對置換群教學的新處理

杜海霞　潘燕玲

摘要：討論在教學中處理置換群的一種新的處理方法，以利于學生更好地理解教材內容。

Abstract： In this paper， a new method of permutation group teaching is introduced， which makes the student to understand these concept easily.

關鍵詞：置換群；k-輪換；奇（偶）置換；階

Key words： permutation group；K-rotation；odd （even） replacement；order

中圖分類號：O152.1 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）07-0186-02

0 引言

置換群是人類最早研究的一類群，利用這種群，迦羅瓦成功的解決了高次代數方程是否可用根式求解的問題[1]。由于每個有限的抽象群都與一個置換群同構，也就是說，在同構意義下，若把置換群研究清楚了，那么所有的有限群即完全被了解，故置換群是一類非常重要的群。正是由于它的重要性，引起了學術界的廣泛關注，文獻[2]研究了置換群群的循環指數，文獻[3]研究有有界運動的置換群，給出了非單位元恰有兩個運動的有極大次數的傳遞置換群的結構和分類，文獻[4]給出了計算置換的乘法、置換的逆、置換的階、置換的冪、置換的輪換分解、置換的奇偶性判斷的C語言程序，文獻[5]利用ONan-Scott定理刻畫了3次自由次的擬本原置換群和二部擬本原置換群，并給出了一般3次自由置換群的描述，文獻[6]研究了給定生成元集、給定群、給定階的置換群的群圖的作圖方法，并給出若干計算機作圖的實例，文獻[7]確定Sn的元素的階的集合On的第二種方法，同時給出了例子，文獻[8]對素數冪次的本原置換群給出一個清晰明了的刻畫。

教材[1]是目前各高校近世代數課程選用較多的一本優秀教材，它對置換群一節的處理是，先給出定義，再以定理形式給出相關性質，但對于初學者來說，總感覺邏輯性不是那么強，不知為什么介紹完定理1，介紹定理2，所以本人試著以例子引入并貫穿整節課的方式，給出一種新的處理方法。這樣的處理有以下優點：

①以例子做主線，激發學生學習興趣；

②可加深學生對所學過的知識的認識；

③可引導學生逐步掌握本節課所有內容。

為檢驗新處理方式的效果，筆者對所任教的12屆數學與應用數學四個班的學生及13屆數學與應用數學四個班的學生進行了比較教學，并對他們進行了問卷調查，剔除遺漏和錯誤等不合格問卷，獲得有效問卷451份，經統計結果如表1、表2所示。

1 置換群教學的新處理

由凱萊定理可知，任何n階有限群都同n元對稱群Sn的一個子群同構。教材[1]就把n元對稱群的任何一個子群定義為置換群。也就是說，置換群這一節主要介紹的內容，在同構意義下，可推廣到一般抽象的有限群。我們在研究有限集合的置換時，有限集合中的元素是什么是無關緊要的。因此，為方便起見，這個集合的元素常用數碼1，2，…，n表示，并且一般假設n>1。按照教材[1]，接下來給出k-輪換的定義，以及輪換相乘的性質，可一上來就講這些理論，學生理解起來就會有困難，不知為什么要講，講這些有什么用，而通過現在的處理方式，就會避免這個問題。

首先，讓同學們自己寫出S4，寫的過程會發現，4個元素的全排寫起來并不是那么簡單，關鍵是全寫出來，書寫很不方便，所以我們想，對于置換，是否有更簡單的表示方法，且能把所有的置換區分開，不重不漏。這時，給出k-輪換的定義，學生就會很欣喜的接受，而且還會發現，S4中的24個元素，按照k-輪換的定義，我們只能寫出21個，剩下的3個該如何表示？引導學生思考。此時，可以給出下面定理：

定理1：每個（非輪換）置換都可表為不相連輪換之積，每個輪換都可表為對換之積，因此，每個置換都可表為對之積。

更進一步，每個非輪換置換表為不相連輪換之積時，元素相乘的先后順序是否可以顛倒？于是可得如下結論。

定理2：不相連輪換相乘時可以交換。

這樣，用輪換和輪換的乘積來表示置換，在書寫時非常方便。

接著，讓同學們自己把S4的24個置換用輪換或輪換的乘積表示出來。這個過程，同學們又會發現，把每一個置換表示成對換乘積時，表示方法不是唯一的。例如：

（132）=（12）（13）=（31）（32）=（12）（32）（23）（13）；

（1432）=（23）（12）（14）=（34）（13）（23）=（23）（13）（23）（13）（14）。

認真觀察會發現，同一個置換雖然有不同的對換分解，但各個分解中，對換個數的奇偶性必然相同，此即下面的定理。

定理3：每個置換表成對換乘積時，其對換個數的奇偶性不變。

這樣，就有S4這個特例的結論推廣到了一般的置換群。而且，順理成章的給出奇置換與偶置換的定義。同時，進一步，我們還有結論。

定理4：一個n元置換群中的置換或者全是偶置換，或者奇、偶置換各占一半，且全體偶置換做成一個子群。

證明：設G為任意一個n元置換群。因為G必包含恒等置換，而恒等置換是偶置換，從而G必包含偶置換。

如果G中的置換全為偶置換，則結論已成立；如果G中的置換含有奇置換，任取其一，設為σ。并令A，B分別為G中全體奇、偶置換作成的集合，則由于σ與σ-1都是奇置換，從而易知φ：τ → τσ（？坌τ∈A）

是A到B的一個雙射.因此，A與B元素個數相同，即JG中的奇、偶置換的個數相等，各占一半（從而還可知，此時的階為偶數）。而且此時的全體偶置換作成子群顯然。

以上的內容都是對置換群整體的把握，那么，對于置換群中的元素，及具體的每一個置換，從群的角度出發，其階又該如何？觀察S4，容易得出，（12）的階是2，（123）的階是3，（12）（34）的階是2，于是，有以下更一般的判別方法。

定理5：k-輪換的階為k，不相連輪換乘積的階為各因子的階的最小公倍數。

2 結論

上述處理方式，效果明顯，通過學期期末考試可知，卷面中涉及置換群一節的內容，百分之九十七的同學都能很好的掌握。置換群是群論中很重要的一類群，本文只是根據個人理解，給出了一種在本期教學中實踐效果很好的一種新的教學處理方式，而其更多的，適應性更廣、更好的處理方式，有待我們進一步的研究。

參考文獻：

[1]楊子胥.近世代數[M].三版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]王彥輝，方騰.樹的計數[J].數學的實踐與認識，2014，44（10）：169-175.

[3]陳云坤，黎先華.有極大次數的傳遞置換群[J].數學雜志，2013，33（1）：187-190.

[4]王積社.若干置換群問題的計算程序[J].電腦知識與技術，2013，9（5）：1041-1042.

[5]劉哲，余小芬，婁本功.3次自由次的擬本原和二部擬本原置換群[J].云南大學學報（自然科學版），2012，34（2）：125-128.

[6]王積社.置換群圖及其作圖方法[J].嘉應學院學報（自然科學），2012，30（2）：9-14.

[7]孫宗明.確定Sn的元素的階的集合On的第二種方法[J].商丘師范學院學報（自然科學版），2014，30（3）：23-26.

[8]蔡遷，張華.素數冪次本原置換群的一個簡明刻畫[J].云南師范大學學報（自然科學版），2014，34（5）：6-10.