一類具有細胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染動力學模型的穩定性分析

李梁晨，徐　瑞

(軍械工程學院基礎部,河北石家莊　050003)

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一類具有細胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染動力學模型的穩定性分析

李梁晨，徐瑞

(軍械工程學院基礎部,河北石家莊050003)

為了了解病毒在人體內的感染、受制、清除等動力學過程，研究一類具有細胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染動力學模型，證明當病毒的基本再生率大于1時，模型存在唯一的病毒感染穩態解。通過分析相應特征方程討論了可行穩態解的局部穩定性，在構造Lyapunov泛函和應用LaSalle不變集原理的基礎上，證明了當基本再生率小于1時，病毒未感染穩態解是全局漸近穩定的；當基本再生率大于1時，病毒感染穩態解是全局漸近穩定的。

穩定性理論；細胞感染年齡；飽和感染率；Lyapunov泛函；LaSalle不變集原理

傳染病是威脅人類生存、發展的重要因素之一。近年來，很多學者開始從微觀角度對傳染病的流行條件進行研究[1]，為此他們建立了一系列描述人體內感染過程的病毒感染動力學模型，這些模型關注于染病個體體內的疾病動力學過程。通過研究病毒感染動力學模型，可以了解病毒在人體內的感染、復制(繁衍)、清除等動力學過程，為臨床制定合理的治療方案提供理論依據。

1996年NOWAK等[2]提出了病毒感染動力學的基本模型。受其啟發，在文獻[2]中模型的基礎上，許多學者進行了擴展性的研究，對基于不同病毒的具體感染特征提出了大量的數學模型[3-7]。在這些模型中，被感染細胞的死亡率和產生病毒的速率都被設為了常數。然而，文獻[8—9]通過實驗證明，被感染細胞的死亡率和產生病毒的速率是隨著細胞的感染年齡(健康細胞被感染后的時長)而改變的。因此，文獻[10]提出并研究了如下具有細胞感染年齡的HIV感染模型：

(1)

其中：x(t),v(t)分別表示t時刻健康T細胞的密度和細胞外具有感染性的病毒的密度；a為細胞的感染年齡；y(a,t)表示在t時刻感染年齡為a的染病T細胞的密度；s,d,u,β均為正常數，s為健康T細胞的產生率，d為健康T細胞的死亡率，u為病毒的死亡率；βx(t)v(t)為雙線性感染率；δ(a),k(a)分別表示感染年齡為a的染病T細胞的死亡率和產生病毒的速率。

在模型(1)中，感染項是據濃度原理[11]建立的雙線性形式的感染率βx(t)v(t)：每個健康T細胞與每個病毒之間在單位時間內發生感染的概率為常數。而文獻[12—13]中的實驗表明，病毒感染細胞時的感染率通常是一個關于病毒濃度的增函數，并且函數曲線通常是S型的，如在文獻[3]中，作者使用了一種飽和發生率βxv/(1+αv)，文獻[4]提出了病毒動力學模型中更一般化的飽和感染率βxvq/(1+αvp)。

筆者研究一類具有細胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染模型：

(2)

模型(2)的邊界條件為

y(0,t)=x(t)f(v(t)),

(3)

初始條件為

x(0)=xs>0，y(a,0)=ys(a)≥0,v(0)=vs>0,

(4)

基于生物學意義，假設f(v(t))滿足以下條件：

f(0)=0,f′(v(t))>0,f″(v(t))≤0,

(5)

為使模型符合實際，進一步假設：

H1) a≥0,s>0,d>0,u>0 ；

H2)當a≥0時，δ(a)是有界的，且對于某個正常數δmin，δ(a)>δmin恒成立；

H3) k(a)是有界的，且被感染細胞存在一個極限年齡a+，使得當0

不難證明，模型(2)在邊界條件(3)和初始條件(4)下有唯一的非負解。

1　基本再生率與穩態解

顯然，模型(2)總存在一個未感染穩態解E0(x0,0,0)，其中x0=s/d。

使用文獻[14]中介紹的下一代矩陣方法，通過計算可以得到病毒的基本再生率的表達式為

如果模型(2)存在病毒感染穩態解E*(x*,y*(a),v*)，則它必滿足下列方程組：

(6)

從式(6)的第2和第4個方程解得：

y*(a)=x*f(v*)e-∫a0δ(ε)dε,

(7)

將式(7)代入式(6)的第3個方程可得：

(8)

因此，若模型(2)存在病毒感染穩態解，則以下方程組有正根。

(9)

定理1當R0>1時，模型(2)存在唯一的病毒感染穩態解E*。

證明考慮方程組(9)正根的存在性問題。若x*為正，方程組(9)等價于

(10)

令

計算可得：

由拉格朗日中值定理可知，在(0,v)上至少存在1點ξ，使得：

2　局部穩定性

定理2當R0<1時，模型(2)的未感染穩態解E0是局部漸近穩定的。

證明將模型(2)在E0處線性化并引入擾動變量：

得到:

(11)

求式(11)滿足下列形式：

(12)

的非平凡解。

將式(12)代入式(11)可得：

(13)

從式(13)的第2和第4個方程解得：

(14)

將式(14)代入式(13)的第3個方程，整理可得模型(2)在E0處的特征方程：

(15)

下面用反正法證明，當R0<1時，方程(15)的根都具有負實部。

假設方程(15)存在一個根λ1，滿足Re(λ1)≥0。則：

顯然，這與R0<1矛盾。因此，當R0<1時，方程(15)的根都具有負實部，E0是局部漸近穩定的。

定理3當R0>1時，模型(2)的病毒感染穩態解E*是局部漸近穩定的。

證明將模型(2)在E*處線性化并引入擾動變量：

x2(t)=x(t)-x*,y2(a,t)=y(a,t)-y*(a),v2(t)=v(t)-v*,

得到：

(16)

求式(16)滿足下列形式：

(17)

的非平凡解。

將式(17)代入式(16)可得：

(18)

從式(18)的第2和第4個方程解得：

(19)

從式(18)的第1個方程可以得到:

(λ+d+f(v*))c3=-f′(v*)x*c4，

(20)

將式(19)和式(20)代入式(18)的第3個方程，得到模型(2)在E*處的特征方程：

(21)

當R0>1時，由拉格朗日中值定理和條件(5)可得：

下面用反證法證明，當R0>1時，方程(21)的根都具有負實部。

假設方程(21)存在1個根λ1，滿足Re(λ1)≥0，則：

顯然，這是矛盾的。因此，當R0>1時，方程(21)的根都具有負實部，E*是局部漸近穩定的。

3　全局穩定性

筆者通過構造適當的Lyapunov泛函并應用LaSalle不變集原理來研究模型(2)的可行穩態解的全局穩定性。

定理4當R0<1時，模型(2)的未感染穩態解E0是全局漸近穩定的。

證明記

(22)

顯然，在條件H2)和條件H3)下p(a)是有界的。p(a)的導數為

p′(a)=δ(a)p(a)-k(a),

(23)

構造Lyapunov泛函：

顯然，V1(t)是非負的，且在E0處取得最小值0。沿著模型(2)的解對V1(t)求全導數可得：

(24)

使用分部積分法可以得到：

(25)

將式(25)代入式(24)可得：

(26)

當v(t)=0時，

當v(t)>0時，

由拉格朗日中值定理和條件(5)可知，存在ξ∈(0,v(t))，使得：

定理5當R0>1時，模型(2)的病毒感染穩態解E*是全局漸近穩定的。

證明構造Lyapunov泛函：

其中p(a)如式(22)中所定義。

顯然，V1(t)是非負的，且在E*處取得最小值0。沿著模型(2)的解對V2(t)求全導數可得：

(27)

由

和

可得：

使用分部積分法得到：

(28)

在式(28)中：

(29)

由式(28)和式(29)推出：

(30)

將式(30)代入式(27)，整理可得：

/

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Stability analysis of a viral infection dynamics model with infection age of cells and general saturated infection rate

LI Liangchen, XU Rui

(Basic Courses Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang，Hebei 050003, China)

In order to understand the viral dynamics processes inclucding infection, duplicate, eliminate, etc. in human body, a viral infection model with infection age of cells and general saturated infection rate is investigated. It is proved that the model has a unique infected steady state when the basic reproduction ratio is greater than one unity. By analyzing the characteristic of relevant equations, the local stability of effective steady state is dislussed. By using suitable Lyapunov functional and LaSalle’s invariance principle, it is proved that when the basic reproduction ratio is less than one unity, the infection-free steady state is globally asymptotically stable; and when the basic reproduction ratio is greater than one unity, the infected steady state is globally asymptotically stable.

stability theory; infection age of cells; saturation infection rate; Lyapunov functional; LaSalle’s invariance principle

1008-1542(2016)04-0349-08

10.7535/hbkd.2016yx04006

2015-12-09；

2016-04-19；責任編輯：張軍

國家自然科學基金(11371368)

李梁晨(1990—)，男，河北唐山人，碩士研究生，主要從事微分方程與動力系統方面的研究。

E-mail：llc610@126.com

O175MSC(2010)主題分類：34N05

A

李梁晨，徐瑞.一類具有細胞感染年齡和一般飽和感染率的病毒感染動力學模型的穩定性分析[J].河北科技大學學報,2016,37(4):349-356.

LI Liangchen, XU Rui.Stability analysis of a viral infection dynamics model with infection age of cells and general saturated infection rate[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(4):349-356.