多層次分析　全方位解題

◇　山東　孫晉山

◇　江蘇　侍昌亞

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多層次分析全方位解題

◇山東孫晉山

在平時(shí)的解題訓(xùn)練中,對(duì)一道問(wèn)題進(jìn)行多層次、全方位解答,能夠有效拓展同學(xué)們的思維,提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．下面舉例說(shuō)明．

本題以三角函數(shù)為背景、分段函數(shù)為形式,給出了函數(shù)的單調(diào)性,探究參數(shù)的可能取值．問(wèn)題具有一定的開(kāi)放性,有利于考查同學(xué)們的發(fā)散思維.下面從多層次對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、解答．

1　從概念出發(fā),直接推理

變式1函數(shù)y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),則φ的值是().

2　借助圖形,直觀(guān)推理

圖象法能直觀(guān)體現(xiàn)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),是處理函數(shù)問(wèn)題的有力工具,本題可借助函數(shù)y=sinx與y=cosx圖象關(guān)系求解．

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=sinx與y=cosx的圖象(如圖1)．

圖1

2個(gè)函數(shù)圖象相差π/2個(gè)單位,而y=cosx本身就是偶函數(shù),因此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為將y=sinx平移a+b個(gè)單位即可．故選C．

變式2已知函數(shù)f(x)=|sinx|+|cosx|,現(xiàn)有如下幾個(gè)命題:

① 該函數(shù)為偶函數(shù);

② 該函數(shù)最小正周期為π;

其中正確命題為_(kāi)_______.

圖2

答案: ①、③、④．

3　小題小做,特值求解

變式3滿(mǎn)足cos(α+β)=cosα+cosβ的α、β的一組值是________.(寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一組值即可)

4　逐一代入,檢驗(yàn)求解

根據(jù)選擇題的特點(diǎn),必有一個(gè)選項(xiàng)滿(mǎn)足條件,因此可將4個(gè)選項(xiàng)分別代入已知函數(shù)關(guān)系式,再逐一檢驗(yàn),即可得出正確選項(xiàng)．

變式4已知函數(shù)f(x)=cosxsin 2x,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是().

Ay=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)中心對(duì)稱(chēng);

Dy=f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)

對(duì)于選項(xiàng)A,若函數(shù)關(guān)于(π,0)中心對(duì)稱(chēng),則有f(π+x)+f(π-x)=0,代入檢驗(yàn)知此式成立,所以f(x)關(guān)于點(diǎn)(π,0)中心對(duì)稱(chēng),故選項(xiàng)A正確.

由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可知f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),排除選項(xiàng)D,故選C.

綜上,本文所述的綜合問(wèn)題,內(nèi)容豐富、變形空間大,運(yùn)算靈活,既有通法,也有巧法.通過(guò)對(duì)一道題從多角度進(jìn)行深刻分析,把握其內(nèi)部蘊(yùn)含的不同知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)聯(lián)系,有利于培養(yǎng)和優(yōu)化同學(xué)們解題思維.

1　巧用轉(zhuǎn)化思想,優(yōu)化解題

轉(zhuǎn)化思想,即把問(wèn)題從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式,從而找出問(wèn)題突破口的一種數(shù)學(xué)思想方法．轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)研究中克服難關(guān)的有效手段,具有一定的靈活性和多樣性,有助于發(fā)散思維,培養(yǎng)解題能力．

(1) 當(dāng)a∥b時(shí),求cos2x-3sin 2x的值.

(2) 求f(x)=(a+b)·b的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.

2　把握特殊化思想,巧妙解題

特殊化思想是解數(shù)學(xué)選擇、填空題中常用的一種思想方法,在解題過(guò)程中通過(guò)選取符合題意的特殊值、特殊位置、特殊方程、特殊圖形以及特殊向量等方式,使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)．

圖1

AAC=BC;

B∠ABC=90°;

C∠BAC=90°;

DAB=AC

圖2

圖3

同理可判斷選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.

3　注重?cái)?shù)形結(jié)合,直觀(guān)解題

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題中常用的數(shù)學(xué)思想方法之一,融合了形象思維和抽象思維,其實(shí)質(zhì)是將抽象乏味的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)形象有機(jī)地結(jié)合起來(lái)．

|2a-b|的最大值、最小值分別是________.

圖4

(作者單位：鹽城市亭湖高級(jí)中學(xué))

山東省棗莊市第四中學(xué))

◇江蘇侍昌亞

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力的本質(zhì)體現(xiàn)．在數(shù)學(xué)解題中,缺乏數(shù)學(xué)思想方法的有效引導(dǎo),解題易陷入束手無(wú)策、無(wú)從下手的局面．對(duì)此,筆者從平面向量知識(shí)點(diǎn)出發(fā),略談數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用,以供參考．