一題多變探究三角最值

◇　江蘇　苗　壯

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一題多變探究三角最值

◇江蘇苗壯

解三角形中的最值問題,歸納起來主要有求邊的最值、角的最值、面積的最值．這些問題的求解通常有2種策略: 1)結合余弦定理,利用均值不等式求最值; 2)利用正弦定理,將其轉化為三角函數最值問題．

(1) 求角B;

1　求面積的最值

(1) 求角B的值;

(2) 如果b=2,求△ABC面積的最大值.

2　求角的最值

(1) 證明:a+b=2c;

(2) 求cosC的最小值.

化簡得

2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,

即

2sin(A+B)=sinA+sinB．

因為A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC,從而sinA+sinB=2sinC．由正弦定理得a+b=2c.

當且僅當a=b時,等號成立.故cosC的最小值為1/2.

3　求邊的最值

(1) 求角B;

圖1

(2) 如圖1,將△ABC置于圓O中,當點B在優弧AC上運動時,B的大小不變,AB過圓心O時,AB取得最大值,即c最大．

4　求兩邊之和的最值

(1) 求c的值;

(2) 求a+b的取值范圍.

圖2

總之,求解與解三角形有關的最值問題,我們只要把握處理問題的基本策略,就能以不變應萬變,實現問題的順利解決．

江蘇省灌南高級中學)