四色定理的美妙證法

程中戰(zhàn)

四色定理命題：

任何一張地圖只用四種顏色就能使任意兩個(gè)相鄰的國(guó)家著上不同的顏色。

證明：（本文用1 2 3 4代表四種顏色）

公理1：設(shè)平面內(nèi)一個(gè)區(qū)域（中心區(qū)）的周圍有n個(gè)相鄰的區(qū)域（鄰區(qū)），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所有鄰區(qū)最多只用三種顏色（n為偶數(shù)時(shí)只用兩種顏色）即可使包括中心區(qū)在內(nèi)的所有兩兩相鄰的區(qū)域著上不同的顏色（中心區(qū)為第四種顏色）。這種現(xiàn)象稱為圓環(huán)布局，見(jiàn)圖一圖二。

在平面內(nèi)可以任何一個(gè)區(qū)域?yàn)橹行膮^(qū)，在它周圍沒(méi)有鄰區(qū)的線段（或曲線段）上布設(shè)若干個(gè)鄰區(qū)，使它們符合新的圓環(huán)布局，這條線段（或曲線段）稱為空白邊，而已經(jīng)著色的所有區(qū)域構(gòu)成一個(gè)不規(guī)則（或規(guī)則）的版塊，這個(gè)版塊的外邊緣是由若干條空白邊相連結(jié)的不規(guī)則環(huán)線，稱這個(gè)環(huán)線為空白圈。

公理2：即公理1的推論，任何一條空白邊上布設(shè)的k個(gè)鄰區(qū)最多只用三種顏色即可填充，就能使其對(duì)應(yīng)的中心區(qū)及原有的鄰區(qū)符合圓環(huán)布局。

一條空白邊的兩個(gè)端點(diǎn)處有四種情況（如圖三圖四）：

1.一端有鄰區(qū)另一端無(wú)鄰區(qū)；2.兩端都無(wú)鄰區(qū)；3.兩端都有鄰區(qū)且同色；4.兩端都有鄰區(qū)且異色。據(jù)公理1公理2知，以上四種情況，一條空白邊上最多只用三種顏色，加上中心區(qū)的顏色，共用四種顏色，就能使這個(gè)中心區(qū)周圍的新舊鄰區(qū)符合圓環(huán)布局。同理，無(wú)論單條還是多條空白邊上布設(shè)新的鄰區(qū)，都符合圓環(huán)布局，連續(xù)空白邊的填充是若干條空白邊填充的合成（如圖五圖六）。這時(shí)空白圈向周圍擴(kuò)展，著色版塊面積增加，就象漣漪、樹(shù)木的年輪，又象是中心開(kāi)花，花瓣層層向周圍擴(kuò)展。

任何一個(gè)不規(guī)則的空白圈都等價(jià)于一個(gè)圓，因而，任何一個(gè)空白圈內(nèi)緣的所有區(qū)域相連結(jié)的圖形都等價(jià)于一個(gè)圓環(huán)，故，空白圈內(nèi)緣上的所有區(qū)域最多只用三種顏色即可填充。所以，空白圈外緣上任意弧長(zhǎng)的一個(gè)鄰區(qū)（即若干條連續(xù)空白邊的公共鄰區(qū)）可用第四種顏色填充（如圖六）。

由上可知，四色定理成立。四色定理適合于一個(gè)充分大的平面及一個(gè)封閉的曲面（如球面）。