎn)，即：該遞推數(shù)列抽象出的函數(shù)如果存在不動(dòng)點(diǎn)，是否可以將這個(gè)遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為與之關(guān)聯(lián)的等比或等差數(shù)列呢？

基于不動(dòng)點(diǎn)求解遞推式an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+相關(guān)問題的本源探索

1. 如果由an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+抽象出的一次分函數(shù)f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)α，β，則該遞推式可變形為與這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的等比數(shù)列.

（1）聯(lián)想尋路：設(shè)一次分函數(shù)f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)α，β，則過P1（α，α），P2（β，β）兩點(diǎn)的直線y=x的方程可變形為：y-α=x-α 或 y-β=x-β或=（x≠α且y≠α）或=（x≠β且y≠β）或=（x≠β且y≠β）等.

在此基礎(chǔ)上根據(jù)和中定義1和定義2聯(lián)想到：

要使一次分函數(shù)y=（c≠0，ad-bc≠0），既要與y=x有聯(lián)系，又要與兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)α，β相關(guān)聯(lián)，于是我們猜想：

f（x）=是否可以轉(zhuǎn)化為：=+d（d為定值，x≠β且y≠β），或轉(zhuǎn)化為：=q· （q≠0，為定值，x≠β且y≠β）型呢？再由P1（α，α），P2（β，β）是y=圖象上的兩個(gè)定點(diǎn)以及f（x）上不同于P1，P2的任意一點(diǎn)P（x，y）這些已知條件構(gòu)造出含有和（x≠β且y≠β），或含有它們倒數(shù)的式子就成了我們當(dāng)前的最近目標(biāo)，然后再步步探證得出結(jié)論的正確性.

（2）探究推證：

①當(dāng)P（x，y）與點(diǎn)P1，P2都不重合時(shí)，證明過程如下：

記直線PP1的斜率為kPP1、直線PP2的斜率為kPP2，

則直線PP1和直線PP2點(diǎn)斜式方程分別為：

y-α=kPP1（x-α）和y-β=kPP2（x-β），

兩式相除得：=·.

猜想：=定值嗎？

下證=定值.

因?yàn)閒（x）有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)α，β，

所以α，β都滿足方程x=，

將α，β分別代入整理得：

cα2+（d-a）α-b=0？圯b-dα=（cα-a）α，

cβ2+（d-a）β-b=0？圯b-dβ=（cβ-a）β.

又因?yàn)镻（x，y）既是直線PP1上的動(dòng)點(diǎn)，又是一次分函數(shù)y=上的動(dòng)點(diǎn)，

所以kPP1===

==

==，

同理可得：kPP2=.

所以===定值，？搖？搖

=·.

②當(dāng)P（x，y）與P1（α，α），P2（β，β）中的某一點(diǎn)重合時(shí)，證明過程如下：

不妨設(shè)點(diǎn)P與P1（α，α）重合，則kPP2=kP1P2==1，

？搖則kPP1=kP1=f′（x）x=α.

？搖？搖？搖？搖？搖？搖由f（x）=？圯f′（x）==.

又因?yàn)閒（x）有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)α，β，

所以α，β是方程cx2+（d-a）x-b=0兩不等根，由韋達(dá)定理得：

所以α+β=-，αβ=-？圯d=a-c（α+β），b=-cαβ.

所以f′（x）x=α==

==，

所以==定值.

當(dāng)P和P2（β，β）重合時(shí)， 同理可得：kPP2=kP2=f′（x）x=β=，

此時(shí)依然有==定值成立.

綜合（1）（2）可知：當(dāng)P1（α，α），P2（β，β）是f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）圖象上的兩個(gè)定點(diǎn)，P（x，y）是f（x）上任意一點(diǎn)時(shí)，一次分函數(shù)f（x）=總可以變形為=，即=·，于是將點(diǎn)（an，an+1）代入上式得：=，即=·.

③重要結(jié)論：當(dāng)一次分函數(shù)f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)α，β，遞推數(shù)列an+1=（c≠0，ad-bc≠0）總可變形為=·，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為=的等比數(shù)列（其中是在令P1（α，α），P2（β，β）且P（x，y）為f（x）上任一點(diǎn)時(shí)，直線PP1和直線PP2的斜率的比值）.

④實(shí)例分析：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=，求an.

解：由an+1=可知：點(diǎn)M（an，an+1）是一次分函數(shù)y=上的點(diǎn)，可求得該函數(shù)y=的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為α=1和β= -2，則可設(shè)該函數(shù)圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)為P1（1，1）和P2（-2，-2）. 設(shè)P（x，y）是函數(shù)y=上任意一點(diǎn)，則由重要結(jié)論知：y=可變形為=·，其中=定值.

可由以下兩種方式求出的值.

方式（1）是利用公式=直接計(jì)算可得==；

方式（2）是由點(diǎn)P（x，y）的任意性，可先選擇其中一個(gè)不同于P1和P2的特殊點(diǎn)P，再計(jì)算出的值，從而求得=. 在此題中不妨取特殊點(diǎn)為P00，，從而求得kP0P1=，kP0P2=，所以==.

于是y=可變形為=·，

將M（an，an+1）點(diǎn)代入得：=·，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以=·=·，

解得an===1+.

2. 如果由an+1=（c≠0，ad-bc≠0）n∈N+抽象出的一次分函數(shù)f（x）=（c≠0，ad-bc≠0）有唯一不動(dòng)點(diǎn)α，則該遞推式可變形為與這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的等差數(shù)列.

（1）聯(lián)想探路： 若f（x）有唯一不動(dòng)點(diǎn)α，則直線y=x過點(diǎn)P1（α，α）的點(diǎn)斜式方程為y-α=x-α，兩邊求倒數(shù)得=，以此聯(lián)想能否將一次分函數(shù)y=轉(zhuǎn)化為=+D（D為定值），或轉(zhuǎn)化為=q·（q為定值）呢？

于是將函數(shù)式y(tǒng)=整理變化成與（x-α）和（y-α）有關(guān)或與它們的倒數(shù)有關(guān)的式子成了當(dāng)前的最近目標(biāo)，然后再步步探證得出結(jié)論的正確性.

（2）探究推證：

？搖？搖由y=？圯y-α=-α？圯

？搖y-α=，

將此式兩邊求倒數(shù)得：==，

猜想：=+D（D為定值）成立嗎？

于是將上式左邊分式的分母化簡(jiǎn)為含有（x-α）的式子就成了我們化簡(jiǎn)整理的方向.

因?yàn)棣潦莄x2+（d-a）x-b=0的唯一解，

所以Δ=（d-a）2+4bc=0，α+α=， ？圯b=-，c=？圯cα=？圯a-cα= ？圯b= -？圯b-dα=-.

于是：

=

=

=2·

=+·.

下證： =1.

因?yàn)閏=？圯α=，

所以===1.

所以=+，此時(shí)：D==常數(shù)，

所以y=？圳=+.

（3）重要結(jié)論：如果由遞推數(shù)列an+1=抽象出來的一次分函數(shù)f（x）=有唯一不動(dòng)點(diǎn)α，則an+1=可變形為=+，從而可推得數(shù)列是首項(xiàng)為且公差D=的等差數(shù)列.？搖？搖？搖

（4）實(shí)例分析：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=，求an.

解：由an+1=可知，點(diǎn)M（an，an+1）是一次分函數(shù)y=上的點(diǎn)，又求得該函數(shù)有唯一不動(dòng)點(diǎn)x=1，則遞推式an+1=可轉(zhuǎn)化為：=+，所以數(shù)列是首相為=1，公差為的等差數(shù)列，所以=1+（n-1），從而求得：an=（n∈N+）.