基于“四基”的高三數學微專題教學設計與反思

邵美珍

[摘 要] 基于高考對“四基”（基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗）的考查，預示著高三復習教學形式應有所變化，微專題教學是高三復習教學的有力補充，對提升學生的“四基”有所幫助.

[關鍵詞] 四基；平面向量；微專題

高中數學教學活動主要是引導學生要學會數學思考，為學生創設會學數學、會用數學的情境. 高三復習時間比較緊張，我們教師要努力爭取在短時間內激發學生學習數學的興趣，調動學生學習的積極性和主動性，提高學生數學思維的參與度. 高三復習課要以提高復習效率，提升學生基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗為目的，最終提升學生數學核心素養. 為便于說明，本文以“平面向量概念及運算”為例，來開展微專題教學. 本教案的設計主要源于課本，近5年的高考、模考卷，以提升學生“四基”為目的.

考情分析與教學目標

1. 研究考題，掌握考情

平面向量的概念及運算是近幾年高考和模考試題中常考的內容，在江蘇省近5年高考題中，每年都考1-2題，2011年第10題，2012年第9、15題，2013年第10、15題，2014年第12題，2015年第6題.本節主要從向量的概念、幾何表示法、向量的加減法、實數與向量的積、坐標運算等基礎知識入手，難度不大，多以低、中檔題為主，高考考綱主要是B級要求.

2. 明確目標，突出能力

從知識層面上，通過本課教學使學生熟練掌握平面向量的知識點，回歸課本，引導學生熟練掌握向量的加減法，向量的坐標運算等問題.從知識結構上，通過不斷改變問題情境，培養學生的觀察分析、數形結合、拓展延伸能力，總結解決平面向量問題的通性通法，以點帶面，促進學生構建知識網絡. 從培養學生能力的角度上，通過題目內在的聯系，培養學生抽象概括、數形結合、轉化化歸的數學思想以及應用數學知識解決問題的能力.

教學設計

1. 課前熱身，自主學習

（1）給出下列五個命題：①a2=a2；②=；③（a·b）2=a2·b2；

④（a-b）2=a2-2a·b+b2；⑤若a·b=0，則a=0或b=0. 其中正確的是①④.

（2）（教材P80例5改編）設向量a=（m，1），b=（1，m），若a與b共線且方向相反，則m= -1 .

（3）（2015江蘇高考）已知向量a=（2，1），b=（1，-2），若ma+nb=（9，-8）（m，n∈R），則m-n的值為 -3 .

（4）等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC=2，D是斜邊BC上一點，則·（+）= 4 .

設計意圖與教學設想：問題（1）通過自主學習，掌握向量的概念及運算律，向量不滿足消去律、結合律，兩向量數量積為0的充要條件是兩向量垂直或兩向量中至少有一向量為零向量；問題（2）復習了兩向量平行的充要條件，a∥b？圳？堝λ∈R，a=λb？圳x1y2=x2y1，兩種方法都可以，要學會靈活運用；問題（3）是常規的向量計算；問題（4）是向量的數形結合，主要考了向量的加法法則、平行四邊形法則. 預設題型教學時間為10分鐘左右，讓學生交流解題方法，總結易錯點和結論，教師根據學生的回答，進行適時點撥以達到真正理解和掌握基本知識的目的.

2. 經典陳題，合作探索

例1（教材P82-8改編） 已知=（1，2），=（2-m，1-m），若∥，則實數m= 3 .

解：因為∥，所以1·（1-m）=2·（2-m），解得m=3.

變式1：若A，B，C三點共線，則實數m=3.

變式2：若∠BAC為銳角，則實數m的取值范圍為m<.

變式3：若∠BAC為鈍角，則實數m的取值范圍為m>且m≠3.

變式4：若△ABC為直角三角形，則實數m=-，，1，.

設計意圖與教學設想：本題的設計意圖主要是讓學生熟練掌握兩向量平行的充要條件；變式1通過三點共線轉化為兩向量共線的問題，變式2、變式3對于兩向量夾角是鈍角（銳角）的情況要轉化為a·b<0或（a·b>0）且a不平行于b進行處理；變式3要注意分類討論∠A，∠B，∠C為90°.

例2 （2014高三調研一）在△ABC中，BO是AC上的中線，=2，若∥，且=+λ（λ∈R），則實數λ的值為.

圖1

解法1：因為=+=+=+（-）

=+=+，

=-=+（λ-1）.

又因為∥，所以λ-1=，即λ=.

解法2：不妨設=m，則有

=+=+m=+m（+）

=+m+=+m-

=+m-·（+）

=+m-·（+-）

=+.

又=+λ，所以=，從而m=，所以λ==.

設計意圖與教學設想：本題考查向量的基本知識點，屬于中檔題，做此類向量題目時，唯一的標準是通過向量的運算法則將未知的向量向已知的向量靠攏.

變式1：（2014江蘇高考）在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·= 22 .

圖2

說明：解法1，突破口是把，通過向量的運算法則轉化為已知的，；解法2，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，A（0，0），B（8，0），設D（a，t），通過坐標運算來解決.

變式2：在等腰三角形ABC中，底邊BC=2，=，=，若·= -，則·=-.

圖3

說明：以BC為x軸，BC的中點為原點建立直角坐標系，B（-1，0），C（1，0），設A（0，y），通過坐標運算求解.

3. 課堂反饋，動手實踐

（1）設向量a=（1，2），b=（2，3），若向量λa+b與向量c=（-4，-7）共線，則λ= 2 .

（2）（2013年江蘇高考）設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=·AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2為實數），則λ1+λ2的值為.

（3）（教材P97習題9改編）設e1，e2是兩個不共線的向量，=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，若A，B，D三點共線，則k=-8.？搖

（4）（2015高三調研一）在平行四邊形ABCD中，E為DC的中點，AE與BD交于點M，AB=，AD=1，且·=-，則·=.

圖4

設計意圖與教學設想：課堂的及時反饋，是教師掌握學生課堂學習效果與質量的重要環節，設計的幾個題型圍繞例題展開，目的在于，一方面讓學生感受高考題，熟悉其設計思路，另一方面，希望學生在實踐活動的基礎上，及時總結歸納，反思得失.

4. 復習鞏固，課后反思

（1）已知向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A，B，C三點共線，則k=11或-2.

（2）（教材P82）設向量a=（2，1），b=（1，x），若（2a+b）∥a+b，則x=.

（3）已知a=（2，1）與b=（1，2），要使a+tb最小，則實數t的值為-.

（4）（教材P89改編）設a=（x，3），b=（2，-1），若a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是x<且x≠-6.

（5）（2013遼寧高考）已知點A（1，3），B（4，-1），則與向量同方向的單位向量為，-.

（6）（2015蘇州高三期末）在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60°，點D，E分別在邊AB，AC上，且=2，=3，F為DE的中點，則·的值為 4 .

圖5

設計意圖與教學設想：設計高考、模考題型的訓練，幫助學生及時鞏固所學知識，體會考點要求，查漏補缺.

小結與反思

小結：向量是數學中比較重要和基本的概念之一，它是溝通代數、三角函數和幾何的一種重要工具，有著極其豐富的實際操作背景. 向量的概念比較抽象，理論性強，解題方法也比較獨特，現把向量的運算做如下歸納：

（1）代數運算：向量的加減法運算，向量的數乘運算，向量的數量積運算；

（2）幾何運算：數形結合的基本思想，是解決問題的基本方法.重點是三角形法則、平行四邊形法則，利用這些法則能很好地解決向量中的幾何運算問題，充分體現了數形結合的數學思想；

（3）坐標運算：向量的坐標運算是連接幾何與代數運算的橋梁，通過坐標運算的“解析法”來解決解析幾何及立體幾何中的實際問題.

反思：在解決平面向量問題時，要熟練掌握向量加、減法的運算、向量數乘的運算，兩向量的平行、垂直、坐標運算，能夠將向量的運算律和實數的運算律進行比較；借助數形結合的思想方法，把抽象的問題轉化為形象具體的問題.通過對向量運算的操作性練習，發展學生的運算能力，感受向量與代數、幾何之間的聯系，體會它們之間的聯系，認識向量的科學價值、應用價值和文化價值.

總之，在準備高三復習課時，我們要以核心素養觀為指導，以提升學生“四基”為基礎設計教學，要更多地把關注點放在知識的回顧、鞏固、再學習和再認識上，放在學習策略、思維方法和探索途徑上. 讓學生走出題海戰術，更多地倡導啟發式、討論式、探究式、參與式教學，激發學生的好奇心和學習的興趣，為學生營造獨立思考、自主探究、勇于創新的良好環境，讓學生學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，從而提高高三復習效率，提升學生數學素養.