FGM中厚圓板軸對稱自由振動的打靶法求解

李清祿， 張靖華， 李世榮

(1. 蘭州理工大學 理學院，蘭州　730050; 2. 揚州大學 建筑科學與工程學院，江蘇 揚州　225127)

?

FGM中厚圓板軸對稱自由振動的打靶法求解

李清祿1， 張靖華1， 李世榮2

(1. 蘭州理工大學 理學院，蘭州730050; 2. 揚州大學 建筑科學與工程學院，江蘇 揚州225127)

研究了由陶瓷和金屬兩種材料組成的功能梯度材料(FGM)中厚圓板的自由振動問題。基于考慮橫向剪切變形中厚板的幾何方程、物理方程及平衡方程,建立了以中面轉角和橫向位移為基本未知量的功能梯度中厚圓板軸對稱自由振動問題的控制方程;假定功能梯度中厚圓板的材料性質方向按照冪函數連續變化規律;采用打靶法數值求解所得非線性兩點邊值問題出，獲得了多種邊界下功能梯度中厚圓板的無量綱自然頻率以及振動模態。討論了材料梯度指數、板的厚度以及邊界條件對自然頻率的影響。

功能梯度材料；中厚圓板；自由振動；頻率；打靶法

功能梯度材料(Functionally Graded Material,FGM) 是一種非均質復合材料[1],在航空航天、汽車、生物及核工業等領域有廣闊的應用前景。同時,由于該種材料在結構中各組分呈連續變化,不存在明顯的界面與性能的突變,因此具有優于一般層疊型功能材料的特性。由于材料性質在橫向的非均勻性導致了功能梯度結構的應力在橫向分布的復雜性，表現出與均勻材料結構不同的特性。從而，使得FGM 結構的彎曲、屈曲和振動等宏觀力學行為的分析要比相應的均勻材料結構復雜得多。近年來,FGM結構已引起國際學術界的廣泛關注[2-4]。

對于薄板的振動問題的經典理論是基于Kirchhoff假設基礎上的。隨著板的厚跨比的增加，經典理論的結果將會出現比較大的誤差。文獻[5]對中厚板理論的適用范圍作了詳細研究，薄板和中厚板的分界線一般厚跨比=0.1，此后薄板理論解和中厚板理論解的誤差越來越大；而中厚板和厚板的分界線應當在厚跨比=0.2處。侯宇等[6]利用H變換求解了厚圓板的軸對稱振動的各階固有頻率。徐旭等[7]從三維彈性力學基本方程出發，利用初函數法研究了厚圓板軸對稱振動的彈性力學解。人們將熟悉的針對均勻材料結構而發展起來的理論分析方法和數值計算手段推廣應用于FGM 結構的宏觀力學行為分析，研究FGM 結構的靜動態響應，考察材料非均勻特性對結構力學行為的影響。李世榮等[8]研究了材料性質沿橫向連續變化的功能梯度材料圓板的靜態彎曲問題，給出了兩種圓板彎曲解之間的相似轉換關系。WANG等[9]利用三維彈性理論研究了軸對稱FGM薄圓板的自由振動問題，得到了彈性簡支和剛性滑動兩種邊界條件下的三維精確解。KERMANI等[10]利用三維彈性理論建立了FGM圓板和圓環板的自由振動控制方程，利用微分求積法求解了問題的數值解，討論了厚徑比和梯度指數對無量綱頻率的影響。張弛等[11]用無網格法分析了功能梯度材料圓板的自由振動，并討論了相關參數對結果的影響。文獻[12]利用微分求積法研究了雙參數彈性地基上FGM薄至中厚環板在熱環境中的自由振動問題。

由上述文獻知，許多學者采用不同方法研究了FGM圓板的靜動態力學響應，而功能梯度材料中厚板的自由振動方面的研究相對較少。本文基于高階剪切板理論，研究功能梯度中厚圓板的自由振動問題，建立了以中面轉角和橫向位移為基本未知量的功能梯度中厚圓板軸對稱自由振動問題的控制方程，采用打靶法求解所得非線性常微分方程。討論不同剪切理論下，材料梯度指數、厚徑比以及邊界條件對圓板自振頻率的影響。

1　控制微分方程

考慮圖1所示的功能梯度材料中厚圓板。設板的厚度h;半徑為R。采用極坐標系(r,θ,z)，其中r為徑向;θ為環向;z坐標垂直于r-θ面。研究其軸對稱自由振動問題。

考慮功能梯度材料圓板是由金屬和陶瓷兩相材料組成，假設梁的材料性質沿厚度方向按冪函數變化，即

(1)

目前，用來確定FGM有效材料性質的模型主要有Voigt混合率模型以及Mori-Tanaka模型。文獻[13]詳細研究了兩種模型對振動頻率的影響，結果表明：對于線性頻率，兩種模型計算的結果十分接近，而對于非線性振動，兩種模型下的頻率差異可以忽略。基于此，這里采用相對簡單的Voigt混合率模型。其彈性模量、密度可表示為:

(2)

(3)

式中：下標m和c分別表示金屬和陶瓷材料的物性參數;非負實數p為材料梯度指標。文獻[14]研究表明材料泊松比對自由振動的頻率幾乎沒有影響，可表示為:

v(z)=v

(4)

由圖1可知，徑向位移為u；橫向位移為w。若只考慮橫向振動，中厚圓板位移場可寫為：

圖1　FGM圓板示意圖Fig.1　Sketch map of the FGM circular plate

(5)

式中：ψ為板中面法線的轉角；t為時間變量。

幾何方程：

(6)

物理方程：

(7)

將式(6)代入式(7)，物理方程可進一步寫為:

(8)

沿板的厚度方向積分，可得圓板彎矩和剪力為：

(9)

(10)

(11)

式中：κs為剪切修正系數；對Hencky板，κs=1；Reissner板，κs=6/5；Mindlin板，κs=12/π2。

運動方程：

動能為

(12)

勢能為

(13)

根據Hamilton原理，問題的泛函為:

(14)

由變分δΠ=0得:

將式(6)代入上面的表達式

(15)

利用式(2),式(15)中剛度系數的定義為:

(16)

令Er=Em/Ecρr=ρm/ρc，通過積分可得:

(17)

對于板的自由振動，假設其位移和轉角是時間的諧響應模態

(18)

將式(18)代入式(15)， 得到振型函數表示的位移形式的中厚圓板運動方程:

(19)

(20)

采用無量綱變換

得FGM中厚圓板軸對稱無量綱控制方程為:

2　邊界條件

周邊固定：ξ=1處，φ=0，W=0

3　數值結果與分析

式(21)和邊界條件構成兩點邊值微分問題，這里采用打靶法[15]求其數值解。

為了和文獻[14]計算的FGM圓板的計算結果進行比較，本文中也考慮金屬材料Aluminiun(Al),陶瓷材料Alumina(Al2O3)構成的功能梯度材料厚圓板，其物性參數分別為：Em=70 GPa，ρm=2 700 kg/m2，Ec=380 GPa，ρc=3 800 kg/m2，v=0.3。

首先計算了材料梯度指數p=0，即均勻各項同性材料中厚圓板的前三階固有頻率。表1～表4給出了Hencky理論、Reissuer理論和Mindlin理論下，三種常見邊界條件下前三階固有頻率的數值解，并和經典理論以及文獻[6]和文獻[16]計算的結果進行了比較。

由于目前文獻中只有文獻[16]給出了四階以上的無量綱固有頻率，且是Mindlin理論解。因此表4對本文的計算結果與文獻[16]的比較結果作了比較，其結果十分接近，說明了本文計算的可靠性和計算程序的正確性。

從計算結果看出，本文的計算結果與已知文獻的結果是非常接近的，經典理論下計算得到的結果只能適用于薄圓板，對于中厚圓板必須采用Reissuer-Mindlin理論。

需要說明的是，打靶法的計算效率和精度取決于變步長Runge-Kutta方法和Newton-Raphson迭代法的計算精度。與有限元法、微分求積法等相比，打靶法在求非線性常分方程兩點邊值問題時具有無可比擬的優越性，因為它不依賴于網格劃分。另外，這種算法對步長在合理的范圍內不敏感，容易實現，所以費時少而精度高。

表5～表7分別給出了周邊固定、簡支和自由三種邊界條件下，中厚圓板厚徑比δ=0.1,0.2和0.3，材料梯度指標p=0,0.1,0.5,1,2和5時，功能梯度圓板軸對稱自由振動的前三階無量綱固有頻率。從表5～表7可知，當梯度指標一定時，無量綱固有頻率隨厚度δ的增加而降低；當厚度一定時，不同梯度指標下，中厚板的無量綱固有頻率隨梯度指標p的增大而減小。因此，對于中厚圓板，厚徑比以及材料梯度指標對固有頻率的影響很大。

目前，FGM中厚圓板自由振動的固有頻率在已知出版的文獻上還沒有發現。我們將計算的結果和文獻[14]進行比較，特別說明的文獻[14]是基于經典板理論利用Rayleigh-Ritz法計算的，沒有考慮剪切變形，其固有頻率是薄圓板的。因此，表5～表7中只對厚度δ=0.1的計算結果和文獻[14]計算結果進行了比較。不難看出，本文的結算結果和其十分接近，再次說明打靶法研究本問題的適用性。

表1　厚板自由振動無量綱一階頻率ω1(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表2　厚板自由振動無量綱二階頻率ω2(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表3　厚板自由振動無量綱三階頻率ω3(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表4　厚板自由振動無量綱四階頻率ω4(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表5　周邊固支FGM厚板自由振動無量綱固有頻率ωn

表6　周邊簡支FGM厚板自由振動無量綱固有頻率ωn

表7　周邊自由FGM厚板自由振動無量綱固有頻率ωn

圖2為周邊固定時，FGM厚圓板的1、2和3階振動模態圖，由圖2可知,厚徑比δ=0.2和0.3情況下振動模態圖非常接近，而且與邊界條件吻合的很好。圖3和圖4分別給出了周邊簡支和自由邊界條件下，厚徑比δ=0.2，梯度指數p=0.2時的前三階振動模態圖。

圖2　周邊固定FGM圓板自由振動模態圖 Fig.2　Anterior third-order modes of FGM moderately thick circular plate with clamped edge

圖3　周邊簡支FGM圓板自由振動模態圖Fig.3　Anterior third-order modes of the FGM moderately thick circular plate with simply supported edge

圖4　周邊自由FGM圓板自由振動模態圖Fig.4　Anterior third-order modes of the FGM moderately thick circular plate with free edge

4　結　論

基于考慮橫向剪切變形中厚板的幾何方程、物理方程及平衡方程,建立了以中面轉角和橫向位移為基本未知量的功能梯度中厚圓板軸對稱自由振動問題的控制方程。利用打靶法求解了傳統三種邊界條件下的自由振動無量綱頻率，將得到的結果與已有結果進行了比較，顯示了打靶法求解兩點邊值問題的優越性，得到了高精度的數值結果。結果表明:

(1) 邊界條件對中厚圓板的自振頻率有較大影響，固定邊界下的最大，自由邊界下的最小。

(2) 隨厚徑比的增加(即板越厚)，自振頻率減小。

(3) 對于中厚圓板，自振頻率隨梯度指數的增大而減小。

(4) 三種厚板理論下計算的結果比較發現，Reissuer和Mindlin理論下的結果比較接近，而Hencky理論解偏大，因此對于中厚板，一般建議用Reissuer-Mindlin理論。

[1] KOIZUMI M. The concept of FGM ceramic transitions[J]. Functionally Gradient Materials,1993, 34:3-10.

[2] BHANGAL E R K, GANESAN N. Thermoelastic buckling and vibration behavior of a functionally graded sandwich beam with const rained viscoelastic core [J] . Journal of Sound and Vibration,2006,295:294-316.

[3] YANG J, SHEN H S. Non-linear analysis of functionally graded plates under transverse and in plane loads [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2003,38(4): 467-482.

[4] 仲政, 吳林志, 陳偉球. 功能梯度材料與結構的若干力學問題研究進展[J]. 力學進展, 2010, 40(5): 528-541.

ZHONG Zheng, WU Linzhi, CHEN Weiqiu. Progress in the study on mechanics problems of functionally graded materials and structures [J]. Advances in Mechanics, 2010, 40(5): 528-541.

[5] 龍述堯, 姜琛. 中厚板理論的適用范圍和精確程度的研究[J]. 湖南大學學報(自然科學版), 2012, 39(1): 37-41.

LONG Shuyao, JIANG Chen. Research on the applicable range and accuracy of moderately thick plate theory[J]. Journal of Huan University(Natural Science), 2012, 39(1): 37-41.

[6] 侯宇, 何福保. 厚圓板的軸對稱振動[J]. 中國計量學院學報, 1995(增刊1):75-80.

HOU Yu, HE Fubao. Symmetrically free vibration of thick circular plates[J]. Journal of China Institute of Metrology, 1995(Sup1): 75-80.

[7] 徐旭, 何福保. 厚圓板軸對稱振動的彈性力學解[J]. 力學季刊, 2000, 21(1): 59-65.

XU Xu, HE Fubao. Elasticity solution for axisymmetric vibration problem of thick circular plate[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2000, 21(1): 59-65.

[8] 李世榮, 張靖華, 徐華. 功能梯度與均勻圓板彎曲解的線性轉換關系[J]. 力學學報, 2011, 43(5): 871-877.

LI Shirong, ZHANG Jinghua, XU Hua. Linear transformation between the bending solutions of functionally graded and homogenous circular plates[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(5):871-877.

[9] WANG Y, XU R Q, DING H J. Free axisymmetric vibration of FGM circular plates[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2009, 30(9): 1077-1082.

[10] KERMANI I D, GHAYOUR M, MIRDAMADI H R. Free vibration analysis of multi-directional functionally graded circular and annular plates[J]. Journal of Mechanical and Technology, 2012, 26(11): 3399-3410.

[11] 張弛,校金友, 張碩. 用無網格法分析功能梯度材料圓板的自由振動[J]. 科學技術與工程, 2014, 14(13): 145-150.

ZHANG Chi, XIAO Jinyou, ZHANG Shuo. Study on free vibration FGM plate by meshless method[J]. Science Technology and Engineering, 2014, 14(13): 145-150.

[12] MALEKZADEH P, GOLBAHAR H M R, ATASHI M M. Free vibration analysis of elastically supported functionally graded annular plates subjected to thermal environment[J]. Meccanica, 2011, 46:893-913.

[13] SHEN H S, WANG Z X. Assessment of Voigt and Mori-Tanaka models for vibration analysis of functionally graded plates[J]. Composite Structures, 2012, 94: 2197-2208.

[14] PRADHAN K K, CHAKRAVERTY S. Free vibration of functionally graded thin elliptic plates with various edge supports[J]. Structural Engineering and Mechanics, 2015, 53(2): 337-354.

[15] LI S R, TENG Z C, ZHOU Y H. Free vibration of heated euler-bernoulli beams with thermal post-buckling deformations[J] . Journal of Thermal Stresses, 2004, 27: 843-856.

[16] IRIE T, YAMADA G, TAKAGI K. Natural frequencies of thick annular plates[J]. Journal of Applied of Mechanics, 1982, 49(3):633-638.

Numerical solution of the free vibration of functionally graded material moderately thick circular plates by shooting method

LI Qinglu1, ZHANG Jinghua1, LI Shirong2

(1. School of Sciences, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. College of Civil Science and Engineering, Yangzhou University, Yangzhou 225127, China)

The free vibration of FGM moderately thick circular plates was investigated. A FGM plate consisting of metal and ceramic was considered in the study. Based on the geometric equation, physical equation and equilibrium equation of thick plates, taking into account the transverse shearing deformation, the free vibration equation of axisymmetric FGM thick circular plates was derived in terms of the middle surface angles of rotation and lateral displacement. The material properties of the plate were assumed to vary continuously in the thickness direction according to a power law. By using the shooting method to solve the coupled ordinary differential equations with different boundary conditions, the natural frequencies of FGM thick circular plates were obtained numerically. The effects of material gradient property, thickness ratio and boundary conditions on the natural frequencies were discussed in detail.

functionally graded material(FGM); moderately thick circular plates; free vibration; natural frequency; shooting method

國家自然基金( 11272278;11262010);甘肅省自然基金(1212RJZA028)

2015-06-19修改稿收到日期：2015-08-19

李清祿 男，博士，副教授，1974年生

E-mail：lqu2008@163.com

O343.7

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.016