輸電網負荷恢復方案的優化計算方法

覃智君侯云鶴李大虎王 沖彭超逸文勁宇

（1. 香港大學電機電子工程系 中國香港特別行政區2. 湖北電力調度通信中心 武漢 430077 3. 強電磁工程與新技術國家重點實驗室（華中科技大學） 武漢 430074）

輸電網負荷恢復方案的優化計算方法

覃智君1侯云鶴1李大虎2王 沖1彭超逸1文勁宇3

（1. 香港大學電機電子工程系 中國香港特別行政區2. 湖北電力調度通信中心 武漢 430077 3. 強電磁工程與新技術國家重點實驗室（華中科技大學） 武漢 430074）

提出了一種輸電網負荷恢復方案的優化計算方法。首先，將負荷恢復過程建模為序貫決策，將其分解為一系列相關的步驟，每一步允許恢復的負荷量上限由前一步總的發電機出力和各發電機運行約束共同確定。每一步的目標是在潮流約束以及考慮離散負荷增量的條件下最大化負荷恢復量。然后，將每一步的決策問題建模為一個混合整數非線性規劃模型，并采用分支割平面法進行求解。集成三種割平面大幅消減了分支定界樹的規模。最后，通過求解一系列的優化模型以獲得完整的負荷恢復方案。通過RTS 24節點和IEEE 118節點算例證明了所提算法的正確性和有效性。

負荷恢復 混合整數非線性規劃 分支割平面法

0 引言

國外近十年以來的多次大停電事故均給社會經濟帶來巨大的沖擊[1,2]。快速進行電網恢復能夠顯著減少停電帶來的損失，因此在生成高效安全的電網恢復控制方案上進行了大量的研究。通常將復雜的電網恢復過程劃分為電源恢復、網絡恢復和負荷恢復三個典型階段[3]。在此基礎上，根據不同階段所涉及的問題有針對性地設計模型和算法，形成了電網恢復方案生成的理論框架[4-7]。上述典型階段中存在的具體技術問題，通常可以建模為優化模型進行求解。優化方法在諸如網絡恢復[8,9]、電網分區[10]以及負荷恢復[11-16]等方面，均已取得很好的研究進展。

近年來，美國電力科學研究院在電網恢復方面連續資助了若干個研究項目，提出了基于目標驅動的電網恢復理論體系[17]，并以此為基礎開發了實用化的電網恢復決策支持系統（System Restoration Navigator，SRN）[18]。該系統能夠實現電源恢復方案的自動生成和校核。作為該理論的后續研究，本文致力于研究輸電網負荷恢復方案的計算方法。

輸電網負荷恢復的難點主要有以下三方面：①負荷恢復是一個耗時的多階段決策問題，每一步的電網狀態存在相互間依賴關系，其計算復雜度與時間變量相關；②負荷恢復中為了保證頻率質量和電壓質量，需要考慮負荷所在的位置以及允許恢復量；③高壓母線負荷通常由多個饋線進行供電，饋線上的負荷是最小的調度單位。

上述三方面因素導致了負荷恢復是一個序貫混合整數非線性規劃問題，計算量巨大，難以求解。

本文采用確定型數值優化方法對上述問題進行求解。為了處理序貫決策的相關性，本文將負荷恢復過程分解為一系列相關的步驟。每一步求解一個優化模型。該方法的主要流程是：

（1）通過發電機穩態模型建立相鄰步驟之間的聯系，每一步發電機的調節范圍以及總的可恢復負荷量受上一步發電機出力以及發電機運行約束的限制。

（2）建立以最大化負荷恢復量為目標的含 0-1變量的混合整數非線性負荷恢復（Mixed-Integer Nonlinear Load Restoration, MINLR）規劃模型，采用高效的算法進行求解。

（3）逐步求解一系列的 MINLR模型獲得完整的負荷恢復方案。所提的模型與方法適用于離線規劃電網恢復方案。MINLR模型也可單獨用于輔助調度員進行在線決策。

與相關文獻比較，本文所做工作的特點在于：①將負荷恢復建模為一個與時間變量 t相關的序貫優化決策，每一步考慮發電機運行約束，在算例中給出了標準測試系統的完整負荷恢復方案和總的恢復時間；②MINLR模型給出了負荷恢復過程中每個母線的負荷恢復量，以及發電機電壓和功率設定值以維持有功、無功平衡；③負荷恢復的序貫決策特性以及組合特性決定了負荷恢復方案計算量非常龐大，本文給出了基于確定型優化方法的高效求解算法，適用于恢復大量停電負荷塊的應用場景。

1 輸電網負荷恢復方案計算方法

本節闡述輸電網負荷恢復方案的總體計算方法包括三個步驟：①確定每一步中發電機的可調節范圍和總的負荷恢復量上限；②建立并求解最大化負荷恢復模型；③估算每一步所需的恢復時間。這些步驟的實現細節將在下文分述。

1.1確定發電機調節范圍和負荷恢復量上限

采用文獻[17]的通用發電機穩態模型確定發電機的調節范圍，如圖1所示。對于第i臺發電機，Ci是發電機容量，Ri是起動所需功率（Ri＜0），ki是平均爬坡率，ai是最小技術出力系數，tP,i是并網所需時間。

圖1　通用發電機穩態模型Fig.1 Generic steady-state generator model

給定第m?1步結束時間tm?1、第i臺發電機上一步有功出力以及預估的爬坡時間τ，第m步時第i臺發電機有功出力上限和下限受到爬坡率以及最小技術出力的限制，按以下兩式分別進行計算。

在同時合上饋線斷路器恢復多個負荷時，系統頻率首先會按照一次調頻特性下降，直至調度員進行頻率的二次調整將頻率恢復到額定值。為保證頻率下降在允許范圍內，每一步的負荷恢復量上限受到上一步總的并網發電機出力限制，按式（3）計算。

式中，NG是發電機個數；ρ是允許恢復負荷與總的并網發電機有功出力的比例，常取5%（參見文獻[19]的討論）；()U x是任一變量x的邏輯函數，定義為

1.2建立混合整數非線性負荷恢復模型

本節所建立的 MINLR模型用于輔助調度員獲得每一步中滿足運行約束的最大化負荷恢復方案。第 m步中，該模型的優化變量包括：發電機有功出力和無功出力向量母線復電壓向量以及停電負荷的啟停狀態向量（1表示在該步恢復，0表示暫不恢復）。

目標函數為

約束條件包括：

（1）負荷恢復過程中進行有功、無功調節以維持頻率和電壓水平，故計及潮流方程為

（2）運行約束，即所有元件均運行在限值內，即

（3）頻率安全約束，即總負荷恢復不超過給定值

1.3估算每一步所需時間

本文假定所有發電機的調整可以由調度員并行進行操作，每一步所需時間由發電機爬坡時間決定。斷路器操作所需時間以及線路恢復所需時間暫不計及（這部分時間主要由物理模型決定，與數學模型關聯性較低）。第m步所需時間可表示為

1.4負荷恢復方案計算流程

綜上可得計算負荷恢復方案的流程如下：

（1）確定電網初始狀態，設置t =0，m =1。

（2）按照式（1）～式（3）計算發電機出力范圍和負荷恢復總量上限。

（3）建立到負荷母線的路徑，若有支路存在功率越限風險則進行必要的合環操作，更新導納矩陣。

（4）按式（5）～式（11）構造MINLR模型并求解。

（7）如果所有停電負荷塊已恢復則停止，輸出負荷恢復方案以及恢復所需時間t；否則轉步驟（2）。

2 分支割平面法求解MINLR模型

計算完整的負荷恢復方案需要求解一系列的MINLR模型，所需的計算量非常龐大。

本文采用分支割平面法（Branch-and-Cut, B&C）求解MINLR模型。采用該方法出于以下考慮：

（1）該方法求解混合整數優化主要依賴于求解對應的松弛子問題，在本文中即求解含連續可調度負荷（將u松弛為[0, 1]之間連續變化）的最優潮流問題，這個問題易于求解。

（2）該方法在求解混合整數線性規劃問題中得到了廣泛的應用，能夠大幅縮減分支樹的規模[20]。考慮到 MINLR模型中整數部分與非線性部分相對獨立（見式（6）和式（11）），故采用集成割平面法來求解MINLR模型。

2.1分支割平面法框架

分支割平面法的基礎是由A. H. Land和A. G. Diog提出的分支定界算法（Branch-and-Bound, B&B）[21]。B&B算法的基本思想是將整數變量松弛為連續變量，求解該松弛問題（稱為根節點）獲得原最大化模型的上界U。若松弛問題最優解不滿足整數約束，則對某一個整數變量的可行域進行切分，形成兩個新的松弛子問題（稱為子節點）進行求解。切分過程持續進行直至子節點滿足以下條件之一：

（1）該節點滿足整數約束，則該節點的最優值為原最大化問題的下界L。

（2）該節點無可行解。

（3）該節點最優解小于當前獲得的下界L。

分支割平面算法是在 B&B的基礎上加入割平面。割平面有助于快速減少 Gap，大幅縮減分支樹的節點數。本文采用的基于深度優先的 B&C算法的流程如圖2所示。

圖2　分支割平面算法流程Fig.2 Flow chart of branch-and-cut method

2.2用于消減分支樹的割平面算法

本文在上述框架中采用了如下割平面方法。

2.2.1歸整割平面

式（11）對應的有效歸整割平面計算方法為

2.2.2背包割平面

2.2.3固定變量割平面（fixing variable cut）

固定變量的基本思想是：當對某個整數ui變量進行分支后，若存在若干顯見的uj必須等于1（或等于 0）才滿足可行性，則在分支后的后續節點中強制uj必須等于1（或0）。

2.3分支變量的選擇方法

除了集成割平面，選擇恰當的分支變量也可以大幅縮減分支樹的規模。本文主要比較如下兩種便于計算的分支變量選擇方法[22]。

2.3.1最大分數

該方法選擇最靠近 0.5的 0-1變量進行分支，按式（14）進行選擇。

2.3.2偽代價

該方法選擇對目標函數影響最大的變量進行分支。對于本文的MINLR模型，按式（15）進行選擇。

將上述兩種算法的效率在算例分析中進行對比。

3 算例分析

所提方法在Matlab 2013a下編程實現，測試電腦配置3.4GHz的i7處理器和6.0GB內存。采用RTS 24節點系統和IEEE 118節點系統進行分析。

3.1RTS 24節點算例

該算例包括三個部分：①給出完整的負荷恢復方案；②展示 MINLR模型的計算復雜度，說明引入割平面可以大幅提升B&B算法效率；③說明ε對控制總體計算復雜度的作用。

3.1.1計算設置

RTS 24節點系統包括24個交流母線（其中有10個母線連接了發電機，有17個母線連接了負荷）、29回交流線路、5臺變壓器、1個電抗器和1個同步調相機。本文將同一母線下的發電機組等值為 1臺發電機。母線22的等值水輪機作為黑啟動電源。其余等值發電機視為非黑啟動電源。詳細的系統參數（包括線路容量）參見文獻[23]。

負荷恢復的初始狀態（即黑啟動以后的電網狀態）根據文獻[17]所提算法由SRN軟件計算所得。該狀態下發電機參數，發電機初始狀態以及初始帶電支路分別見表1～表3。

假定每個負荷母線連接10個均等的負荷塊。本算例的目標就是在表2和表3給定的初始狀態下將170個負荷塊進行恢復操作。每一步結束后所有母線的穩態電壓維持在0.95(pu)～1.05(pu)之間。設置

表1 RTS 24節點系統發電機參數Tab.1 Parameters of generators in RTS 24 bus system

表2　RTS 24節點系統發電機初始狀態Tab.2 Initial states of generators in RTS 24 bus system

表3　RTS 24節點系統初始帶電支路Tab.3 Energized branches before load restoration in RTS 24 bus system

3.1.2負荷恢復方案

完整的負荷恢復方案根據前述流程逐步進行計算。假定發電機無功調節范圍與有功調節范圍無關，按照表1的第4列進行設置。設定ε=0.01。計算所得的恢復方案包括57步，恢復所需時間為403.7min。每一步結束后各母線恢復的負荷水平如圖3所示。全網負荷水平恢復曲線如圖4所示。

圖3　RTS 24節點系統母線負荷恢復曲線（　0.01ε=　）Fig.3 Restored load level of RTS 24-bus system(　0.01ε=　)

圖4　RTS 24節點系統全網負荷水平變化曲線Fig.4 Aggregate load level curve of RTS 24-bus system

負荷恢復初始狀態下帶電支路構成了無環樹型結構，仍有部分負荷母線不帶電。因此在負荷恢復過程需要進行必要的網絡操作。每一步進行的網絡操作見表 4。進行這些操作的主要原因是：①負荷恢復過程中樹支功率逐漸增加，為了減少過負荷的風險，對連支進行充電，然后進行合環操作（連支的選擇算法參見附錄）；②建立帶電網絡到負荷母線的通路（參見文獻[17]的Algorithm 2）。

表4　RTS 24節點系統網絡恢復操作Tab.4 Network operation within steps of RTS 24 bus system

從第51步開始時投入同步調相機，此后該調相機都作為連續調節無功電源（調節范圍見文獻[23]）。

3.1.3算法效率分析

若不集成割平面，求解 MINLR模型的計算復雜度會大幅提高。以第1步為例，不增加割平面時分支樹節點多達4 000～5 000個。增加割平面后，分支樹節點下降到3個。不同求解策略下分支樹節點數參見表5。

表5　RTS 24節點系統第1步的計算復雜性Tab.5 Computational complexity of step 1 of RTS 24 bus system

3.1.4控制分支樹規模

盡管割平面方法能夠大幅縮減分支樹的規模，但是計算完整的負荷恢復方案仍需進行大量計算。上述完整的負荷恢復方案采用本文所提分支割平面算法進行計算，累計的分支樹節點數達到82 597個，CPU計算時間為6 743s。由此可見，即使對小規模電網，考慮序貫約束時，獲得完整負荷恢復方案所需的計算量非常巨大。

為了進一步縮減分支樹的規模，可以放寬計算停止閾值ε。設置0.1ε=再次進行計算，所得的負荷恢復方案包括58步，恢復所需時間為370min。母線負荷恢復曲線如圖5所示。該方案總的分支樹節點數降為2 340個，計算量降低為0.01ε=的2.8%。

對比分析可知，本文所提的方法不滿足貝爾曼動態最優原理，每一步的最優性與全過程的最優性無關。但從計算復雜度的角度來看，本文所提方法具有伸縮性，通過合理設置ε 的取值可獲得計算復雜度與最優性之間的平衡。

3.2IEEE 118節點算例

IEEE 118節點系統在正常狀態下總負荷水平為3 668MW。網絡部分參數參考文獻[24]所列。發電機有功、無功的上、下限以及爬坡率參考文獻[25]所列。該系統有91個負荷母線。假定所有負荷母線的負荷由10個均等的負荷塊構成。負荷恢復初始狀態假定為負荷損失70%（每個負荷母線損失7個負荷塊）。負荷恢復的目標是快速恢復637個停電負荷塊。

所有母線的穩態電壓要求維持在 0.85(pu)～1.05(pu)之間。設置15τ=min，5%ρ=，0.01ε=。為了控制CPU計算時間，當一步中分支樹節點數超過1 500時終止該步計算，即負荷恢復過程計算失敗。

采用最大分數分支方法，由于某一步分支樹節點超過 1 500個，計算失敗。采用偽代價分支方法并結合 2.2節所述的割平面方法可獲得完整的負荷恢復方案，總分支樹節點數為2 343個，CPU計算時間為12min。

該方案包括25步，恢復所需時間為106min。全網負荷水平恢復過程，每一步分支樹節點數和每一步恢復的負荷塊數目，分別如圖6和圖7所示。

圖6　IEEE 118系統全網負荷水平變化曲線Fig.6 Aggregate load level curve of IEEE 118-bus system

圖7　IEEE 118系統每一步恢復的負荷塊數與每一步計算的分支樹節點數Fig.7 Number of restored load increments vs. nodesin B&B tree of each step of IEEE 118-bus system

3.3關于算法效率的討論

負荷恢復的計算復雜度與時間變量 t相關。從圖7中第8步與第9步相比，恢復相同數目的停電負荷所需計算量相差5倍。負荷恢復初期的計算復雜度往往比恢復后期的計算復雜度高。由此可見，需要從負荷恢復的完整過程來考察算法的性能。

對IEEE 118節點算例而言，平均每次OPF計算所用CPU計算時間僅為0.3s。算法的整體效率主要取決于能否縮減分支樹的節點數。本文采用的分支變量選擇方法與割平面方法相結合，能夠有效控制維數災問題，大幅提高了算法的計算效率。

4 結論

建立了輸電網負荷恢復方案的優化計算方法。該方法通過發電機穩態模型對負荷恢復的序貫特性進行建模，建立了最大化負荷恢復的優化模型MINLR。針對求解MINLR模型計算量大的難點，提出了基于分支割平面的高效率求解算法，通過包含637個停電負荷塊（即637個0-1變量）的算例證明了算法有效性。

附 錄

以下給出與越限樹支構成環路的連支的選擇方法。

（1）首先設置所有支路的權值：將已經恢復的支路權值設置為a；然后設置越限樹支的權值為M，待恢復連支的權值為b，三者關系滿足0

（2）形成包含所有節點和支路的加權圖。

（3）尋找從越限樹支首端到末端的最短路徑。該路徑中所包含的待恢復支路即為合環操作所需的連支。

以附圖1所示連接圖為例。假定樹支EF越限，按圖所示支路權值搜索從 E到 F的最短路徑為 E-D-F，該路徑權值為4。故合環所需恢復的連支為支路DF。

附圖1 連支選擇實例App. Fig.1 Example for selecting link branch

在實際恢復的過程中，可以通過對待恢復支路設置不同的權值以實現特定的選擇目的，如選擇充電功率最少的路徑，或者盡可能避免對變壓器進行充電等。

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Optimization Method for Constructing Load Restoration Strategy of Transmission Systems

Qin Zhijun1Hou Yunhe1Li Dahu2Wang Chong1Peng Chaoyi1Wen Jinyu3
（1. Department of Electrical and Electronic Engineering The University of Hongkong Hongkong China 2. Hubei Electric Power Dispatching and Communication Center Wuhan 430077 China 3. State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China）

This paper proposes an optimization based method to construct load restoration strategy for transmission systems. Firstly, the load restoration process is divided into a sequence of co-related steps. In each step, the total amount of load pickup is restricted by the synchronized generation and the operational constraints of each generator. The objective in each step is to maximize the load pickup. Secondly, the maximum load pickup problem is formulated as a mixed-integer nonlinear load restoration (MINLR) model and solved via a branch-and-cut (B&C) framework. The Gomory rounding cut, the knapsack cover cut, and the fixing variable cut are incorporated into each node of the enumeration tree to reduce the scale of the sub-trees. Thirdly, the load restoration strategy is obtained by solving a number of MINLR models till all load increments are restored. The RTS 24-bus system and the IEEE 118-bus system are used to illustrate the efficiency of the proposed method.

Load restoration, mixed-integer nonlinear programming, branch-and-cut method

TM744；TM732

覃智君 男，1977年生，博士研究生，研究方向為電網恢復控制。

E-mail: zjqin@eee.hku.hk（通信作者）

侯云鶴 男，1975年生，助理教授，研究方向為電力系統運行分析、電網恢復控制。

E-mail: yhhou@eee.hku.hk

國家自然科學基金（51277155），香港研究資助局基金（GRF17202714、ECS739713），美國電力科學研究院研究基金（EP-P35424/C16059）和湖北電力調度通信中心研究項目資助。

2014-04-22 改稿日期 2014-08-10