正規權Bloch空間到QT,S空間的積分型算子

古勇毅，袁文俊，孟凡寧

(廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州　510006)

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正規權Bloch空間到QT,S空間的積分型算子

古勇毅，袁文俊，孟凡寧

(廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州510006)

算子理論是解析函數空間理論研究的重要內容，為了尋找通過探討聯立算子與函數空間的方法研究算子以及函數空間的有效途徑，假設φ為單位圓盤Δ上的一個解析自映射，正規權Bloch空間μ-B是單位圓盤Δ上的一個Banach空間，定義Cφ∶Cφ(f)=f°φ為μ-B上的復合算子，對所有的f∈μ-B，并由積分算子以及復合算子推廣得到積分型算子JhCφ和CφJh，主要討論了正規權Bloch空間到QT,S空間的積分型算子JhCφ的有界性和緊性，以及正規權Bloch空間到QT,S空間的積分型算子CφJh的有界性，并給出了相關的充要條件。

函數空間；正規權Bloch空間;QT,S空間; 積分型算子; 有界性; 緊性

1　預備知識

當h(ξ)=z時，可得(CφJhf)(z)=(JhCφf)(z)=f(φ(z))=f°φ，即為復合算子。積分型算子的相關研究可參見文獻[8—13]。

定義4[19]QT,S空間與小QT,S空間分別定義為

當s=2時，QT,2=QT；當取T(r)=rp(0

本文中的C表示一個正常數，并且在不同地方可以表示不同的值。

2　主要結果

引理2μ-B到QT,S的積分型算子JhCφ是緊算子當且僅當μ-B中的序列{fn}滿足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的緊子集上一致收斂于零,則JhCφfn在QT,S中收斂到零。

證明由Montel定理和緊算子的定義容易證得。

定理1設0

(1)

證明充分性。

對任意的f∈μ-B有，

由于式(1)成立，則可得JhCφ:μ-B→QT,S有界。

必要性。

設JhCφ:μ-B→QT,S有界，且由引理1可得：

故式(1)成立。證畢。

定理2設0

①JhCφ:μ-B→QT,S,0有界；

②JhCφ:μ-B→QT,S,0緊；

證明②?①顯然成立。

①?③的證明，由引理1得：

故結論③成立。

③?②的證明，由類似定理1的充分性證明可知，當③成立,若f∈μ-B則JhCφf∈QT,S,0,故要證JhCφ:μ-B→QT,S,0緊，只需證JhCφ:μ-B→QT,S緊，而由引理2，任取μ-B中的序列{fn}滿足‖fn‖μ-B≤1且{fn}在Δ的緊子集上一致收斂于零，只需證明‖JhCφ(fn)‖QT,S→0，n→∞。

由結論③成立，?γ:0<γ<1，使得：

(2)

設a∈Δ,0k},令

(3)

故結論②成立。證畢。

定理3設0

(4)

證明充分性。

設式(4)成立，則對?f∈μ-B有：

由式(4)成立，可得CφJh:μ-B→QT,S有界。

必要性。

若CφJh:μ-B→QT,S是有界的，則對所有的f∈μ-B，有CφJh(f)∈QT,S，由引理1有：

則式(4)成立。證畢。

3　結　論

積分型算子由積分算子和復合算子推廣得到，研究正規權Bloch空間到QT,S空間之間的積分型算子是有意義的。本文給出了正規權Bloch空間到QT,S空間的積分型算子JhCφ的有界性和緊性成立的充分必要條件，以及CφJh的有界性成立的充分必要條件。

/< class="emphasis_italic">References

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IntegraltypeoperatorsfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces

GUYongyi,YUANWenjun,MENGFanning

(SchoolofMathematicsandInformationScience,GuangzhouUniversity,Guangzhou,Guangdong510006,China)

Operatortheoryisanimportantresearchcontentoftheanalyticfunctionspacetheory.Thediscussionofsimultaneousoperatorandfunctionspaceisaneffectivewaytostudyoperatorandfunctionspace.AssumingthatφisananalyticselfmapontheunitdiskΔ,andthenormalweightedblochspaceμ-BisaBanachspaceontheunitdiskΔ,definingacompositionoperatorCφ∶Cφ(f)=f°φonμ-Bforallf∈μ-B,integraltypeoperatorJhCφandCφJharegeneralizedbyintegraloperatorandcompositionoperator.TheboundenessandcompactnessoftheintegraltypeoperatorJhCφactingfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspacesarediscussed,aswellastheboundenessoftheintegraltypeoperatorsCφJhactingfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces.Therelatedsufficientandnecessaryconditionsaregiven.

functionspace;normalweightedBlochspaces; QT,Sspaces;integraltypeoperator;boundedness;compactness

1008-1542(2016)04-0335-05

10.7535/hbkd.2016yx04004

2015-12-13；

2016-04-18；責任編輯：張軍

國家自然科學基金(11271090)；教育部留學回國人員科研啟動基金(教外司留[2015]1098號)；廣東省自然科學基金(2015A030313346)

古勇毅(1985—)，男，廣東清遠人，博士研究生，主要從事復分析等方面的研究。

孟凡寧博士。E-mail:mfnfdbx@163.com

O174.5;O177.2MSC(2010)主題分類：47B38

A

古勇毅，袁文俊，孟凡寧.正規權Bloch空間到QT,S空間的積分型算子[J].河北科技大學學報,2016,37(4):335-339.

GUYongyi,YUANWenjun,MENGFanning.IntegraltypeoperatorsfromnormalweightedBlochspacestoQT,Sspaces[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(4):335-339.