基于切削動力學及其不確定特性的數控機床結構參數分析優化

黃　華， 張樹有， 何再興， 裘樂淼

(1.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州　730050； 2.浙江大學 流體動力與機電系統國家重點實驗室, 杭州　310027)

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基于切削動力學及其不確定特性的數控機床結構參數分析優化

黃華1， 張樹有2， 何再興2， 裘樂淼2

(1.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州730050； 2.浙江大學 流體動力與機電系統國家重點實驗室, 杭州310027)

針對傳統數控機床結構設計中較少考慮切削動力學及其不確定特性的問題，提出了基于切削動力學約束和不確定因素的影響，根據目標切削深度對結構進行優化設計的方法。分析切削動力學特性，根據顫振頻率分布和整機模態實驗確定限制切深的關鍵部件，以其外部輪廓壁厚和內部筋板壁厚為對象，進行參數靈敏度分析以確定設計參數。將最小臨界切削深度與目標切削深度的差值轉化為結構動柔度的修改量，在質量、靜剛度等條件的約束下，通過對局部結構的修改，在保持質量基本不變的情況下，滿足了生產率要求的目標切削深度，并以一臺數控加工中心的結構優化設計為例進行了驗證。

切削動力學；不確定性；動柔度；最小臨界切深

金屬切削加工需要保證一定切削深度以滿足生產率要求，而機床能達到的穩定切削深度受制于機械結構和加工工藝復雜的耦合作用。因此，為了充分發揮機床的性能，需要在設計階段從結構動力學和切削動力學方面對機床結構進行優化設計。

眾多學者在這方面展開了研究，文獻[1]應用權重分配準則，給床身上不同承載區域的重要性賦予不同的權重，優化床身內部筋板和外支撐板的布局方式和板厚，減輕重量的同時改善了其承載情況。文獻[2]采用響應面模型，以部件的板厚為設計變量，對一臺立式加工中心進行了動、靜態和輕量化多目標優化設計。文獻[3]通過實驗辨識出機床整機動剛度薄弱環節，以立柱結構為優化對象，運用靈敏度分析法計算出立柱質量和固有頻率對各個壁板的靈敏度，通過修改壁板厚度提高了整機動剛度并減輕了重量。文獻[4]探討了移動部件輕量化對于節能的意義。還有學者從結構仿生或者材料仿生的角度對機床的承載部件或者移動部件進行優化設計[5]。這些方法一般是從結構動力學的要求出發，關注其低階固有頻率、動剛度、模態匹配或者切削頻率禁區等指標，較少考慮切削動力學的需求[6]。不合理的切削動力學特性輕則導致高性能機床不能充分發揮其功能，重則導致安全事故發生[7]，忽略切削動力學的影響往往不能取得預期效果，因此，在結構動力學優化的基礎上，有必要從切削動力學的角度來優化機床的設計。文獻[8]利用切削顫振理論，根據顫振頻率找出對應的模態，并通過設置加強筋提高該模態對應的固有頻率和動剛度以改進。文獻[9]考慮結構修改的可行性，提出了一種在主軸外徑上附加質量以減小傳遞函數的實部，從而提高了切削的極限深度。文獻[10]通過切削穩定性圖建立了機床結構和工藝的數學模型，該模型識別了影響切削效率的設計參數，針對結構進行改進設計或者針對已經制造的樣機附加阻尼以提高切削效率。文獻[11]針對相關參數的不確定性獲得了穩健的切削穩定性曲線，以此指導切削工藝參數的選擇。

對于鑄鐵或者鋼材等較硬材料的粗加工、半精加工，切削穩定性主要取決于機床結構基礎支承系統的動力學特性[12]，由于機床加工位姿、測試條件或者制造、裝配的差異、服役性能的退化，動力學特性會有一定的不確定性。另外，對于特定的加工工藝來說，其切削參數也有一定的不確定性，包括加工材料特性、工藝參數的波動，按照確定性數值進行穩定性分析會有較大誤差。因此，本文考慮不確定參數對機床切削穩定性的影響，并將實際切削能力與目標切削能力的差異轉化為結構修改的定量指標，采用靈敏度分析方法確定設計參數，考慮質量、靜剛度等指標的約束，對機床結構進行優化設計。

1　切削動力學及其不確定性分析

切削動力學特性由切削工藝和機床結構性能決定，本文分析工藝和結構參數對切削動力學的影響，根據各因素與切削深度的關系，找出各因素組合下的最小極限切削深度，將該深度與切削效率要求的最小切削深度比較，根據兩者的比例關系以及質量、剛度條件的約束對結構參數進行修改，保證切削深度滿足生產率指標要求。

1.1臨界穩定切削深度

根據切削顫振理論，銑削加工系統的臨界穩定切削深度aplim可表示為：

(1)

式中：ωc為顫振頻率;T為刀齒切入周期;Kt為切向切削力系數;z為刀具齒數;Λ為閉環動態銑削力特征方程的特征值。特征方程可表示為：

a0Λ2+a1Λ+1=0

(2)

式中：

a0=ΦxxΦyy(αxxαyy-αxyαyx)；

a1=αxxΦxx+αyyΦyy

式中：ω、k、ξ、φst、φex分別為固有頻率、模態剛度、阻尼、切入角、切出角。式(2)表明，臨界切削深度主要取決于方向因子αxx、αxy、αyx、αyy和切削區域的傳遞函數Φxx、Φyy，這兩項主要由切削工藝參數和刀具-工件系統的模態參數決定。

1.2切削動力學不確定性影響因素分析

一般的切削穩定性葉瓣圖見圖1。由圖1可知，底下的水平線表示最小臨界切削深度，水平線以下是無條件穩定區，葉瓣內的區域是不穩定切削區，代表最小臨界切削深度的水平線和兩相鄰葉瓣包圍的區域是有條件穩定切削區。為了滿足生產率的要求，保證在任意轉速下的穩定切削深度都處在無條件穩定切削區，需要通過結構設計提高最小臨界切削深度，即將最小臨界切削深度所在的水平線提高到目標切削深度的位置。

圖1　切削穩定性葉瓣圖1Fig.1　Cutting stability lobes 1

1.2.1工藝參數的影響

從工藝參數的角度看，切削穩定性公式表明切削深度受刀具徑向浸入比、刀具齒數、切削力系數、加工轉速的影響。其中，切削力系數包括切向切削力系數和徑向切削力系數，前者與極限切深成反比，后者與前者的比值決定了方向系數。最小臨界切削深度隨著刀具徑向浸入比的增加而下降，刀具齒數和加工轉速決定了激勵頻率。對于常見的幾種材料，文獻[13]提供了幾種切削力系數，最小臨界切削深度隨著切削力系數的增加而下降。

1.2.2模態參數的影響

系統傳遞函數的影響因素眾多，包括所受外界激勵、系統結構參數中質量、剛度、阻尼及振型、固有角頻率ω和阻尼比ζ等，主軸-刀柄-刀具結合部的動力學特性和高速旋轉引起的陀螺力矩、離心力對系統切削穩定性的影響也不容忽視[14]。根據式(2)，本文重點研究結構的固有頻率、模態剛度、阻尼對切削穩定性的影響。模態數據見表1。

表1　工藝系統模態參數

令表1中各參數分別在初值的50%～200%范圍內變化，將數據代入式(1)、式(2)進行計算，得到各參數對切削穩定性的影響見圖2，圖2中縱坐標為最小臨界切削深度；橫坐標為各參數與其初值的比值，其中ωn0、k0、ζ0分別代表固有頻率變化的比值、模態剛度變化的比值、阻尼比的初值。

圖2　模態參數與最小臨界切削深度的關系Fig.2　Relation between modal parameters and minimum critical cutting depth

由圖2可知，固有頻率對最小臨界切削深度的影響較小，模態剛度、阻尼比對最小臨界切削深度的影響較大，兩者為正比例關系。

綜上分析，在最小臨界切削深度的各項影響因素中，阻尼比系數、剛度系數、固有頻率、切削力系數和徑向切削浸入比都有不確定性，為了保證機床在一定工藝范圍內穩健的滿足給定的目標切深，需要根據目標切深和實際值的差異，對機床結構進行優化設計。

2　考慮切削特性的結構參數分析與優化

2.1切削深度和結構參數的關系分析

根據切削穩定性理論分析可得到系統的顫振頻率，因為顫振頻率一般發生在機床結構的某階固有頻率附近[15]，由模態實驗可確定該頻率對應的模態振型，從而確定振型的對應部件。由模態振型的正交性可知，當機床在第r階固有頻率ωnr附近振動時，如果各階模態耦合不緊密，則結構的頻響特性主要決定于第r階模態，其余各階模態的影響可忽略，因此可將各階模態視為單自由度系統研究其振動的穩定性。根據振動力學，對于第r階模態，有：

(3)

(4)

由圖2可知，當ξr不變時，模態剛度與最小臨界切削深度為線性比例關系，又因為結構阻尼主要決定于結合部的聯接情況，所以對于小范圍內的結構修改而言，ξr保持不變，由式(4)可知模態剛度與動柔度成反比。

設該機床實際最小臨界切深aplim與目標要求的最小臨界切深agoal之比為p，則有：

(5)

2.2基于結構靈敏度的優化過程建模分析

對系統的動柔度進行優化設計需要考慮兩個方面約束：①機床刀尖點的靜變形必須在許可范圍內，因為沿切削力方向的變形最大，所以以該方向的變形為約束，優化設計后對其它兩個方向的變形進行校核；②結構的質量改變盡可能小。由此建立多目標優化模型：

(6)

式中：H和ΔH分別為該模態的最大動柔度和動柔度的目標修改量;δsz、δsx、δsy分別為刀尖點在z、x；y方向的靜變形；δsz0、δsx0、δsy0分別為各方向允許的最大靜變形。Δtil、Δtiu分別為設計參數變化的上、下限;n為參數個數。因為嚴格的質量恒定限制了系統尺寸的尋優，因此令質量m的變化Δm在初始質量m0的2%的范圍內，在該范圍內仍視為質量恒定。

按照上述模型進行優化時，需要計算目標參數和設計參數之間的關系，但是結構動柔度、靜變形與設計參數之間無顯式的函數關系，所以本文采用試驗設計確定設計參數，然后通過有限元計算獲得設計參數對應的目標參數，包括結構動柔度、靜變形，將對應的幾組設計參數和目標參數擬合為二次函數關系式。以動柔度為例，設通過有限元分析得到結構相關尺寸增量與目標對應的數值關系，并對其進行二次函數擬合，得到的函數關系式為：

i=1,2,…,m

(7)

式中:ai、bi、ci為函數系數。

該函數對各尺寸參數的靈敏度表示為：

i=1,2,…,m

(8)

用矩陣形式可表示為：

Sh=AΔt+B

(9)

z方向是主要的受力和變形方向，為減小計算量，以z方向的靜剛度為約束條件，再根據優化結果對另外兩個方向的變形進行校核。令z方向的靜剛度與設計參數的關系式為：

i=1,2,…,m

(10)

式中：di、gi、fi為函數系數。其靈敏度矩陣為：Sδ=DΔt+G。質量靈敏度為：

Smi=ρqi

(11)

式中：ρ為結構材料的密度；qi為尺寸參數ti對應的表面積。令qi的集合為Q，則動柔度、變形、質量與設計參數之間的關系為：

因此，根據試驗設計得到的數據擬合出系數矩陣A、B、C、D，并求出各參數對應的表面積的集合Q，將式(12)并與式(6)聯立，便可求得各參數的最優解。

2.3考慮切削特性的結構參數分析優化流程

提出了一種基于切削動力學不確定性的數控機床結構優化設計方法流程。建立機床有限元模型并根據模態實驗結果對有限元模型進行校正。根據刀具-工件系統的頻響函數實驗結果，進行切削穩定性仿真獲得系統的顫振頻率，結合整機模態實驗確定引起顫振發生的主要模態。如果該模態的應變能主要由某些導軌提供，可以通過加強導軌聯接部進行強化；如果主要是由部件提供，則通過調整筋板、壁板厚度等措施修改該模態，本文主要針對部件的結構參數進行調整。在修改過程中，應用靈敏度分析確定修改參數，在質量、靜剛度等條件的約束下，通過修改模態動柔度以縮小穩定性切削深度和生產率要求的切削深度為目標，反復迭代直到接近切深目標為止。在修改過程中，按照一般的設計需求，將設計參數按照5的倍數進行調整，具體流程見圖3。

3　實例分析

某機床企業需要開發一臺臥式加工中心，主要面向柴油發動機缸體的加工，缸體材料為鑄鐵。其刀庫有>40把刀具，包括各種面銑刀、立銑刀20把。其耗時最多的工序為某表面的粗加工和半精加工，為滿足生產率，要求在該工序時，以任意浸入比和任意進給方向，不論使用何種冷卻條件，最小的臨界切削深度能保持在>3 mm。現根據前述理論分析，從切削動力學的角度對該機床進行優化設計。

3.1切削動力學分析

該機床使用的最大刀具直徑為160 mm，刀齒數為8，最小刀具為直徑40 mm，刀齒數4。最小切向切削力系數Ktc=1 203.1 N/mm2，最大切向切削力系數2 193 N/mm2；最小徑向切削力系數Krc=2 121 N/mm2，最大切向切削力系數3 309 N/mm2。采用錘擊法對刀具及工件進行激勵實驗，采用加速度傳感器獲取結構的動態響應，通過B&K 公司的7700 Pulse多通道動態信號采集分析系統來記錄分析數據。實驗儀器和現場條件見表2。

圖3　基于切削動力學特性的機床結構優化設計流程圖Fig.3　Flow chart of optimization design for machine tools based on cutting dynamics

表2　主要測試儀器

刀具與工件系統的頻響函數測試現場見圖4。

圖4　刀具-工件系統頻響函數測試Fig. 4 Testing of frequency response function of tools and workpiece

經數據處理軟件識別后得到系統前六階模態參數見表3。

因為模態參數有一定范圍內的波動，因此令各參數在其初值10%的范圍內變化。根據前述分析，取使臨界切削深度最小的各參數的組合，即刀具為直徑40 mm，刀齒數4，槽銑；最大的切向切削力系數2 193 N/mm2和最大的徑向切削力系數3 309 N/mm2，固有頻率取初始值，阻尼比和模態剛度取最小值，進給方向與機床坐標系X軸方向重合，根據以上參數，仿真獲得的穩定性葉瓣圖見圖5。

表3　系統模態數據

圖5　切削穩定性葉瓣圖2Fig.5　Cutting stability lobes 2

由圖5可知，最小臨界切削深度1.39 mm，最大臨界切削深度3.92 mm。相差將近3倍。可見，工藝參數和模態參數的不確定性對臨界切削深度有很大影響。根據工藝要求，最小臨界切深aplim與目標要求的最小臨界切深agoal之比p為：

(13)

另外，仿真得到的顫振頻率見圖6，表明顫振頻率分布在120～200 Hz之間。

圖6　切削顫振頻率分布Fig.6　Chatter frequency

3.2整機模態實驗

在仿真獲得了顫振頻率的基礎上，需要通過模態實驗分析該頻率對應的結構部件。為了獲得相對準確的模態實驗結果，對本機床同系列的另一臺結構相似的機床，在主要部件裝配完畢但還未安裝防護的情況下進行模態實驗分析。所使用的儀器與表1相同，實驗現場見圖 7(a)。采用單點激勵多點響應的方法，用力錘沿水平方向對主軸端進行激勵，每次連續敲5下，使用3個加速度傳感器在x、y、z三個方向依次對主軸部件、立柱、工作臺、底座中間塊和床身等進行響應測量，傳感器布置和各測點編號見圖 7(b)。使用數據采集系統BK自帶的pulse軟件獲取完整的頻響函數，經ME′scope分析軟件處理后得到各階振型見圖 7(c)，實驗結果見表4。

對比圖6的顫振頻率分布和模態實驗結果，可知第6階振型-立柱的高階扭擺是該機床切削深度的薄弱環節。根據式(13)，為滿足目標切削深度的要求，需要對該模態進行強化設計，使修改后刀尖點的動柔度降低≈2.16倍。

表4　機床模態實驗結果

3.3立柱結構參數分析優化

立柱結構尺寸見圖8，立柱內部采用米字形筋板，這是最具抗扭能力的一種筋板形式。筋板上開有減重孔，設計參數的選取見圖8和表5。

圖7　機床模態實驗Fig.7　Machine tool modal experiment

圖8　立柱內部結構和尺寸參數Fig.8　Internal structure of the column and dimensions

表5　變量數值范圍

將簡化后的機床模型導入workbench中，并將各相關參數設為變量，在機床刀尖點施加簡諧力，以整體結構第6階模態的動柔度為目標，通過改變各相關參數，計算得到尺寸變量和動柔度的關系見表6。

按式(7)對以上數據進行二次函數擬合，得到各尺寸增量與動柔度的函數關系式：

按式(8)，動柔度對各尺寸參數的靈敏度表示為：

sh1=-0.002 8Δt1-0.001 6;

sh2=-0.001 8Δt1-0.003 8;

sh3=-0.001 8Δt1-0.003 8;

sh4=-0.000 6Δt1-0.001 2;

sh5=-0.003 4Δt1-0.007 7;

sh6=-0.002 2Δt1-0.003 3;

sh7=-0.001 8Δt1-0.005 9。

按式(9)，用矩陣形式表示為：Sh=AΔt+B，其中：

B=-10-3×[1.6　3.8　3.8　1.2　7.7　3.3　5.9]T

根據工藝條件，在粗加工條件下，最大切削力為5 000 N，要求各方向上刀具和工件的相對位移不超過200 μm。為機床主軸上施加三方向的最大切削力Fx=Fy=Fz=5 000 N，承受主要切削力的方向為z方向，計算得到設計參數與z方向的靜變形的關系見表7。

表7　尺寸變量與靜變形的關系

同理，其靈敏度矩陣為：

G=-10-3×[8.28 7.30 4.38 2.28 13.44 6.32 7.30]T

另外，立柱材料為灰鑄鐵，密度ρ=7.29×103kg/m3，根據式(11)得到立柱質量與各參數的靈敏度關系為：

Sm=[10.69.41.24.15.8-1.5-1.7]

將矩陣A、B、D、G和Sm代入式(12)，并與式(6)聯立，又因為Δh為負，對其取絕對值，得優化模型為：

(14)

在Matlab軟件中求解式(14)，得到一組解：

Δt=(5,-5,5,-10,10,10,20)T

對修改后的模型重新進行諧響應分析(見圖9)。由圖9可知，仿真結果比實驗結果稍有偏大，同時，優化后的結構第6階動柔度從12.2 μm降低到6.6 μm。

將優化后的模型在有限元軟件中進行更新并計算(見表8)。其中立柱質量減小了31 kg，同時各方向靜剛度滿足要求。

假設修改前后的阻尼比參數保持不變，根據模型修改后重新分析得到的模態參數進行穩定性仿真，得到的穩定性葉瓣圖如圖5中的“結構優化后的臨界切削深度”所示，其最小臨界切削深度為2.91 mm，已經接近目標切削深度3 mm。可見，結構修改達到了目的。

表8　立柱結構尺寸優化前后的對比

圖9　諧響應分析結果Fig.9　Results of the analysis of harmonic response

4　結　論

僅從結構動力學角度對機床進行優化設計或者在加工階段對工藝參數進行優化，難以實現高效、穩定的切削加工。本文考慮切削動力學及其不確定特性，對機床結構參數進行了分析優化研究，主要工作與特點有：

(1) 從結構動力學參數和工藝參數兩方面分析了切削動力學的不確定性影響因素，將不確定因素組合得到的最小臨界切削深度與目標切削深度的比值轉化為結構動柔度的比值，以此作為結構參數優化設計的定量指標，克服了設計修改的盲目性。

(2) 根據切削穩定性仿真獲得機床的顫振頻率圖，與實驗模態分析獲得的各階模態可視化振型比較，結果表明制約機床切削性能的主要因素是第6階模態(131 Hz)；振型表明該模態可通過調整相關部件筋板的或壁板的厚度進行改善。從而明確引起機床切削性能降低的結構設計上的不足，并通過對機床結構的調整來實現切削性能的優化。

(3) 采用靈敏度分析方法，以結構動柔度為修改目標，結合質量和靜剛度等指標的約束，對機床進行切削動力學的優化設計。將本文的方法應用在一臺加工中心的結構優化設計上，針對該機床制約切削性能的薄弱環節——立柱，從內部筋板和外部壁板的厚度進行優化，結果表明本文的方法是可行的。

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Analysis and optimization of parameters of machine tool in structure design based on the cutting dynamics with uncertainty

HUANG Hua1, ZHANG Shuyou2, HE Zaixing2, QIU Lemiao2

(1. School of Mechanical and Electrical Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. State Key Laboratory of Fluid Power Transmission and Control, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

A method for machine tool design parameters optimization was presented to obtain a desirable cutting depth in the milling process, under the constraints of cutting stability and its uncertainty, which have been rarely considered in the traditional design. According to the chatter frequency distribution and the modal tests results, the key influential component of the machine tool which determines the minimal cutting depth was located. Targeting at the thickness of external contour and internal rib of the component, the sensitive design parameters to be modified were selected according to a sensitivity analysis. The difference between the desirable cutting depth and actual cutting depth was converted to an amount for structural dynamic flexibility modification. With the minimum local structural modification, the desirable cutting depth was obtained to meet the requirement of material removal rate (MRR) under the constraint of keeping unchanged the static stiffness and the static weight. The method was verified via the optimization design of a CNC machining center.

cutting dynamics; uncertainty; dynamic compliance; critical limit cutting depth

國家自然科學基金項目(51565030;51275458);甘肅省高等學校科研項目(2015B-032);國家科技重大專項課題(2015ZX04010-011)

2015-02-05修改稿收到日期：2015-05-26

黃華 男，博士，副教授，1978年生

TG502.12; TP391.72

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.014