一類多點共振方程組邊值問題正解的存在性

江衛華，楊彩霞

(河北科技大學理學院，河北石家莊　050018)

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一類多點共振方程組邊值問題正解的存在性

江衛華，楊彩霞

(河北科技大學理學院，河北石家莊050018)

求解共振微分方程邊值問題解的存在性比較困難，要得到共振微分方程邊值問題的正解更加困難。針對研究領域中這一問題，著重研究了一類多點共振微分方程組邊值問題正解的存在性。在前人研究成果的基礎上，選取的不同的算子，將方程擴展為方程組。通過在合適的空間中定義恰當的范數使之成為Bananch空間，利用O'Regan和Zima所研究出來的范數形式的Leggett-Williams定理，對非線性項做出合理的假設條件，得到了共振微分方程組邊值問題正解的存在性定理。

常微分方程其他學科；邊值問題；共振；正解；方程組

本文研究多點共振微分方程組邊值問題：

(1)

正解的存在性。

對邊值問題解和正解的研究已經取得了大量的研究成果[1-6]。特別是共振邊值問題一直以來受到廣泛關注，并且已經取得了很多成果[7-14]。文獻[14]利用范數形式的Leggett-Williams定理給出了如下共振多點邊值問題：

(2)

受上述文獻啟發，本文研究多點共振微分方程組邊值問題(1)正解的存在性。

1　預備知識

本文所使用的一些預備知識如下，詳細可參見文獻[14]。

設X,Y是Banach空間，L:domL?X→Y為指數為零的Fredholm算子，即ImL是閉集且dimKerL=codimImL<∞。此時存在連續投影算子P:X→X,Q:Y→Y使得ImP=KerL,KerQ=ImL。又dimImQ=codimImL，因此存在同構J:ImQ→KerL，若限制L在KerP∩domL上，記為LP，則它的逆算子存在，記為KP:ImL→KerP∩domL。方程Lx=Nx等價于x=(P+JQN)x+KP(1-Q)Nx。

引理1[14]設C為X中一個錐，則對每個u∈C{θ}，存在一個正數σ(u)使得‖x+u‖≥σ(u)‖x‖，對?x∈C。

令γ：X→C為保核收縮，即γ為一連續映射，且γx=x,x∈C。并記Ψ:=P+JQN+KP(I-Q)N和Ψγ:=Ψ°γ。

1°在X的任意有界子集上，QN:X→Y連續有界，KP(I-Q)N:X→X是緊的；

2°對任何x∈?Ω2∩domL,λ∈(0,1),Lx≠λNx；

4°dB([I-(P+JQN)γ]|Ker L，KerL∩Ω2,0)≠0,其中dB代表Brouwer度；

5°存在u0∈C{0}使得當x∈C(u0)∩?Ω1，有‖x‖≤σ(u0)‖Ψx‖成立，其中C(u0)={x∈C:μu0?x}，μ為某些大于0的數，并且σ(u0)滿足對?x∈C不等式‖x+u0‖≥σ(u0)‖x‖都成立；

6° (P+JQN)γ(?Ω2)?C；

2　主要結論

定義算子L:domL?X→Y,L(u,v)=(L1u,L2v)=(-u″(t),-v″(t)),t∈[0,1],

其中，

domL=domL1×domL2,

定義N:X→Y為N(u,v)=(N1(u,v)，N2(u,v)),其中N1(u,v)=f(t,u(t),v(t))，N2(u,v)=g(t,u(t),v(t))，t∈[0,1]。那么邊值問題(1)等價于L(u,v)=N(u,v)。顯然，KerL={(u,v)∈domL:(u(t),v(t))=(c1,c2),t∈[0,1],c1,c2∈R}。

定義函數G(s),H(s),s∈[0,1]：

顯然，0≤G(s)≤1,0≤H(s)≤1,s∈[0,1]。

定義函數U1(t,s),U2(t,s)如下：

定義正數：

定理2連續函數f:[0,1]×R×R→R與g:[0,1]×R×R→R滿足以下條件。

假設存在R∈(0,+∞)，使得

H1)f(t,u,v)>-κ1u,g(t,u,v)>-κ2v,f(t,u,v)U1(t,s)≥-u,g(t,u,v)U2(t,s)≥-v,其中(u,v)∈[0,R]×[0,R],t,s∈[0,1]。

H2)f(t,R,v(t))<0,t∈[0,1],0≤v(t)≤R,v(t)∈C[0,1],g(t,u(t),R)<0,t∈[0,1],0≤u(t)≤R,u(t)∈C[0,1]。

則共振邊值問題(1)至少有1組正解。

(3)

(4)

顯然有ImP=KerL，P2(u,v)=P(u,v)且X=KerP⊕KerL。

由式(4)知:

Q2(y1,y2)=Q(y1,y2)且Y=ImL⊕ImQ,

dimImQ=dimKerL即dimKerL=codimImL。

故L是指數為0的Fredholm算子。

接下來將證明L|dom L∩Ker P的逆KP,KP:ImL→domL∩KerP，

其中：

通過計算有，LPKP=I。因此，LP的逆算子是KP。

定義錐C和有界集Ω1,Ω2如下：

C={(u,v)∈X:u(t)≥0,v(t)≥0,t∈[0,1]},

Ω1={(u,v)∈X:M1‖u‖<|u(t)|

Ω2={(u,v)∈X:‖u‖

因此有:

‖QN(u,v)‖=max{‖Q1N1(u,v)‖,‖Q2N2(u,v)‖}=

所以QN:X→Y有界。又QN:X→Y連續，故QN:X→Y連續有界。

綜上分析有KP(I-Q)N:X→X是緊的。這說明定理1的條件1°成立。

假設存在(u0,v0)∈C∩?Ω2∩domL及λ0∈(0,1)使得L(u0,v0)=λ0N(u0,v0),即

u″0(t)+λ0f(t,u0(t),v0(t))=0,v″0(t)+λ0g(t,u0(t),v0(t))=0,t∈[0,1]。

設存在t1,t2∈[0,1]使得u0(t1)=R或者v0(t2)=R。

如果u0(t1)=R,有0≥u″0(t1)=-λ0f(t1,u0(t1),v0(t1))=-λ0f(t,R,v0(t1))。

如果v0(t2)=R,有0≥v″0(t2)=-λ0g(t2,u0(t2),v0(t2))=-λ0g(t2,u0(t2),R)

與條件H2)矛盾。所以條件2°成立。

定義Hλ:KerL∩Ω2→R,λ∈[0,1]如下：

Hλ(c1,c2)=(I-λ(P+JQN)γ)(c1,c2):=

(H1(c1,c2,λ),H2(c1,c2,λ))=

其中:ci∈[-R,R]；λ∈[0,1]。

假設H1(c1,c2,λ)=0,H2(c1,c2,λ)=0。由條件H1)有：

因此H1(c1,c2,λ)=0意味著c1≥0以及H2(c1,c2,λ)=0意味著c2≥0。此外，有H1(R,c2,λ)≠0,或者H2(c1,R,λ)≠0。

事實上，

這與條件H2)矛盾。對(c1,c2)∈?Ω2∩KerL,λ∈[0，1]有Hλ(c1,c2)≠(0,0)，

因此，有：

dB([I-(P+JQN)γ]Ker L,KerL∩Ω2,0)=

dB(H1(c1,c2),KerL∩Ω2,0)=

dB(H1(c1,c2),KerL∩Ω2,0)=

dB(I,KerL∩Ω2,0)=

1≠0。

因此4°成立。

設

其中:

對(u,v)∈?Ω2，有:

由于

所以，有(P+JQN)γ(?Ω2)?C。因此定理1中的條件6°，7°成立。

取(u(t0),v(t0))≡(1,1),t∈[0,1]和σ(u0,v0)=1，有

(u0,v0)∈C{0,0}, C(u0,v0)={(u,v)∈C:u(t)>0,v(t)>0,t∈[0,1]}。

設(u,v)∈C(u0,v0)∩?Ω1,有M1‖u‖≤u(t)≤r,M2‖v‖≤v(t)≤r,t∈[0,1]。

對(u,v)∈C(u0,v0)∩?Ω1，如果‖u‖=r有

M1‖u‖+(1-M1)‖u‖=‖u‖。

因此，有‖Ψ(u,v)‖=max{|Ψ1(u,v),Ψ2(u,v)|}≥max{‖u‖,‖v‖}=‖(u,v)‖。所以對所有(u,v)∈C(u0,v0)∩?Ω1，有‖(u,v)‖≤σ(u0,v0)‖Ψ(u,v)‖。定理1的條件5°成立。

3　例　子

考慮如下共振邊值問題：

(5)

且

2)f(t,R,v(t))<0,t∈[0,1],0≤v(t)≤R,v(t)∈C[0,1],

g(t,u(t),R)<0,t∈[0,1],0≤u(t)≤R,u(t)∈C[0,1] 。

因此滿足定理2的所有條件。因此共振問題(5)至少有1組正解。

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Existenceofpositivesolutionsformulti-pointresonancesystemsofdifferentialequationswithboundaryvalueconditions

JIANGWeihua，YANGCaixia

(SchoolofScience,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang，Hebei050018,China)

Itisdifficulttostudytheexistenceofsolutionsforboundaryvalueproblemsofdifferentialequationsatresonance,moreover,togetpositivesolutionsofboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsatresonanceismoredifficult.Toresearchthisproblem,theexistenceofpositivesolutionsforacoupleofdifferentequationswithmulti-pointboundaryvalueconditionsatresonanceisstudied.Onthebasisofpreviousresearches,choosingadifferentoperator,theequationisextendedtoacoupleofdifferentequations.BydefiningthecorrectnormintheproductspaceswhichbecomeBanachspaces,andusingtheLeggett-Williamsnorm-typetheoremduetoO'ReganandZima,thenonlineartermsatisfiesreasonableassumptions,andtheexistenceofpositivesolutionsforacoupledofdifferentequationswithmulti-pointboundaryvalueconditionsatresonanceisobtained.

otherdisciplinesofordinarydifferentialequation;boundaryvalueproblem;resonance;positivesolution;differentialequation

1008-1542(2016)04-0340-09

10.7535/hbkd.2016yx04005

2016-01-26；

2016-04-26；責任編輯：張軍

國家自然科學基金(11171088);河北省自然科學基金(A2013208108)

江衛華(1964—)，女，河北邯鄲人，教授，博士，主要從事應用泛函分析、常微分方程邊值問題方面的研究。

E-mail:jiangweihua64@163.com

O175MSC(2010)主題分類：34B18

A

江衛華，楊彩霞.一類多點共振方程組邊值問題正解的存在性[J].河北科技大學學報,2016,37(4):340-348.

JIANGWeihua，YANGCaixia.Existenceofpositivesolutionsformulti-pointresonancesystemsofdifferentialequationswithboundaryvalueconditions[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):340-348.