2016年北京高考部分數學試題創新點賞析

◇　北京　崔用亮　王芝平(特級教師)

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2016年北京高考部分數學試題創新點賞析

◇北京崔用亮1王芝平2(特級教師)

2016年高考北京數學試卷嚴格遵循秉承以往數學命題理念、突出數學特點、注重能力立意,著重考查對數學核心內容的理解與運用.在全面考查數學基礎知識、基本技能、基本數學思想和基本數學活動經驗的同時,尤其關注考生的理性思維和數學表達能力,較好地考查了考生的數學核心素養,體現了數學的教育價值.試題純凈淡雅、平而不俗,穩中有變、變中有新,題在書外、根在書內.在考查數學理性思維、核心素養的同時試題難度有所降低,給考生親切、平和的感覺,順應構建和諧社會的需要,有利于素質教育的實施,有利于促進數學教育變革的發展,對中學數學教學有積極而正確的引領作用.

1　深度刻畫動態模型中的變與不變

A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球;

B乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多;

C乙盒中紅球不多于丙盒中紅球;

D乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

分析可對先后放入盒子的2個球進行分情況討論:

1) 2個紅球:乙盒中紅球數+1.

2) 2個黑球:丙盒中黑球數+1.

3) 1個紅球1個黑球: 先放紅球,乙盒中黑球數+1; 先放黑球,丙盒中紅球數+1.

由于情況3)所取的紅球與黑球數相同,因此情況1)發生的次數與情況2)發生的次數相同,情況3)不影響乙盒中紅球數與丙盒中的黑球數,故乙盒中紅球數與丙盒中的黑球數相同.

近年來北京高考命制了很多創新型的數學開放性試題,注重與實際問題相結合,著重考查對于問題的分析能力、抽象概括能力.現實問題數學化,需要抓住核心變量,本題需要對取出的2個球顏色進行分類討論,然后對過程進行分析,發現其中的變與不變,從而找出解決問題的方法.解決數學創新試題要關注“變”與“不變”的關系,準確提取“變”與“不變”的性質,并建立它們之間的邏輯聯系.

2　深度挖掘數學量的核心原理與現實意義

A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5

(1) 試估計C班的學生人數;

(2) 從A班和C班抽出的學生中,各隨機選取1人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙,假設所有學生的鍛煉時間相對獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率;

(3) 再從A、B、C 3個班中各隨機抽取1名學生,他們該周的鍛煉時間分別是7、9、8.25(單位:h),這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記μ1,表格中數據的平均數記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小(結論不要求證明).

分析本題著重于考查對于現實數據的分析與處理能力,題目結構清晰、目的性強.同時,對于現實中的問題,考生需要抽象出相應的數學模型,因此考生結合數據對問題所包含的數學知識進行抽象概括.

對于第(1)問,通過分層抽樣的數字特點即可得出答案;對于第(2)問,主要考查概率求解,著重于概率原理在現實問題中的運用;第(3)問主要考查平均數的性質,對于數學平均值,考生需要理解

即在一組數中添加一個等于該組數平均值的數,所得新的一組數的平均值不變. 對于離散型隨機變量的數字特征,考生需要掌握其數學原理與現實意義.

3　從知識技能的運用到核心思想的回歸

(1) 求a、b的值;

(2) 求f(x)的單調區間.

分析此題突破傳統導數試題的設計模式,不是考生非常習慣的通過一次求導就可以簡單地解決了的問題.當考生得到f′(x)=(1-x)e2-x+e后,通常根據f′(x)的正、負來求函數f(x)的單調區間,但是這個導函數的正負卻不易判斷.

但細細品味后,至少想到如下2條思路:

1)繼續用導數研究這個“導函數”,這是因為研究一個函數的性質,導數是最基本的工具,突出了數學核心內容、思想的強大力量.所以由[f′(x)]′=(x-2)e2-x的正負易知,f′(x)的最小值為f′(2)=e-1>0,所以f(x)的單調區間為(-∞,+∞).

2)“化繁為簡”——用簡單的數學對象刻畫復雜的數學對象,這是破解綜合問題的重要策略.注意到f′(x)=(1-x)e2-x+e含有恒大于0的式子e2-x,不妨將其“提出來”,即得到

f′(x)=(1-x)e2-x+e=e2-x(1-x+ex-1).

而欲知1-x+ex-1的正、負，可以通過研究與其本質相同的簡單函數ex-x的正、負得到,聯想教材習題(人教A版《選修2》第2章第32頁B組1(3)) 即知ex-x>0恒成立,當然這個結論需要完整地證明.所以f′(x)>0恒成立,所以函數f(x)的單調區間為(-∞,+∞).

4　對規律探索、運用能力的綜合深入考查

(1) 對數列A:-2,2,-1,1,3,寫出G(A)的所有元素;

(2) 證明:若數列A中存在an使得an>a1,則G(A)≠?;

分析第(1)問通過套用規則讓考生熟悉新定義問題的基本原理.第(2)問在第(1)問的基礎上考查考生分析問題的能力.第(3)問著重考查對“G時刻”的理解,同時考查考生能否在短時間內掌握新知識點、原理、探索規律并運用規律解決實際問題的能力.

本題所體現的數學原理可以認為是現實問題的體現,就好比是“人生”,從a1開始起步(定義a1=0,即人生從0開始起步),到第k年人生已經達到ak的高度.人生有起有落,如果在第n年人生有了實質性突破,相對以往達到了前所未有的高度,那么這一年可以認為是成功的的一年,即G時刻.故G(A)即為相對以往達到前所未有的高度的年份構成的集合.

第(1)問易知在第2年與第5年達到了前所未有的高度,因此G(A)={2,5};第(2)問可以理解為如果人生中含有人生高度比人生初年高的年份,那么這段歲月中至少有1年是成功的,即這一年達到了相對以往更高的人生高度.

對于第(3)問,假設1個人每年在上一年的基礎上所增長的人生高度最大值為1,則此人人生高度的增長最多能夠達到自己年齡的增長.

1)如果此人每年都在走低,沒有成長,那么相對初年的人生高度差為負,同時也沒有成功的年份,即人生沒有G時刻.

2)如果此人每年都能達到前所未有的高度,顯然此人成功的年份就是自己的年齡,而人生的高度最大才是自己的年齡(此時每年都增長1個單位的人生高度,可以理解為“最好人生”).

3)如果此人的人生有起有落,那么人生高度降低的年份將不會是成功的年份,同時人生高度也會在理論上“最好人生”的基礎上至少減少1個單位高度.此時人生高度的增長也會落后于年齡的增長,故那些成功的年數將超過這個人的人生高度.

因此,這道題在提醒我們,如果一個人能使自己所度過的每一年都成為成功的年份,并且每年都能達到人生最大的增長高度,這就是“最好人生”.

(3) 證明:若數列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),則G(A)的元素個數不小于aN-a1.