淺析數(shù)列求和方法

邢辰

摘 要：數(shù)列求和作為數(shù)列知識體系中的重要內(nèi)容，對于提高邏輯思維水平以及解題能力具有重要意義。數(shù)列不只有等差數(shù)列以及等比數(shù)列，絕大多數(shù)的數(shù)列求和并不能直接套用公式。針對此種情形，特歸結(jié)倒序相加、錯位相減、直接求和、裂項相消以及分組轉(zhuǎn)化五類方法，本文的研究成果將為簡化數(shù)列求和、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供有益幫助。

關(guān)鍵詞：倒序；錯位；直接；裂項；分組轉(zhuǎn)化

一、倒序相加法

二、錯位相減法

錯位相減法不僅是進行等比數(shù)列推導(dǎo)前n項和公式時常用的重要方法，同時也是求通項公式為等差的一次函數(shù)乘以等比數(shù)列形式的和的重要方法，即錯位相減法適用于數(shù)列{an·bn}的前n項和的求解，其中{an}、{bn}分別為等差與等比數(shù)列。一般地，在已知的和式的兩邊同時乘以此數(shù)列組成中的等比數(shù)列的公比，之后將這個構(gòu)造的新和式減去原來的求和式子，這樣便可以輕松化為一個同倍數(shù)的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式便可以求得原數(shù)列各項的總和，該種方法便稱為錯位相減法。

三、直接求和法

如果題目中給出的數(shù)列為已經(jīng)學(xué)過的等差數(shù)列或者等比數(shù)列，那么求和過程就會變得簡單得多，我們可以直接采取求和公式來解決問題。具體公式形式總結(jié)如下：

四、裂項相消求和法

裂項相消求和法就是將已經(jīng)得到的數(shù)列通項拆成兩項之差，然后對其分別求和，通過令一些正負項相互抵消，便可以獲得該數(shù)列的前n項和轉(zhuǎn)變?yōu)槭孜踩舾身椀暮停@利用了分解與組合思想。一般地，通項分解形式常見的有如下幾種類型：

裂項相消的變形目的是將原數(shù)列的每一項拆分為兩項之后，根據(jù)余下項前后位置前后對稱或者余下項前后正負性相反的特點將中間大部分的項相互抵消，只剩下有限幾項，從而使得求和問題獲得簡易求解。

五、分組轉(zhuǎn)化求和法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，那么要想求此數(shù)列的和便需要采用一種新的方法，即分組轉(zhuǎn)化求和法。其是將數(shù)列的每一項分成兩項或者將數(shù)列的各項進行重新組合，使其向等差數(shù)列或者等比數(shù)列轉(zhuǎn)化的有效方法。

六、結(jié)語

總而言之，在解決數(shù)列求和問題上，需要將重點放在數(shù)列通項公式的表達形式上，根據(jù)通項公式形式特點，采取適宜方法是解決此類題型的關(guān)鍵。一般地，如果是等差、等比數(shù)列，那么其求和便可以直接利用公式求解。而對于不是等差或者等比數(shù)列的一般數(shù)列而言，其求和主要有兩種思路：第一，利用錯位相消或者分組求和使一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或者等比數(shù)列。第二，借助裂項相消等方法將不能向等差或者等比的數(shù)列進行特殊求和。只有記住每一種類型的求和方法，在題目中多加積累，才能為之后數(shù)列知識體系的完善奠定堅實基礎(chǔ)。

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（作者單位：鄭州市第四中學(xué)分校，鄭州市京廣實驗學(xué)校）