仿射坐標在高中數學解題中的應用

楊新鵬

[摘 要] 高中階段的幾何題，往往采用的是建立直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題來解決，但是由于直角坐標系的特殊性，并非所有的題目都容易建立直角坐標系，仿射坐標系在建系上比較靈活，而且學生容易掌握.

[關鍵詞] 仿射坐標系；直角坐標系；高中數學解題

高中階段的平面幾何和立體幾何題，往往采用的是建立直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題來解決，但是由于直角坐標系的特殊性，并非所有的題目都容易建立直角坐標系，仿射坐標系在建系上比較容易，而且學生容易掌握. 在某些題中運用仿射標系可以給運算帶來簡便.

仿射坐標系：

平面內任意給定一點O和兩個不共線的向量e1，e2，則任意一個向量都可以表示成e1，e2的線性組合，=xe1+ye2，則把e1，e2稱為平面內的一組基，則有序數組（x，y）稱為m在仿射坐標系[O；e1，e2]中的坐標，類似地可以定義空間中的仿射坐標.

易知：當e1，e2（e1，e2，e3）為兩兩垂直的單位向量時，仿射坐標系變為直角坐標系，仿射坐標系具有以下性質：

（1）？搖仿射坐標系中向量坐標的加減運算、數乘運算、線性表示與直角坐標系保持一致，向量的坐標等于終點坐標減去起點坐標.

（2）？搖在仿射坐標系中共線向量的判別條件與直角坐標系保持一致，即對應坐標成比例.

（3）？搖在仿射坐標系中線段的定比分點公式與直角坐標系保持一致.

證明：向量的運算法則在射影坐標系下保持不變，由向量坐標的運算、共線向量的性質，易知結論（1）（2）（3）成立，由（3）可知，射影坐標系可以解決等分點問題.

例1 在△ABC中，點M，N滿足=2，=，若=x+y，則x=________.

解：如圖2所示，建立仿射坐標系，設

A（0，0），B（b，0），C（0，c），則M0，c，Nb，c，？搖？搖？搖

=b+-c，x=，y=-.

例2 平面內給定兩個向量，已知a=（3，2），b=（2，9），若滿足（a+4b）∥（-3a-kb），則求k的值.

解：因為a=（3，2），b=（2，9）兩向量不共線，所以以a和b為基底的單位向量建立平面方射坐標系，則（a+4b）=（1，4），（-3a-kb）=（-3，-k）.？搖

因為（a+4b）∥（-3a-kb），所以1×（-k）=4×（-3），即k=12.

例3 證明：四面體對棱中點的連線交于一點.？搖

證明：如圖3，四面體A-BCD中，E，F，G，H，M，N為棱的中點，取空間仿射坐標系，則各點坐標分別為： E，0，0，F0，，，G，，0，H0，0，，N0，，0，M，0，.

設EF與GH交于一點O（x，y，z），設=λ1，=λ2，

由定比分點公式可得：x==，y==，

z==.

解得：λ1=λ2=1. 所以O，，. 設EF與MN交于點O′（x′，y′，z′），同理可得O′，，，所以四面體對棱中點的連線交于一點.

（4）仿射坐標系中的直線方程可用兩點式、截距式.

證明：如圖4，在仿射坐標系[O；，]中，設C（x1，y1），D（x2，y2），E（x，y）為直線上任意一點，因為C，D，E三點共線，所以有=λ，即（x-x1，y-y1）=λ（x2-x1，y2-y1），

有x-x1=λ（x2-x1），y-y1=λ（y1-y1），所以=（x2≠x1，y2≠y1），

當（x2=x1，y2=y1）時，方程為x=x1或y=y1，如圖5.

截距式證明與以上類似，如圖6.

例4 證明三角形三邊的中線交于一點.

證明：如圖7在△ABC中，E，F，G分別為三邊的中點，

以A為原點，建立仿射坐標系[A；AB，AC]，

則A（0，0），B（1，0），C（0，1），E，0，F0，，G，，

所以直線AG，BF，CE的方程為：y=x，y=-x+，y=-2x+1.

可以得到AG與BF的交點為：，，BF與CE的交點為，，所以直線AG，BF，CE交于一點.

（5）仿射坐標系下向量的乘法和距離表示.？搖

證明：在仿射坐標系下，設向量a，b的坐標分別為（a1，a2），（b1，b2） ，則a·b=（a1e1+a2e2）·（b1e1+b2e2）

=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2，

同理在空間仿射坐標系下：

a·b=（a1e1+a2e2+a3e3）·（b1e1+b2e2+b3e3）

=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a1b3e1·e3+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2+a2b3e2·e3+a3b1e3·e1+a3b2e3·e2+a3b3e3·e3.

由此可得到向量在仿射坐標系下模表示：a== ，

a== ，

因此有兩點之間的距離公式：=-=（x2-x1，y2-y1），

=，

或

=

在具體的題目中，如果將每組基的模取為1，由a·b=a1b1+a2b2+a3b3+（a1b2+a2b1）cosθ1，2+（a1b3+a3b1）cosθ1，3+（a2b3+a3b2）cosθ3，2

則（1）（2）（3）（4）可以簡化為：？搖

a==？搖（1*）

a==？搖

（2*）

AB=？搖（3*）

AB=

？搖（4*）

易見：當基兩兩垂直，且模為1時，以上表達式與直角坐標系一致. 所以當坐標系不是標準直角坐標系時，只要知道坐標軸之間的夾角，就可以建立仿射坐標系，解決距離、夾角、證明垂直等問題.

例5 三棱錐中A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________.

證明：以C為原點建立仿射坐標系[C；，，]，則C（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，3），B（0，2，0），

所以N（0，1，0），M，0，，=（0，1，-3），=，0，.

由AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，得到cos∠ACD=，

cos∠ACB=，cos∠BCD=，所以由（4*）式：

==2，

==2，

所以cosθ===.

仿射坐標系作為比直角坐標系更一般的坐標系，使用相對靈活，可以簡化一些題目的運算，在高中階段，平面向量的基本定理中已經引入基底的概念，故學生學習仿射坐標的難度不大，學有余力的學生可以學習仿射坐標系，其使用關鍵在于基底的選取，選取恰當的坐標系，可以起到事半功倍的效果.