數形結合成伴侶相互吸取新活力

冉夢君

摘 要：本文抓住數與形兩者之間的辯證關系，從“以數輔形”、“以形助數”兩個方面，例談在教學中如何培養學生的數形結合思想，讓學生切實體會到數形結合思想在數學解題中的地位和作用，進而使學生能夠真正理解和掌握數形結合這種解題方法。

關鍵詞：數形結合；以數輔形；以形助數

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，更是數學發展中的一條主線。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，他們在一定條件下可以相互轉化，這個相互轉化稱之為數形結合。由于代數本身缺乏直觀性，幾何本身缺乏嚴密性，所以，只有將二者有機地結合起來，互相取長補短，才能突破思維的限制，加快數學的發展。正如法國數學家拉格朗日所指出的“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”。因此，探討數形結合一直是數學教育的熱門話題，但對于變化多端的題材，千姿百態的學生，永無完美的教法，這都有待我們數學教育工作者不斷認識、研究、開發。回顧歷年高考數學試題，數形結合思想內容占有很大的比重，筆者通過分析、研討數形結合試題在高考試題中的變化規律，結合學生解題能力的實際情況，從數形結合的本質入手，將數形結合思想和方法滲透融合在解題教學中，實現方法與內容的整合，收到良好效果。

作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡述形的某些屬性，即“以數輔形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即“以形助數”，現就從所述兩個方面例談在解題教學中如何教會學生掌握數形結合思想方法。

一、以數輔形

以數輔形就是根據幾何圖形的特征，建立直角坐標系，構造出與之相應的代數方程或函數解析式，運用代數方法研究幾何問題。“以數輔形”的途徑大體有三種：一是函數法，二是向量法，三是解析法。

1.函數法：凡涉及到函數圖像與解析式或函數圖像間的關系問題時，常采用“以數輔形”的途徑，此時的“數”一般是指函數的性質或解析式。這類問題在歷年高考題中常考常新，其破題思路是：根據函數圖像，判斷函數解析式或者圖像時，要從函數的定義域、單調性、奇偶性、對稱性、正負性、變換趨勢、特殊點等性質入手。把函數圖形的性質問題轉化為數量關系的問題去研究。

2.解析法：在用“以數輔形”的途徑處理平面幾何、立體幾何問題時，“以數輔形”中的“數”一般也是指建立坐標系。尤其是在處理立體幾何與平面解析幾何知識交匯問題時，只有通過建立空間直角坐標系來實現形數的轉化。

例1.已知正方體的棱長為1，點P是平面ABCD內的動點，若點P到直線的距離等于點P到直線CD的距離，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）

A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.直線

【解析】以A為原點，AB為x軸、AD為y軸，建立平面直角坐標系.設P（x，y），作PE⊥AD于E、PE⊥A1D1于F，連結EF，易知=+=+1又作PN⊥CD于N，則—PN—‖—1-y—.依題意—PE—‖—PN—，即=，化簡得，所以動點P的軌跡所在的曲線為雙曲線，選擇B.

【點評】“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，軌跡問題更是如此，從幾何角度不好入手時，可以嘗試從代數的角度，利用解析法求解出相應軌跡，不失為此類問題解決的好方法.

二、以形助數

當求解有關數式問題無從著手之際，應嘗試圖形直觀性質的分析，即以形助數，或許能茅塞頓開，發現解題的捷徑。以形助數就是根據數學問題中“數”的結構，構造出與之相應的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規律來研究解決問題，這樣可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內在聯系，同時借助幾何直觀審題，還可以避免一些復雜的數字討論。“以形助數”中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型；若無形，則可另行構造或聯想。因此“以形助數”的途徑大體有三種：一是運用圖形；二是構造圖形；三是借助于代數式的幾何意義。

1.運用圖形法：在解決某些含參不等式（或方程）問題時，可以將問題轉化為運用兩個函數圖像的位置關系來解決。

例2.已知不等式--<0在上恒成立，則的取值范圍是

【解析】原不等式可變形為-<，令=-，=，則問題就轉化為當時，要求的取值范圍使得函數的圖像總在函數的圖像下方，作出兩個函數圖像，由圖像知：，且-即，綜上，。

【點評】本題將抽象函數轉化為圖形語言，直觀，容易獲得結果。數形結合是處理不等式恒成立求參數取值范圍的得力工具，其基本步驟為：首先將不等式變形為兩個函數值大小的比較形式，再作出函數圖像.

2.構造圖形法：在研究方程問題時，常通過構造函數圖像來解決。在近幾屆高三復習教學中我都選用了2006年高考湖北卷理科數學第10題作為例子，從代數、幾何兩個角度對比分析其解法，備受學生青睞的是構造圖形法。

例3.關于的方程-+=0，給出下列四個命題：

①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根；

其中假命題的個數是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

解析略

3.借助于代數式的幾何意義命題，也類見不鮮，如2014年上海六校聯考題：若點P（x，y）在動點所在軌跡上，則的取值范圍是。顯然點M的軌跡是圓心在，半徑為1的圓，用數形結合思想發現的幾何意義為圓上一點P與原點所在直線的斜率，易得所求范圍。

數形結合的數學思想方法，不僅是幾何問題用代數方法思考，或是代數（或三角）問題由圖形去思考，而是密切聯系、相互滲透的統一整體。根據解決問題的需要，可以先把數量關系的問題轉化為圖形的性質和特征去研究，再把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題去研究，通過這種數形相互滲透，可使復雜問題簡單化，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。作為教師，我們應該在教學的過程中貫穿這些重要的數學思想方法，盡可能多的訓練有關數學解題能力的相關知識，拓展學生的視野，完善自身的數學理論體系，在數學教學過程中不斷提高學生的綜合素質能力。

（作者單位：重慶市奉節中學）